探究“a+kb型”线段和最小值问题

<正>将军饮马问题是典型的两条线段和最短问题,记为"a+b型",常利用对称进行等量变换,将最短问题转化为"两点之间,线段最短"原理的简单应用问题.但其一些变式问题,譬如"a+kb(常数k>0)型"线段和最小值问题,对学生具有很大挑战性,如何突破学生思维障碍呢?通常需要进行一种新的变换,通过构造的方法转化、化归为简单情形,从而有效地寻找解题突破口,使     

相同的题型 不同的思路——“将军饮马”问题的延伸探究

<正>继"胡不归"、"阿氏圆"最值问题外,文[1]探讨了定边对定角三角形中a+kb型最值问题,我们不妨统称为k系数线段和最值问题.这里再介绍一种新型a+kb最小值问题,我们称为第四类k系数最小值问题,虽然是同样的题型,却需要独特的思路: 先构造相似三角形转移线段,再转化为"将军饮马"a+b型. 现整理成文,与大家分享.一、两定两动型     

例谈“mPA+nPB+pPC”型最小值问题

<正>对于“mPA+nPB+pPC(m,n,p均为正数)”型最小值问题,系数m,n,p之间的关系常见的有两类:一是各系数相等型的,此类问题属于费马点问题;二是各系数满足“勾股定理”型的,此类问题可称为加权费马点问题．解决这两类问题的基本方法是旋转,通过旋转最终将最小值问题转化为求“两点之间线段最短”的问题．下面举例说明,供参考．     

线段和与线段差问题的一般思路

(本讲适合初中)形如a+b=c的线段关系可称为线段和或线段差问题.比较简单的证明线段和(或差)的问题,一般可以考虑使用截长法或补短法.所谓截长法,就是把"和线段""掐开"成两段,证明它们分别与两条"部分线段"相等;所谓补短法,就是把两条"部分线段"中的一条延长,证明加长线段等于和线段.两种方法都是把问题转化为线段相等.     

相似形与解直角三角形知识及应用

(一)复习要点1郾比例线段(1)在两条线段的比a∶b中,a叫做比的项,b叫做比的项郾(2)在四条线段中,如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比,那么这四条线段叫做线段郾(3)如果a∶b=c∶d,那么, 叫做比例外项,,叫做比例内项,d叫做a,b,c的第比例项郾(4)如果a∶b=b∶c,那么线段叫做线段,的比例中项郾(5)把线段AB分成两条线段AC和BC(AC>BC),且使是AB和BC的比例中项,叫做把线段AB黄金分割,点叫做线段AB的黄金分割点郾2郾比例的性质(1)基本性质郾a∶b=c∶d圳郾(2)合比性质郾ab=cd圯 郾(3)等比性质郾ab=cd=…=mn圯a+c+…+mb+d+…+n=…     

无中生圆 巧解最值——“阿氏圆”模型在一类最值问题中的应用

<正>一、问题呈现(宁波市2019年初中学业水平考试18题)如图1,在△ABC中,CA=CB=4,∠ACB=120°,以C为圆心画圆,⊙C与AB相切,P为⊙C上一动点,则PB的最小值为___.最值问题是中考考查的热点,更是难点."PA+k·PB (k为常数)" 型的最值问题的关键在于"k·PB"能否转化为合适的某条线段.二、问题分析与解决1. "阿氏圆"模型探究已知平面上两点C,B,则所有满足的动点P的轨迹是一个圆     

坐标法在距离之和最小问题中的应用

<正>求解距离之和最小值问题，可以通过建立直角坐标系将几何问题代数化，从数量关系的角度重新认识原问题，然后转化为求函数的最小值问题，或者再次转化为几何问题去处理.这是“数形结合”思想和“转化与化归”思想的典型应用一、求动点到两定点距离之和的最小值(系数相等型)例1 在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点P为线段B₁D₁上的一个动点，     

“PA+k·PB”型线段和的最值问题

<正>动点问题是初中数学阶段的难点,它贯穿于整个初中数学,自数轴起始,至几何图形的存在性、几何图形的长度及面积的最值,函数的综合类题目等,其中尤以带系数的线段和的几何最值问题是近几年中考考查的热点更是难点.而带系数的线段和的几何最值问题最终可转化为"PA+k·PB"型的最值问题.本文就此类问题作归类探讨.此类问题的处理通常以动点P所在图象的不同来分类,一般分为两类问题.一类是点P在直线上运动,另一类是点P在圆上运动.一、当点P在直线上     

线段和最值问题解法探讨

线段和最值问题是中考常见的问题类型.其中"a+k·b"型属于较为复杂的一种,由于系数的存在,解析时需要对其适度变形,转化为一般的线段最值问题,然后按照常规方法来突破.     

最大最小 熟能生巧——三角函数最值问题的常见类型及解法

三角函数的最值问题,是一个比较复杂的问题,涉及范围广,方法典型独特,解法多种多样,又有很独特的技巧性,是三角函数的重点和难点内容之一.现把在教学中常见的几种类型及解法归纳如下,供参考.1.对于形如y=asinx+b或y=acosx+b(a≠0)的三角函数最值问题,可从中解出sinx或cosx,再利用正弦(或余弦)函数的有界性(|sinx|≤1或|cosx|≤1),便可求出原函数的最小值为b-|a|,最大值为b+|a|.【例1】求函数y=sin(x-π4)·cosx的最小值和最大值.解:∵y=12sin(2x-π4)+sin(-π4)=12sin(2x-π4)-24,∴ymin=-24-12=-2+24,ymax=-24+12=2-24.2.对于形如y=asinωx…     

基于直观想象解一类三角形问题

<正>解三角形是高中知识的重点也是高考的难点,常以正、余弦定理为解题工具,经常涉及函数与方程思想,化归与转化思想,解题方法灵活多样.在考试中,经常会遇到形如λa+μb的问题,解决这种问题的传统方法是将其转化为边或角的方程,或是函数来处理,然而在新课程标准下,我们还可通过作图,利用作为数学核心素养的直观想象这一重要的解题思维,将其表示为线段的长度,进而解决,下面通过举例谈一下这种方法的使用.     

利用化归法求解双动点最值问题

<正>动点问题是初中数学的一个难点,也一直是中考的热点."双动点型线段的最小值"问题是指:目标线段的两个端点都是动点,在变化的同时相互又有内在关系,要求这类线段长度的最小值.由于在这类问题中,目标线段的两个端点都是变化的,很多学生会觉得难以把握而无从下手,甚至望题生畏.那么求解这类问题的关键是什么呢?     

问题解决过程中的思维方式和心理状态

<正>线段最小值问题,一般思路是根据"两点之间,线段最短""垂线段最短"来解决.若是"a+k·b"型最小值问题,当动点在直线上运动时,则为"胡不归"问题;动点在圆周上运动时,则为"阿氏圆"问题.近年中考压轴题中出现了"a+b+k·c"型最小值问题,考生对此常感到无能为力、束手无策.本文通过新问题的抛出,模拟学生从最近发展区中去回顾、搜索、调取相似问题的解决策略和方法,通过甄别比较,分析当前问题和已解决的相似问题同与异,关注在问题解决过程中的思考方式和心理状态,从而找到有效的解决策略.     

解形如“(a-b sinx)/(c-d cosx)最值”一类题体现的数学思想

求形如“函数y=a-bsinxc-dcosx的最值”问题的解法较多,从这些解法中可体现出一些数学思想.一、数形结合思想例1.求函数y=1+sinx2+cosx的最小值和最大值.分析:因函数y=1+sinx2+cosx的定义域为R,所以把1+sinx2+cosx可以看为点(cosθ,sinθ)与点(-2,-1)所在直线的斜率.而点(cosθ,sinθ)的轨迹是圆x2+y2=1,因而问题就成为点(-2,-1)与圆x2+y2=1上的动点的连线的斜率最大值、最小值问题.易知,过点(-2,-1)向圆x2+y2=1所作的两条切线的斜率的最大值和最小值就是函数的最大值和最小值.如图,用平面几何的知识得出斜率kBD为所求的最小值,斜率kBC为…     

如何求解双动点线段长的最小值问题

<正>双动点线段是指线段的两个端点都在某个图形上运动的线段.由于线段的两个端点都在运动,因此增加了解决问题的难度.这类问题的解题策略是:消点——将双动点转化为单动点,然后利用"垂线段最短"确定单动点线段长的最小值,进而得到双动点线段长的最小值.下面举例说明.     

线段和最值问题的分类赏析——以2022年中考题为例

<正>形如“a+kb”型最值问题一直是各地中考的热点问题之一．此类问题通常借助“对称”“平移”“相似”“函数”等方法,以“两点之间,线段最短”或“点到直线垂线段最短”或“共线时共端点线段和最大”为依据来解决．本文以2022年中考题为例分类解析线段和最值问题的求解策略．一、作对称变换1．两点之间线段最短例1（眉山中考题）如图1,P为矩形ABCD的对角线AC上一动点,E为BC的中点,     

用简练通俗的语言提炼解题方法——一类数学题的解题指导

求平面内线段之和的最小值问题,是学生较难掌握的一类题,我们所遇到的一般有三种情况:一是两条线段在动点所在直线的同侧,求两条线段和的最小值问题;二是两条线段在动点所在直线的异侧,求两条线段和的最小值问题:三是求三条线段和的最小值问题。这三种情况都可用同一种方法来解决,那就是"接起来,拉直找交点"。方法说明:求线段和的最小值问题所用的定理是"两点之间线段最短",因此,我们想到把几条线段连     

关于一类几何命题的分析

利用三角形相似比证明的几何命题种类繁多,其中常见的一类是形如“线段积=线段积+线段积”的命题,这是一个难点。本文拟对此命题进行一些研究和探索。一、“线段积=线段积+线段积”命题的发现为解决这类命题,必须从命题的产生背境着手。第一、由两组相似三角形得出的命题。例1.在直径为AB的圆上有两点M、N,     

构造数轴 巧妙解题

借助数轴可巧解有关问题,现举例如下.一、代数方面1.求最大值例1已知0≤a≤4,那么|a-2|+|3-a|的最大值等于()(A)1(B)5(C)8(D)3解:此题即为在数轴上0≤a≤4的范围内,求出表示数a的点分别到表示数2和数3的点的两个距离之和的最大值.由图1可知,当a=0时,|a-2|=2,|3-a|=3,上述距离之和为最大,最大值为5.故选(B).2.求最小值例2已知x是有理数,则|x+29/251|+|x-100/221|的最小值是.解:构造数轴如图2,其中A、B两点分别表示数-29251和212010.根据绝对值的几何意义,|x+29251|+|x-212001|表示数轴上数x对应的点P到点A和点B的距离之和,易知当P在线段…     

“a/b=c~2/d~2”证法浅议

形如“a/b=c~2/d~2”的题目,是较复杂的线段成比例的问题,由于求证式两边不是同次幂的比,证明较困难.这里举例说明几种思考方法,以供参考. 一、用线段的积代换c~2或d~2,使问题转化为证明简单的线段比例式例1 已经⊙O的弦AB的延长线和切线EP交于点P,E为切点,C