不等式a_1~2+a_2~2+…+a_n~2/n≥(a_1+a_2+…+a_n)~2/n的证明

本刊1983年第二期《不等式(a~2+b~2)/2≥((a+b)/2)~2的推广与应用》一文证明了下面命题: 若a_1,a_2,…,a_n都是实数(n属于自然数),则有     

不等式a_1 a_2…a_n≥f(n)的三种证法

<正>在各级考试题中有关数列乘积的不等式a1·a2·…·an≥f(n)的证明时有出现.下面先通过一个例子介绍这类问题的三种证法,然后提供一些练习供同学们思考,以便巩固这三种方法.     

不等式(a~2 b~2)/2≥((a b)/2)~2 的推广及应用

不等式ａ２＋ｂ２２≥（ａ＋ｂ２）２的推广及应用甘肃省平凉师范宋灵宇现行高级中学课本《代数》下册Ｐ．１５第１１题给出不等式（ａ＋ｂ２）２≤ａ２＋ｂ２２．利用该不等式可以简捷巧妙地解答其它一些不等式问题．本文简单介绍它的应用及推广，供大家在教学中参考．一...     

lim [(a_1)+(a_2+…+(a_n)~(1/r))~(1/r)]~(1/r) from n=1 to n→∞的敛散性的讨论

从数列[2+(2+…+2~(1/2))~(1/2)]~(1/2)到一般形式的数列[(a_1)+(a_2+…+(a_n)~(1/2))~(1/2)]~(1/2),再到更一般形式的数列[(a_1)+(a_2+…+(a_n)~(1/r))~(1/r)]~(1/r),并对其敛散性作出讨论。     

(a_2)~(1/2)+(a_3)~(1/2)大于(a_1)~(1/2)+(a_4)~(1/2)的一种简捷判定法

一、问题的提出 高中数学课本第三册第二章“不等式的性质和证明”中,出现了下列一类题目,仔细观察和研究这些题目,发现了很有趣的结果。如: 60页例4,求证了丁+训幸<了了++侧万(即侧3十侧万>了丁+了下);60页练习第4题,证明亿万+亿下>2了万十了了(即侧在+了下>了了十侧百);65页习题三第4题,证明:(l)了百一了压万I<了舀死一亿舀二5(a》3)(即侧不而+了云二i>侧舀万万十了万); (或四个正数)a,、a:、a3、a‘的算术平方根中,哪两个之和大于其余两个之和?当然,亿面+亿石>训面+亿云)是显.然的,训砚+斌石>记石+侧石也是无疑‘钓。那末,关于训可+斌面…     

对根式q_1(a_1)~(n_1)+q_2(a_2)~(n_2)…+q_s(a_s)~(n_s)无理性的研究

利用对称多项式以及整系数方程根的有关性质,得到了形如q1+(a1)~(n1)+q2(a2)~(n2)+…+qs(as)~(ns)(a1、a2、…、as、n1、 n2、…、ns是大于1的正整数,a1、a2、…、as互不相等,q1、q2、…、qs为任意非零有理数)为无理数非常简单的一种判别方法．     

a_2~(1/2)+a_3~(1/2)>a_1~(1/2)+a_4~(1/2)的几何解释

本刊1984年3期中《(a2)~(1/2)+(a_3)~(1/2)>(a_1)~(1/2)+(a_4)~(1/2)的一种简捷判定法》一文指出:当a≥0m>0,n≥0时,有(a+m)~(1/2)+(a+m+n)~(1/2)>a~(1/2)+(a+2m+n)~(1/2)成立。并给出了代数证明。本文对以上结论给出它的一个几何解释。由于((a+m)~(1/2))~2-(a~(1/2))~2=m-(m~(1/2))~2,     

(a_1~n a_2~n)/2≥[(a_1 a_2)/2]~n的三角换元证法

本刊93年10期集锦栏用三角换元法给出了不等式：的一个新证法，但证明过程中的明显是错误的．这里，我们介绍不等式的一种三角换元证法．（下转第15页）（上接第33页）则原不等式等价于由贝努利不等式知① ②即得不等式（2），从而原不等得证．注记l°三角不等式（l）的证明也可借助配凑法完成．2°利用上述证法可把不等式推广成：*我们收到不少读者来信指出其错误，特别是原作者也发现了其中的错误，为此特向各位读者致歉，并衷心感谢各位读者对本刊的关心、帮助、爱护与支持。(a_1~n a_2~n)/2≥[(a_1 a_2)/2]~n的三角换元证法@李之$江阴职…     

证明lim(a_0x~n+a_1x~(n-1)+…+a_(n-1)x+a_n)(x→∞)=∞

从中专《数学》教材看出,根据非零无穷小的倒数为无穷大易证(其中a_0≠0),本文从无穷大的角度,给出它的另一种证明。 由无穷大的定义及无穷大与无穷小的关系易得无穷大的三条性质: (1)无穷大和常数的和仍为元穷大; (2)非零常数和无穷大的乘积仍为无穷大;     

巧用lim from(n→∞)(a_(n+1))=lim from (n→∞)a_n解题

我们知道 ,由数列极限定义知 :当limn→∞an存在时 ,limn→∞an+1 =limn→∞an.那么这个结论在解题中有什么应用呢 ?例 1　已知limn→∞an 存在 ,且limn→∞2anan+1 + 1 =1 ,求limn→∞an 的值 .分析　设limn→∞an =A .∵　limn→∞2anan+1 + 1 =1 ,∴　2limn→∞anlimn→∞an+1 + 1 =1 ,∵　　limn→∞an+1 =limn→∞an =A ,∴ 2AA + 1 =1 ,解之得A =1 ,即limn→∞an =1 .例 2　数列 xn 满足x1 =a>0 ,xn+1 =12 xn+ axn,若数列 xn 的极限存在且大于0 ,求limn→∞xn 的值 .分析　依题意 ,设limn→∞xn =A >0 ,则limn→∞ xn+1 =limn→∞x…     

求sum from k=1 to n(a_mk~m a_(m-1)k~(m-1) … a_1k a_0)的简便方法

求自然数的方幂和S_m(n)=sum from k=1 (k~m),一般利用递推公式,先算出s_1(n),s_2(n),…,s_m-1(n),然后才能求出s_m(n)。本文给出的方法,可以直接求出sum from k=1(a_mk~m a_(m-1)k~(m-1) … a_1k a_0),其特殊情形就是sum from k=1(K~m)。     

基本不等式(ab)~(1/2)≤(a+b)/2

《基本不等式》这节课主要研究从代数和几何两方面探究基本不等式的证明过程,体会数形结合,提高论证能力,提升数学素养。     

不等式(a+b)/2≥(ab)~(1/2)的应用

本文提供了若干关于不等式a+b╱2≥(ab)~(1╱2)在代数、几何、三角及分析方面应用的例子,特别是介绍了由上述不等式推得的其它一些不等式的应用,这些结果对于求解某些多元函数条件极值问题是很有用的。     

对“a_(n+1)=a_n+d”的思考与拓宽

an+1=an+d是同学们熟知的等差数列的递推公式,如果我们对其进行思考与拓宽,即将式中an+1,an的系数及d进行改变,就会变换出多种利用递推公式求数列通项的热门题型,下面我们逐一分析.     

不等式((a b)/2)≥(ab)~(1/2)的推广

不等式的证明中学生一般感到较为困难,其原因是题目变化较多,技巧多样,方法灵活,难度较高。但是仔细研究可以发现众多的题目可以由少数的基本不等式引伸而出,不少题目是同出一源。如果能适当归类,就能举一反三。现仅就一类有关“平均值”的不等式的证明作一简单的讨论和推广。 在现行统编高中数学教材第三册第二章证明了定理:如果a,b是实数,那么a~2 b~2≥2ab(当且仅当a=b时取“=”号)和它的推论:如果a,b都是正数,那么     

不等式(1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/2n)~2<1/2的六种不同证法

给出了不等式(1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/2n)2<1/2的六种不同证法。     

不等式(a b)/2≥(ab)~(1/2)的几何证法种种

初中数学中的基础知识不仅包括初中代数与几何中的概念、法则、性质、公式、定理等,更重要的是由其内容所反映出来的数学思想和方法。其中数形结合思想是很重要的一条,利用数形结合思想来证明数学题目,不仅构思巧妙、直观易懂,而且能给出代数题目的     

∑sinA≤3(3~(1/2)/2)的加强

对0≤k≤2 2(2~(1/2)),在△ABC中成立不等式 ∑sinA≤3(3~(1/2))/2 k[∑sinA/2-3/2]。 (＊) 证明 首先,4cos((A B)/4)(1 cos((A-B)/4))≥4cos(π/4)(1 cos(π/4))=2(2~(1/2)) 2≥k。     

((a-b c)/a)~(1/2) ((b-c a)/b)~(1/2) ((c-a b)/c)~(1/2)的一个下界

安振平先生在《中学数学月刊》2 0 0 3年第 7期《一个三角形中的不等式》一文中给出了不等式 :命题 1　在△ ABC中 ,三边长 a,b,c,则a - b ca b- c ab c - a bc ≤ 3. ( 1 )现在给出 ( 1 )左式的下界 :命题 2　在△ ABC中 ,三边长为 a,b,c,则 a - b ca b- c ab c - a bc >2 . ( 2 )证明　设2 x =a - b c,2 y =b- c a,2 z =c- a b则a =x y,b =y z,c=z x,且 x,y,z >0 .∴ a - b ca b - c ab c - a bc=2 xx y 2 yy z 2 zz x= 2 ( xx y yy z zz x)>2 ( xx y yy z zz x)>2 ( xx y z yy z x zz x y) =2 .这个…