数学最值问题错解剖析

例1求函数y=x+5-x2√的最值.错解由y=x+5-x2√得2x2-2yx+(y2-5)=0.∵xR,∴Δ=4y2-8(y2-5)≥0,-10√≤y≤10√,∴ymax=10√,ymin=-10√.剖析把y=x+5-x2√两边平方后得(y-x)2=5-x2.显然,5-x2≥0,x的范围没有改变.错因是改变了值域.由y-x=5-x2√知y≥x,而把y-x=5-x2√两边平方后,值域发生了改变.正解由y=x+5-x2√得2x2-2yx+(y2-5)=0.∵xR,∵xR,∴Δ=4y2-8(y2-5)≥0,∴-10√≤y≤10√.又∵y≥x,-5√≤x≤5√,∴y≥-5√,-5√≤y≤10√.∴ymax=10√,ymin=-5√.例2求函数y=x2+2x+2x2+2x+5√的最小值.错解令t=x2+2x+5√,则x2+2x=t2-5.∴y=t2…     

走进二次根式求值问题

二次根式求值问题是二次根式学习中常见的一种问题.解答它们,仅仅考虑常规的先化简后代入的方法有时很难奏效,必须巧用一些其他的方法. 一、巧用二次根式的定义 例1 已知x、y为实数,且满足√1+x-(y-1)√1-y=0,则x2011-y2011=______. 分析:由二次根式的定义,得√1 +x ≥0、√1-y≥0,那么y-1≥0.又1-y≥0,则y的值可以求出.随之,x的值也可以求出. 解:已知等式为√1+x=(y-1)√1-y. ∵√1+x≥0,√1-y≥0, ∴√y-1≥0,1-y≤0. 又∵1-y≥0, ∴1-y=0,y=1. 把y=1代入已知等式,得√1+x=0,x=-1. 则求式=(-1)2011-1=-2.     

函数最值问题中错解剖析

一、忽视条件中隐含条件致误例1已知3x2 2y2=6x,求x2 y2最大值.错解:由已知得y2=3x-32x2,代入,得x2 y2=x2 3x-32x2=-12(x-3)2 29,故当x=3时,x2 y2取最大值为29.剖析:由y2=3x-32x2≥0,得0≤x≤2,也就是说x=3是取不到的.原因是忽视条件中x的隐含条件是0≤x≤2.正解:由已知得y2=3x-32x2,代入,得x2 y2=x2 3x-32x2=-12(x-3)2 29,又由y2=3x-32x2≥0,得0≤x≤2.故当x=2时,x2 y2取最大值为4.二、运用判别式而致误例2求函数y=x $5-x2的最值.错解:移项平方整理,得2x2-2yx (y2-5)=0.由Δ≥0,即4y2=8(y2-5)≥0.得-$10≤y≤$10.所以ymin=-$10,ymax=$10.剖…     

条件二次根式值的求法

一、利用对称式求解例 1 .已知 :a=15- 2 ,b=15 2 ,求a2 b2 7的值。解 :由题设可得 a b=2 5,ab=1。∴原式 =( a b) 2 - 2 ab 7=( 2 5) 2 - 2 7=2 5=5。二、定义法求解例 2 .已知 y=x- 8 8- x 1 8,求代数式 x yx - y- 2 xyx y - y x的值。解 :依据二次根式的定义 ,知 x- 8≥ 0 ,且 8- x≥ 0 ,∴ x=8,从而 y=1 8。∴原式 =x yx - y- 2 ( xy) 2xy( x - y )=( x - y ) 2x - y =x - y=8- 1 8=- 2 。三、用非负数性质求解例 3.如果 a b | c- 1 - 1 | =4a- 2 2 b 1 - 4,那么 a 2 b- 3c=。解 :将原条件式配方 ,得 ( a- 2 - 2 ) …     

一道IMO预选题的简解

题目　已知x≥y≥z>0 .求证 :x2 yz +y2 zx +z2 xy ≥x2 +y2 +z2 .这是第 3 1届IMO的一道预选题 ,原解答较繁 ,且技巧性强 ,这里给出一个相对简洁的证法 .证明 :由Cauchy不等式 ,有x2 yz +y2 zx +z2 xyx2 zy +y2 xz +z2 yx≥(x2 +y2 +z2 ) 2 .观察上式知 ,如有x2 yz +y2 zx +z2 xy ≥x2 zy +y2 xz +z2 yx ,则问题得证 .通分移项 ,有x3 y2 -x2 y3 +y3 z2 -y2 z3 +x2 z3 -x3 z2 ≥0 .①故只须证式①成立 .x3 y2 -x2 y3 +y3 z2 -y2 z3 +x2 z3 -x3 z2=x2 y2 (x-y) +y2 z2 (y-z) +x2 z2 (z-x)=x2 y2 (x -y) +y2 z2 (y -z) +x2 z2 ·(z-y +y -x)…     

用判别式法求函数值域

判别式法是求函数值域的主要方法之一,方程思想在函数问题上的应用。它的理论依是:函数的定义域是非空数集,将原函数看作以y为参数的关于x的二次方程,若方程有数解,必须判别式Δ≥0,从而求得函数的值。因此,判别式法求函数值域的适用范围虽然泛,但又是有条件制约的。一、判别式法的广泛性⑴判别式法不只适用于形如y=x2+b1x+c1x2+b2x+c2(a12+a22≠0)的函数的值域问题。例1:求函数y=x-2-x√的值域。解:由已知得x-y=2-x√∵2-x≥0∴x≤2,又∵x-y≥0∴y≤2y=x-2-x√两边平方,整理得:x2-(2y-x+y2-2=0则解得y≤94又∵y≤2,故原函数的值域为狖y∈R…     

国家基础教育课程改革实验区2004年中考试题分类选编（一）

一、方程1.① (灵武市 )解方程x2 +2x - 3=0 .　　② (芜湖市 )已知方程 3x2 - 9x+m =0 的一个根是 1,则m的值是　　　　 .③ (潍坊市 )方程 1x- 1- 1x+1=1的解是　　　　 .2 .(海口市 )把分式方程 1x- 2 - 1-x2 -x =1的两边同时乘以(x - 2 ) ,约去分母 ,得 (　　 ) .　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(A) 1- (1-x) =1(B) 1+(1-x) =1(C) 1- (1-x) =x - 2 (D) 1+(1-x) =x - 23.(青岛市 )用换元法解方程x2 +x +1=2x2 +x 时 ,若设x2 +x =y ,则原方程可化为 (　　 ) .(A)y2 +y+2 =0 (B)y2 -y - 2 =0(C)y2 -y +2 =0 (D)y2 +y - 2 =04 .…     

二次根式解题中的常见错误剖析

同学们在学习二次根式时,常会犯一些错误,现举例说明,供同学们参考. 1.化简x3+2x2y+xy2√. 错解:原式=x(x+y)2√=x+yx√. 分析:答案中根号外的x+y是一个整体,必须加括号. 正解:原式=x(x+y)2√=(x+y)x√. 2.把式子x-1x√中根号外的因式适当变形后移到根号内,并使原式的值不变. 错解:原式=x2√·-1x√=-x√. 分析:由公式a=a2√(a≥0)知,根号外的负因式要移进根号内且保持原式的值不变时,需在根号外添加一负号.如-4=-(-4)2√. 正解:由题意可知-1x>0,∴x<0. ∴原式=--x-1x√=-(-x2-1x √=--x√. 3.计算2√÷3√…     

中考模拟试题精选

一、单项选择,从每小题所给的四个答案中选出能填入空白处的最佳答案()1.usefulbookis。A.WhatanB.WhataC.HowanD.Howa()2.hermother,Katecooking解原式=x-32(x-2)÷(5x-2-x2-4x-2)=x-32(x-2)÷9-x2x-2=x-32(x-2)·x-2(3 x)(3-x)=-12(x 3).由已知得x 2x 3=3√ 2√ 1,即1-1x 3=3√ 2√ 1,∴-1x 3=3√ 2√,∴原式=3√ 2√2.verymuch.A.Like,likeB.Likes,likesC.Likes,likeD.Like,likes()3.Ifyourwork,youcanwatchTV.A.willdoB.isdoneC.willbedoneD.hasdone()4.Willyoupleasemakefortheoldman?A.roomB.roomsC.theroomD.therooms()5…     

巧求代数式的值

每年的中考与竞赛都有代数式求值这类题,并且这些题的解法各异,灵活多样.解这类题,若能抓住题目的特点,巧妙代入,就可达到事半功倍的效果.一、直接代入求值例1已知x=2-3√,求2-x(7+43√)x2-(2+3√)x+3√的值.解:把x=2-3√代入,得原式=2-(2-3√)(7+43√)(2-3√)2-(2+3√)(2-3√)+3√=3√(7+43√)(7-43√)-(2+3√)(2-3√)+3√=3√1-1+3√=1.二、先化简,后代入求值例2已知x=2√+2,求x3x-1-x2-x-1的值.解:原式=x3-(x-1)(x2+x+1)x-1=x3-(x3-1)x-1=1x-1.当x=2√+2时,原式=12√+2-1=12√+1=2√-1.三、先代值,后化简求值例3已知x=3√,y=2,那么代数式…     

用三角代换法求函数的值域

一、对于含有代数式a2-x2√的函数或方程,可设x=acosα(0≤α≤π)或x=asinα(-π2≤α≤π2).例1已知x1-y2√+y1-x2√=1,求u=x+y的取值范围.解由题意可知0≤x≤1,0≤y≤1,不妨设x=cosα,y=cosβ(0≤α≤π2,0≤β≤π2),代入已知条件中得cosα1-cos2β√+cosβ1-cos2α√=1,即sin(α+β)=1.∵0≤α≤π2,0≤β≤π2,0≤α+β≤π,∴α+β=π2,β=π2-α,∴u=x+y=cosα+cosβ=cosα+cos(π2-α)=cosα+sinα=2√sin(α+π4).∵π4≤α+π4≤34π,2√2≤sin(α+π4)≤1,即1≤2√sin(α+π4)≤2√,∴u=x+y的取值范围是犤1,2√犦.二、对于含有…     

高中数学中分离技巧的应用

正"分离"是高中数学中常用的一种解题技巧,掌握这种技巧,对于简化相应题目的思维量与解题步骤大有裨益.笔者结合教学实践谈一下四种常用的分离技巧.1分离自变量函数中有自变量与因变量,我们常见的函数是因变量关于自变量的函数.分离自变量即是把自变量通过变形从函数解析式中分离出来.例1求函数y=10x-110x+1的值域.解:y=10x-110x+1,10x-1=y·10x+y,10x=y+11-y,所以x=lgy+11-y,由y+11-y0,得-1y1,所以函数y=10x-110x+1的值域为(-1,1).     

巧算平均数

【例1】　已知a>0,b>0且a+b=1,求证a+12+b+12≤2.证明:设x=a+12,y=b+12且x+y=k则射线x+y-k=0与圆弧x2+y2=2有交点,所以|-k|2≤2即|k|≤2.∴a+12+b+12≤2【例2】　已知实数x,y满足(x-3)2+(y-3)2=92,则yx的最大值是　　　　.解:令yx=k,则直线kx-y=0与圆(x-3)2+(y-3)2=92有交点.所以|3k-3|k2+1≤32.整理,得k2-4k+1≤0.解之,得2-3≤k≤2+3.故yx的最大值是2+3.【例3】　求函数y=2-sinx2-cosx的值域.解:令u=cosx,v=sinx,则直线yu-v-2y+2=0与圆u2+v2=1有交点.∴|-2y+2|y2+1≤1整理,得3y2-8y+3≤0.解之,得4-73≤y≤4+73故所求函数的值域为[4-73,4+73…     

一道不等式高考题的证明与推广

题目 设x≥1,y≥1,证明:x+y+1/xy≤1/x+1/y+xy. 这是2011年高考安徽卷理科第19题,本文给出该不等式的两种证法并对不等式进行推广,与大家交流分享. 证法1:右边减去左边得1/x+1/y+xy-x-y-1/xy=y+x+x2y2-x2y-xy2-1/xy,将分子以x为主元整理得y(y-1)x2+(1-y2)x+y-1,即(y-1)(x-1)(xy-1),因为x≥1,y≥1,所以(y-1)(x-1)(xy-1)≥0,故1/x+1/y+xy-x-y-1/xy≥0,即x+y+1/xy≤1/x+1/y+xy,当且仅当x=1或y=1时等号成立.     

例谈函数的单调性

一、比较大小例1若logx23-logx53≥log-y23-log-y53,则A.x-y≥0B.x+y≥0C.x-y≤0D.x+y≤0分析根据所给不等式的结构特征,可考虑构造函数f(t)=logt23-logt53,利用函数的单调性即可确定x与y之间的关系.解令f(t)=logt23-logt53,则易证f(t)在(-∞,+∞)上是增函数,由题设条件得f(x)≥f(-y).根据函数f(t)的单调性,得x≥-y,即x+y≥0.选B.二、求值例2已知x,y是实数,而且满足下列方程组(x-1)3+1997(x-1)=-1,(y-1)3+1997(y-1)=1 则x+y=_____.分析要直接解出x,y显然不大可能,因此必须考虑建立x,y之间的联系.解原方程组可化为(x-1)3+1997(x-1)=-1,(1…     

求函数值域的常用策略

求函数值域问题是高中数学的重点和难点,也是高考的热点.本文对求函数值域常用方法作些归纳,供同学们参考.一、分离常数法例1求函数y=x2-xx2-x+2的值域.解:y=x2x-2-x+x2=1-x2-2x+2,而x2-x+2=x-212+74≥47,所以0相似文献   

常用的六种换元方法

一、整体换元法例1计算20+142√3√+20-142√3√.解:设20+142√3√+20-142√3√=x,两边立方,得20+142√+20-142√+3202-(142√)3√2(20+142√3√+20-142√√)=x3,∴x3-6x-40=0,∴(x-4)(x2+4x+10)=0.∵x2+4x+10=(x+2)2+6>0,∴x-4=0,∴x=4.故20+142√3√+20-142√3√=4.二、局部换元法例2解方程5x2+x-x5x2-1√-2=0.解:设y=5x2-1√,则原方程可化为y2+x-xy-1=0,∴(y-1)(y-x+1)=0,解得y=1或y=x-1.当y=1时,5x2-1√=1,解得x1,2=±10√5;当y=x-1时,5x2-1√=x-1,解得x3=12,x4=-1,经检验,x3=12,x4=-1是增根.故原方程的根是x1,2=±10√5.三、常值换元法…     

椭圆与双曲线的一个重要性质

已知ABC的3个顶点都在⊙O上,且A,B两点关于圆心O对称.设直线AC的斜率为k1,直线BC的斜率为k2,则有k1k2=-1.通过类比的分析,易证对椭圆、双曲线亦有类似的结论.命题已知ABC的3个顶点都在椭圆x2m+yn2=1上,且A,B两点关于原点O对称,设直线AC的斜率为k1,直线BC的斜率为k2,则k1·k2=-mn.证明设A(x1,y1),则B(-x1,-y1),又设C(x2,y2),则由点A、C在椭圆上得x12m+yn21=1,①x22m+yn22=1.②②-①,得(x2-x1)m(x1+x2)+(y2-y1)n(y1+y2)=0.∴yx22++yx11·xy22--xy11=-mn.又k1=xy22--yx11,k2=xy22++xy11,∴k1·k2=-mn.例设M是椭圆C:1x22+y42=1上的…     

巧用特殊法 妙解课本题

根据题型数值结构特征 ,选用恰当的化简技巧 ,是解决课本二次根式题的关键。一、变换所求 ,以简改繁例 1　已知 x=12 (7+5 ) ,y=12 (7- 5 ) ,求 x2 - xy+ y2 的值。 (课本 P2 2 0第 7题 )解 :当 x =12 (7+5 ) ,y=12 (7- 5 )时 ,原式 =(x- y) 2 + xy　　 =(5 ) 2 + 14 (7- 5 )　　 =112 。二、化简变形 ,化难为易例 2　已知 x=3+ 23- 2,y= 3- 23+ 2,求 xy+ yx的值。 (课本 P2 2 1B组第 3题 )解 :∵ x=- 7- 43,y=- 7+ 4 3,∴ x+ y=- 14 ,xy=1。∴原式 =x2 + y2xy =(x+ y) 2 - 2 xyxy　　　 =(- 14 ) 2 - 2× 1=194。三、变形凑零 ,捷足先登…     

第二章《一元一次方程（二）》测试题（新课标人教版）

一、精心选一选——慧眼识金(每小题3分,共30分)1.已知1-(3m-5)2有最大值,则方程5m-4=3x 2的解是()A.79B.79C.-97D.-792.解方程1-2(x-1)-4(x-2)=0,去括号正确的是()A.1-2x 2-4x-8=0B.1-2x 1-4x 2=0C.1-2x 2-4x 8=0D.1-2x-2-4x-8=03.解方程2x 13-106x 1=1,去分母正确的是()A.4x 1-10x 1=1B.4x 2-10x-1=1C.4x 2-10x 1=6D.4x 2-10x-1=64.四位同学解方程x-13-x 62=42-x,去分母分别得到下面四个方程:①2x-2-x 2=12-3x;②x-2-x-2=12-3x;③2(x-1)-(x 2)=3(4-x);④2(x-1)-2(x 2)=3(4-x).其中错误的是()A.②B.③C.②③D.①④5.解方程4(y-1)-y=…