辅助圆的作用

作辅助圆往往有助于解决问题.例1如图1,PA=PB,∠APB=2∠ACB,AC与PB交于D,且PB=4,PD=3,则AD·DC=__.分析由题目中的乘积式,自然想到相交弦定理.由∠APB=2∠ACB,则想到一条弧所对的周心角等于它所对的圆周角的2倍,因此想到作辅助圆.     

从正方形内一点问题谈起

<正>2014年慈溪市青年数学教师基本功竞赛中有这样一道题:如图1,P是正方形ABCD内一点,PA=5,PB=4,PC=1.求正方形的边长.问了我校参赛的几个青年教师,普遍反映该题得分率较低,感觉用代数方法很繁,用几何方法一时又找不到巧妙的思路,所以最后放弃的老师较多.出于兴趣,笔者对此问题进行了一番探究.从一般性考虑,笔者直接探究了以下问题:P是正方形ABCD内一点,PA=a,PB=b,PC=c.求正方形的     

一道有用的习题

初中《几何》第二册第29页20题:求证在圆内接四边形ABCD中,AB·CD+BC·AD=AC·BD。这是一道有用的习题.利用它的结论处理有些问题较为方便。因此,我建议教师们在教学中不可忽视它,可让同学们记住它的结论,证某些题可直接运用,现举两例说明它的作用。例1 已知P是正方形ABCD外接圆AD劣弧上一点,求证:(1)(PB+PD)/PC=2~(1/2):(2)(PB-PD)/PA=2~(1/2);(3)PB~2-PD~2=2 PA·PC。证明:(1)在圆内接四边形PBCD中,有PB·CD+PD·BC=BD·PC。     

1994年第3期《一期一题》

以正方形ABCD的边DC为直径在形外作半圆,P在半圆上,PA、PB分别交DC于E、F.证明:不论P点的位置如何,EF恒为DE与FC的比例中项.     

正方形的两个性质及其应用

如图1,在正方形ABCD中,点P在对角线AC上,连接PB、PD,则∠DAP=∠BAP=45°.又AD=AB,PA=PA,所以△PAD≌△PAB.于是有:性质1 PB=PD.     

(二十)直线与圆的位置关系测试卷

一、填空题（每空5分，共50分）：1．如图1，PA切于A，AB是OO的弦，BC是①O的直径，／PAB—35”，则／ABC一2．如图2，凸ABC肩接于OO，／B一AC，ZBOC—100”，MN是过B点而垂直于OB的直线，则／ABM一，上CBN一；／3．若PA、PB分别切①O于A、B，左APB—60”，OP—12，则PA一，PB一；4．在凸ABC中，若全C—90“，AB—10，BC—2八，以AC为直径的圆交AB于D，则AD一，on＝；5若BC是①O的弦，A为OO上一点，过A点的切线交CB的延长线于P，BC一IO，PA—12，则PB二；6．OO的内接正方形ABCD的边长为6，E是BC的中…     

广义托勒玫定理

关于圆内接凸四边形的托勒玫定理已广为人知:“所有圆内接凸四边形的对边乘积之和等于它的村角线的乘积.” 我们研究广义的托勒玫定理.设有四个内切于同一圆且切点是该圆内接四边形的各个顶点的圆。A、B两个顶点间的距离可通过对应的圆。,、。B间的公切线长来度量。 (图1) 定理     

用托勒密定理解一道(初三)

托勒密定理圆内接四边形中,两对边的乘积之和等于两对角线长的乘积.定理一语道出了圆内接四     

几何综合题

总复习阶段,应有针对性地、适量地研究一些不同类型的几何综合题的解法.几何综合题大多是圆与平行线、三角形、四边形、相似三角形、锐角三角函数等知识的综合运用.近几年来,全国各地中考题中,一题多问、开放性题目是几何综合题常见类型.图1例1如图1,已知正△ABC内接于⊙O,P是劣弧BC上一点,PA交BC于点E.求证:(1)PA=PB+PC;(2)P1B+P1C=P1E.证明:(1)在AP上取一点D,使AD=PC,联结BD.易知△ABD≌△CBP.则BD=PB.又∠3=∠4=60°,所以△PBD是等边三角形.故PD=PB,即PA=PB+PC.(2)证法1:因为∠3=∠5=60°,∠1=∠2,所以,△PAB∽…     

课本中一道例题引发的探究性学习案例——圆的相交弦定理在圆锥曲线中的延伸与拓展

在初三我们学过圆的相交弦定理:圆的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的乘积相等.即: 若圆O内的两条相交弦AB,CD相交于点P,则| PA|·|PB|=|PC|·|PD| 在人教版的选修4-4中有这样一道例题(课本第38页例4):     

又一组与圆有关的等积线段

相交弦定理、切割线定理反映的是两组与圆有关的等积线段或比例线段 ,这是再介绍一组 ,供同行参考 .命题 :三角形外接圆上任一点到三角形各顶点的距离与到各顶点所对边的距离之积相等 .此命题试证如下 :设△ABC内接于⊙O ,P是⊙O上任一点 ,连结PA、PB、PC ,分别作PA′⊥BC ,PB′⊥AC ,PC′⊥AB ,垂足分别A′、B′、C′.求证 :PA·PA′ =PB·PB′=PC·PC′ .证明 :( 1 )当点P与A、B、C三点中某一点重合时 ,由点与点 ,点与直线的距离的规定可知此时 :PA·PA′ =PB·PB′ =PC·PC′=0 .( 2 )当点P不与A、B、C三点中任…     

一个几何命题的应用与推广

命题等边三角形外接圆上任一点到三顶点的连线中,最长的等于其余两线的和此命题的诸多证法中,以用托勒定理的证明为最简洁.已知△ABC 是等边的,P 是它外接圆上任一点(如图1),求证:PA=PB PC.证明在圆内接四边形 ABPC 中,由托勒     

数学问题与解答2010年第8期问题解答

801．如图1，在以AB为直径的半圆内，正方形CDEF内接于半圆，正方形GHKN内接于△BCF，且HK在边BF上，求证：点G是半圆的圆心．     

切线长定理的潜能开发

切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．即如图1,PA、PB为⊙O的两条切线,A、B为切点．由定理可知PA=PB,∠1=∠2．而对此图稍加变化,又会出现很多的结论,这也是近几年的中考热点问题。     

圆内接四边形的一个新性质的探索与证明

<正>1问题的提出在圆内接四边形ABCD中,记边长AB=a,BC=b,CD=c,DA=d,对角线AC=e,BD=f.著名的托勒密(Ptolemy)定理指出:圆内接四边形的两组对边乘积之和等于两条对角线长的乘积,即ac+bd=ef.一个十分自然而且重要的问题是:对于圆内接四边形ABCD的两组邻边乘积之和,也就是ab+cd和bc+ad,能否像托勒密定理那样分别找到两条线段m、     

例谈切割线定理的妙用

平面几何中有切割线定理:如图1,圆O的切线PA(A为切点)与割线PBC满足关系PA2= PB·PC;割线满足PA·PB=PC·PD;割线交于圆内     

圆外切四边形为圆内接四边形的充要条件

可外切于一圆的四边形称为圆外切四边形,可内接于一圆的四边形称为圆内接四边形.下面问题应如何回答:圆外切四边形一定是圆内接四边形吗?显然,正方形既是圆外切四边形又是圆内接四边形.但是当图形不是如此“正规”时情况会怎样?略微思考一下你将会     

圆内接四边形的性质

圆内接四边形除了具有课本直接介绍的“对角互补”和“外角等于内对角”的性质以外,还有很多其他的性质,通过研究、归纳和总结这些性质,来复习和巩固所学的几何知识,这对锻炼思维探索能力,加深对某些几何问题的理解,是非常有益的．性质1圆内接四边形的两组对边乘积的和等于两条对角线的乘积．     

只知其一 不知其二——圆的中考二解问题错例分析

全面的考虑问题是正确地解决问题的关键所在.而有些同学在解圆的有关题目时,因考虑不周而出现漏解的现象.现以考题为例加以分析,以飨读者例1(2005年黄冈)已知点P是半径为2的⊙O外的一点,PA是⊙O的切线,切点为A,且PA=2,在⊙O内作出长为22的弦AB,连接PB,则PB的长为.错解如图1,连结OA、OB.图1图2因为OA2+OB2=22+22=8,AB2=(22)2=8,所以OA2+OB2=AB2.所以△AOB为以∠AOB为直角的直角三角形.因为PA⊥OA,所以PA∥OB.又因为PA=OB=2,所以四边形AOBP为正方形.所以PB=OA=2.分析上面的解答只考虑了点P和圆心O在弦AB的异侧的情况…     

例说求两条线段比值的方法

求两条线段的比值是几何中常见题型之一,遇到此类问题,同学们因缺少方法常常难以解决.下面举例说明一些常见方法. 一、直接法例1 如图1,在正方形ABCD中,以D为圆心、DA为半径画AC,以BC为直径画半圆,圆心为O,两弧交于P点.连结PA、PB、PC,延长CP交AB于M,求:(1)BP∶BM的值;(2)PA∶PB的值.