简谈有理数域上多项式的可约性

复数域,实数域和有理数域是最为常见的三个数域,因而这三个数域上的多项式是实用最多的多项式。在复数域上,只有一次多项式是不可约的：在实数域上,只有一次多项式和含非实并轭复数根的二次多项式是不可约的。然而,在有理数域上都存在任意次不可约多项式。因此判定有理数域上多项式的可约性就成为十分必要的一个问题。一、问题的解决设f（X）是有理数域上的一个多项式。若是f（x）的系数不全是整数,那么以f（x）系数分母的一个公倍数x乘f（x）,就得到一个整系数多项式kf（x）。显然,多项式f（x）与kf（x）在有理数域上同时可约或同…     

高斯引理和艾森施坦因判别法的一个证明和推广

文森施坦因判别法是判定一个整系数多项式在有理数域Q上不可约的有效方法，它可以由高期引理推得，但在所有的教科书中，都没有指出这两个定理的证明方法有何联系。事实上，它们都可以作为下面的命题1的推论，命题至的证明如高斯引理。但Nb。，…··b4－；，川c。，c；…c：－1·”·周匕csp是素数。对匕，入。NC。，与对C．矛盾，．．．vC。，C；，…Ck－，定理1（高斯5！理）两个本原多项式的积是本原多项式。证明f（x），x（x），h（x）如命题1所示，设g（x）与h（x）是本原多项式，若g（X）与h（X）的积f（X）不是本原多项式，则…     

多项式f(x)=sum from i=0 to n(x~i)在Q上的可约性初探

在有理数域Q上的多项式,由艾轰斯坦因判别法证明了分园多项式x~(p-1) x~(p-2) … x 1(P为素数)在Q上不可约,我们自然会想到一般的f(x)=x~i=x~n x~(n-1) … x 1的可约性,这里有两个问题值得研究:(1)是否只有当f(x)为分圆多项式时才不可约?(2)当f(x)可约时,如何在Q上分解为不可约因式之积;关于问题(1)我们首先引入下面的命题。     

论反证法

反证法是古典的证明方法之一。但从当今数学教学实践中反映出的问题上看,有关反证法一些实质性问题,仍有必要进一步澄清和探讨。例如,有人说,反证法就是证明命题的递否命题。按照这种说法,欲证命题“A→B”,应由B(B的否定)(?)A但在实际证明中,由B不一定推出A,而是只要推出一个矛盾即可,怎样解释呢?又如,有人认为:(?)×(|f(x)|>M)”表示M不是f(x)的界。显然是命题否定的错误。本文从逻辑角度,就反证法原理、正确否定结论和应用范围等问题,试谈几点看法。     

浅谈三角证题中的反证法

反证法不仅可以用来证明几何命题,还可以用来证明三角命题。有些三角命题用直接证法无从下手,但用反证法证就显得简捷明快、得心应手;同时在三角教学中适当采用反证法将加深学生对其实质的理解,提高解题的能力。 一、证明无理数问题 例1.求证:sin20°是无理数 证明:三倍角公式 sin60°=sin(3×20°)=3sin20°-4sin~320° ∴3sin20°-4sin~320° 假设sin20°是有理数,则①式 左边=有理数,右边=无理数,这是不可能的,     

哪些命题宜用反证法证明

经常听到有人这样说:哪些命题宜用反证法证明呢?本文将就这一问题谈一点肤浅的认识.1.否定性命题如果一个命题的结论是用否定句式作出的(如命题结论含有"不可能"、"不可约"、"不……"等之类词语),常常用反证法.例1.证明分数     

关于多项式理论中一个问题的注记

某些高等代数教程(参考文献(1),(2))中有这样一个问题: 证明,数域F上一个次数大于零的多项式f(x)是F[x]中某一不可约多项式的幂的充分且必要条件是对于任意g(x)∈F[x],或者(f(x),g(x))=1或者存在一个正整数m使得f(x)|g~m(x). 这个命题中条件的必要性是成立的(这一点不难证明),而条件的充分性不是对于任意数域F都成立。请看下面讨论。假设f(x)是数域F上一个次数大于零的多项式,并且满足条件:对于任意g(x)∈F(x),     

用反证法解答存在性问题

讨论具有某种性质的数学对象是否存在,是数学中比较重要的一类问题。近年来国内外的数学竞赛和大学、高中入学试题中这类问题比较多。这类问题常用反证法解答。现举例说明如下。例1 试证在0与1之间存在着无穷个有理数。证明:假设在0与1之间的有理数仅有n个:a_1、a_2、…、a_n。根据有理数与有理数之积仍为有理数,便可构造一个与     

江苏省初中数学竞赛系列培训 有关方程整(有理)数解的问题

在江苏省初中数学竞赛中,几乎历届(1～20届)都有涉及方程整(有理)数解的问题.这类考题需要考生先判断方程有无整(有理)数根,然后再进行相应地计算或证明.从考题本身看,考点广及方程根的概念、求根公式、判别式、根与系数的关系等重要的知识点,以及有理数的表示、奇偶分析、质因数分解、消元降次、反证法等重要思想方法,因此这类考题一直成为竞赛中的热点.由于这类问题形式多样,切入点多,解法多变,我们必须认真思考,灵活应对.例1(江苏省第17届初中数学竞赛题)当m为整数时,关于x的方程(2m-1)x2-(2m+1)x+1=0是否有有理根?如果有,求出m的值;如果…     

关于2~(1/2)是无理数的证明

关于为无理数的证明,课本上虽然没有涉及,但由于其证明中所用到的知识我们都熟悉或易于理解,因此这一问题的提出我们是可以或者应该接受的．不过需特别提醒同学们的是,由于直接证明难以着手,因此在证明过程中采用了反证法．反证法是间接证法的一种,应用反证法证题的基本思路是先假设命题不成立,然后从假设出发,经过严格的推理论证,得出与公理、定理或已知相矛盾的结果,进而说明假设不成立,从而肯定原命题成立．另外,证明中还用到了整数的奇偶性．以下我们给出为无理数的证明．证明（用反证法）假设不是无理数,那么是有理数,于…     

关于离散函数的一个命题及其应用

关于离散函数有如下命题设f（x）是定义在数列{a_1，a_2，…，a_n｝上的函数．（1）如果f（x）存在最大值f（a_k），且关于i的不等式组（2）如果f（x）存在最小值f（a_k），且关当数列{a_n}为无穷数列时，命题仍成立．证我们只证明（l），(2）的证明和（1）完全一样．∵f（x）在{a_l，a_2，…，a_n}上的最大值从证明过程可知，当f（x）定义在无穷数列上时，命题仍成立．此命题虽然形式和证明都非常简单,但却有广泛的应用．例1若对正整数n，记a_n=10~n/n,则使a_n取值最大的n是多少？（1988年上海市高中数学竞赛高三第一试第二题）解∵　当n充…     

克朗奈克方法

一般《高等代数》教科书,只介绍艾森施但因(EiSonStein)判别法.但艾森施坦因判别法,有一定的局限性.对于有理数域上的多项式f(x),如果能找到一个素数p,满足三条件,固可断定f(x)在有理数域上不可约.反之,若不存在(即找不到)一个素数p满足三条件时,则既不能断定f(x)为不可约,也不能断定f(x)为可约.两方面的实例都可以找得到.例如对于x~5+x~4+x~2+x-4找不到一个素数P满足三条件((1,0,1,1,     

有关方程整（有理）数解的问题

在江苏省初中数学竞赛中，几乎历届（1～20届）都有涉及方程整（有理）数解的问题．这类考题需要考生先判断方程有无整（有理）数根，然后再进行相应地计算或证明．从考题本身看，考点广及方程根的概念、求根公式、判别式、根与系数的关系等重要的知识点，以及有理数的表示、奇偶分析、质因数分解、消元降次、反证法等重要思想方法，因此这类考题一直成为竞赛中的热点．由于这类问题形式多样，切入点多，解法多变，我们必须认真思考，灵活应对．     

KC_n的分解与K[X]上不可约多项式的对应关系

本文主要证明当K是有理数域Q的扩域,Cn是n阶循环群时,正则模KCn分解为不可约KCn—模的直和与多项式xn-1分解为K[x]上不可约多项式的乘积之间的一一对应关系。对每个直和因子V,计算出HomKCn（V,V）的具体结构,以及利用上述模分解与多项式分解的对应关系证明当标量域K作有限正规扩张时,对应不可约直和因子必裂成若干维数相等且互不同构的直和因子。     

“正难则反”好思路 峰回路转现通途

反证法是当直接证明某些结论感到"有理说不清"的时候,所采用的一种间接证明的方法,它的理论依据是原命题与其逆否命题的等价性,其核心内容是"以子之矛攻子之盾".用反证法证题的基本步     

二重积分对称性的应用

在讨论二重积分问题时，常常利用其对称性以简化运算或证明某些结论。总结如下： 命题1 设函数f（x，y）在平面有界闭区域D上连续。 （1）若区域D关于y轴对称，则f（x，y）dσ＝ （2）若区域D关于x轴对称，则f（x，y）dσ＝ 证 （1）积分区域D关于y轴对称，D：f（x，y）dσ＝dyf（x，y）dx。当f（x，y）关于x为奇函数时，f（x，y）dx＝0，故f（x，y）dσ＝0；当f（x，y）关于x为偶函数时，f（x，y）dx＝2f（x，y）dx，故f（x，y）dσ＝2dyf（x，y）dx＝2f（x，y）dσ， （2）证略 例1 计算二重积分dσ其中D∶＋1 解 由于积分区域D关于x…     

幂指函数求极限

在微积分的学习中，极限是认识和研究变量的重要工具和方法之一，而准确、熟练地计算极限是非常必要的。本文仅对经常遇到的幂指函数，即形如f（x）（f（x）＞0，f（x）≠1的函数的极限求法，试举几例。命题1 若f（x）＝a＞0，且g（x）＝b，则f（x）＝a （或x→∞） 证 f（x）＝e＝e，故limf（x） ＝e＝e＝a命题2 若f（x）＝1，且g（x）＝∞，则f（x）＝e （或x→∞） 证 f（x）＝[1＋（f（x）－1）] ＝ u（x） u（x）→e＞0，故limf（x）＝e例1 求 解 cos＝1，x2＝＋∞， 原式＝e，而·x2 ＝＝－，（利用v→0，1－cosv～） 原式＝e使用上…     

“a·b=c·d±e·f”型命题的一种证明方法

本文用分析法确定线段内(外)分点的位置,给出平面几何中形如“a·b=c·d±e·f”型命题的一种证明方法,此法不但思路单纯、证法简便、易于掌握,而且突破了具有普遍意义的证明这种命题需要添置怎样的辅助线的难点.事实上,欲证线段a·b=c·d±e·f,若能在线段a(或b)上,确定一内外分点x_1、x_2,设分点到线段a(或b)的两个端点的距离分别为x、y,即令a=x±y,则欲证原命题只须证(x±y)·b=c·d±e·f,须证x·b±y·b=c·d±e·f,须证     

谈谈周期函数(续)

二、有关定理下面介绍的一系列定理,可以帮助判定函数的周期性或求出最小正周期。定理1 设f(x)、g(x)皆为定义在实数集R上的周期函数,T_1与T_2分别为f(x)与g(x)的正周期,当T_1/T_2等于有理数时,则f(x)±g(x),f(x)·g(x)均为定义在R上的周期函数,且T_1与T_2的公倍数是它们的周期。(未必是最小正周期) 证设T_1/T_2=p/q(p与q皆为正整数)令T=qT_1=pT_2则f(x±T)±g(x±T)=f(x±qT_1)±g(x±pT_2)=f(x)±g(x).所以f(x)±g(x)是周期函数,T为周期。对于f(x)·g(x),同理可证是以T为周期的函数。注(1)实数集R可用上、下无界数集E代替;(2)对于有限个函数,定理仍然     

两道方程的巧解

解下列方程（x∈R）在解之前，先给出一个命题：设奇函数f（x）是严格单调增（减）函数，则方程f（x）＋f（ax＋b）＝0与方程（a＋1）x＋b＝0同解.证明：∵f（-x）＝-f（X），且f（x）是严格单调函数∴方程f（x）＋f（ax＋b）＝0与方程利用上述性质可以巧妙地解此类方程.解1.原方程变形为令f（x）＝X～3＋x，则易证f（x）在x∈R上是奇函数，且是严格单调增函数，则由上述命题知原方程f（x）＋f（5x＋3）＝0与6x＋3＝0同解，由此得，原方程的解为x＝-1/2.2.令x＋1＝t，则原方程可化为显然f（t）满足上述命题条件，从而此关于t的方程与3t＋1…