数学问题与解答

241.AB为半圆O的直径,在半圆中有、个圆,它们分别与半圆弧和AB相切于认、双“二1,2,…,。),试证:、条直线以双(么=1,2,…,、)相交于一点.证:’:BD十DC干习召=DO十口忍十.召通 =△ABC的半周长,:.BD=EA.①…BD一卜BF+不城二BD+DC十CZ亏 =△ABC的半周长, 方F一卜FA=DC十C忍_据赛瓦定理, AF 万,召刀口〔少五i’方DC召DC’玄月一二l,月少,万,方A尸+万,刀DC十CE一万男一二一-亡刀一 证:作出另一个半圆,形成回0.先看④O,,它与④O内切于口:,与A刀相切于几.设直线olD:交④O于点万. 显然O、O、、久三点共线,连d勿.、olDI. ‘,…     

2005年全国高中数学联赛试题解答集锦（续）

力目 一、(本题满分50分)如图1,在△月五汇二中,八B>AC,过A作△几压二的外接圆的切线2.又以A为圆心,AC为半径作圆分别交线段A召于D,交直线l于E、F.求证:直线刀E、DF分别通过△A仪二的内心与一个旁心. 基本证法:(1)先证工妞过△了勺熨二的内心.试z缆AG土口〕,IC=ID.又D、C、E在OA上, ,,,~1,一二。,一~二之二石气七二不~之二上人性LJ=之立1乃七. ‘.’.A、I、C、E四点共圆,:.匕CIE二艺C冷E=匕A仪二.~,~_‘,,_.,,_1,‘~~而匕CIE一2艺ICD,.’.艺ICD一言艺ABC· ,二,~,,~~.,,~~~*。.1,‘一。·’·艺AIC一艺IGC+艺肠二90o…     

一个梯形定理帮你解竞赛题

定理如图1,在梯形ABCD中,AD刀CB,过C与BD交于O,设△AOD一S,,△B次二二S:,△AOB~△COD~53.则 S彗=S,S:. __~、‘__,:______.,S, 事实上,△AOD与△CO力等高,故升~ 甲一一’~“一一J~一一一、J’,’~凡同时,鬓一豁,又AD、BC知,豁一箫O一0A一C寻即S支~S,52.口3凡一又 故 例1.(首届希望杯备选题)如图2,刀五为△ABC中位线,△BO(〕与△IX)E面积分别为3和2,则△ABC面积是(). C刁八一\、一2 /一月气‘一图 井︸ C盈 刀(A)(C) 图I5,_了又匕十了万). (D)(B)音(5+2汀)·以上都不对.1矛 9曰 由定理,51~月/万,知应选(B). 例2.(1…     

璀璨欧拉线 精彩高考题(高一、高二、高三)

题△ABC的外接圆的圆心为O,两条边上的高的交点为H,OH=m(OA OB OC),则实数m=.(05年全国高考卷Ⅰ)解如图1所示,O为△ABC外心,H为△ABC垂心.过O点作OMBC,则M为BC的中点.过A、B、C三点分别作对边的平行线,它们的交点设为A'、B'、C',则     

一道全国高中数学联赛试题的几点思考

题目:在△ABC中,艺A=60’,AB>AC,点O是外心,两条高月E、C下,交于点H,点M、N分别在线段BH、月F上,且满足BM=CN. ,、人好了十N月,,~r:: OH尸、二‘. 该题是2002年全国高中数学联赛加试题.笔者发现在解答中,当证得B、C、H、O四点共圆这一几何关系后,在上述已知条件情况下,图形中的点、角、边还有两个几何关系,而且这些几何关系可以推广到更一般的情形,其推广命题为: 命题:设O是定圆的圆心,BC是异于直径的定弦,动点A在优弧BC上(不包括点B、点C、优弧BC的中点和以点B或点C为端点的直径的另一端点),且满足艺BAc=600,BE、C于,是…     

第二题

(必要性证明) 【证法一〕因△ABC为锐角三角形,故它的外接圆心O在△A石亡,内.于是 S△,。c=50;注F SoF刀。 Sozoc七. 过点刀作④O的切线尸Q,贝}IOA上尸。, 乙尸AB“乙AcB. 又B,C,E,F四点共圆,:’匕月CB=艺AFE,艺尸AB二艺AF五. .’.尸Q 11 FE.则。A土F石. :·“口,月*一;0“EF 同理“。pB。一;。‘·FD, ‘。D。,二一三oc .D五 。_。、2-- 从而s。,。二令(。A .EF 。B.FD 。c.OE) 分、”幼一.月习专?、一--一一’一一-一’一~一一尹 R,一___一、 .下戈乙厂 户I,十Lj己). ‘ [证法二〕设O为△ABC的外心,连AO并延长交…     

共边三角形的一个性质及其应用

定理已知△ABC和△DBC共边召C,月9戈其延长线交BC与E,则 S△,刀e AE同.理还有S△p尸王p三P口:S△尸云尸:P王一尸、O、’丛已卫五当__塑二S△P玉尸:P石一P,口:’但S△Pp玉P玉卜S△P尸:F‘+习△P尸、正,,+S八P,P:F‘, . 月.. 一一雌呱从而P口尸口言一C干下;~+,汗牙一+了1甘1厂2叼2“,一卜。以一人,,_P口‘〕乙少沉少它1兄二/!、比一b牙厂一以 工乞岌沪艺,2,3)中至少有一个早‘生. ’一’3也至少有.一个是、飞一,即 j(乞二1,2,3)中,至少有一个)3,星PQ. 图一‘a图}。b, 证明:当B或C点与E点重合时,结论显然成立。当B、C与E不重…     

一个几何定理及其应用

一一B一CP一Q定理:在△ABC和△刃尸cl中,若二。+二一,80o,则器一毙瓷轰。BNsin乙1NCsin之2sin匕lsin匕2’②证:在△ABC中,由⑧②得器 尸B一配.AB BC而亡=薪石万;在△A,B‘C,中,A,B‘B,C‘赢万=妥石万’①②”且sinC二sinC‘。~_~~AB岁’~’耳吞A,B,推论:在△ABC和C(二产 国1BCsinA,B,C‘sinA.’△A,B‘C‘中,/C+ 2.证明线段相子 例2在△ABC中,AB>AC,AD为艺BAC的平分线,M为刀C的中点,过衬点作AD的平行线交AB及C通的延长线于P、Q,求证:PB=QC。 证如图, J~.___‘,,.,二,AB BC匕C‘=1800,匕A=艺A,,则弓带若;=.…     

张角公式在平几证题中的应用

一、张角公式 已知尸A,尸B,尸C三条射线,且匕APC二a,/C尸B=声,艺APB二a+刀<1800.则A,B,C三点共线的充要条件是sin(a+刀)_sinaPC尸B5 in刀尸A(1)证召乙尸月B如图1,如A,B,C共线,则二S△,,。+S占,c,,即1 oJ。。_.,.。、,汽尸f八.fU吕In气口+P)乙一合pA·尸Cs‘”“·PB sin刀.同除以工pA. 艺PB·尸C即得(1). 反之,如(1)成立, 图反推可知刀八尸j刀S△月刀口=S八尸摊口+召。尸e刀s。一s一:·…!=。 故A、B、C三点共线. 二、应用 例在二ABC的边CB,CA上,各向外作正方形CBRS,CA尸口,作CH止AB.求证:CH、BP、AR三线共点.(图…     

三角形中一条新的特征线

定理在△ABC中，垂心H、点对称垂心H’和点对称外心O’三点共线．     

高中数学联赛模拟试题

一试一、选择题(每小题6分,满分36分) 10为△AZ义刃的外心.、,葫.丽、、_。_+“(商+萨),“创0,通过△Al义)的(). A.外心B内心,动点尸满足茄=丽十co),则尸点轨迹一定C.重心 2.若方程2a·9朋,十4a·3嗽,‘+a解,则实数a的取值范围为() D.垂心一8=0有实数l任R},若集合MnN的子集恰好有16个,则实数a的取值范围为 2.函数y=}C,二}+{。,2二}(二〔R)的最小值是 3.设点P到点(一l,0)、(l,0)距离之差为2,z,,到二、y轴的距离之比为2,则实数m的取值范围为 4.在△八2又了中,/C=90’,艺B=30’,AC二2,M为八召中点,将△A〔派了沿(姚理折起,使A、召间的…     

三角形内心公式与竞赛题

△诚BC三边为a,乡,‘,三顶点坐标A(x:,万,),B(x:,夕2),C(xs,万:),[)’J心I(x:,Xz=万:),则‘x: 乙x: cxs a b cagl by: e万: 口十b十‘可用以解答许多较难的竞赛题. 例1。(IMO一29一5)在R之△ABC中,AD为斜边刀C上的高,连△A刀D与△ACD内心的直线分别与边AB,Ac交于K,L,S△”c“S,     

关于三角形面积比的定理及其应用

本文给出三角形与其内接三角形而积比的一个定理,并举例说明它的一些应用。 定理设D、E、F分别在△ABC的BC、推论2锐角△ABC,,(J三条高线分别文啥各边于D、E、F,则矛、AB边上,并且名召二‘1,入。,连接DE、万F、FD,妇① 502,:F S‘刁,。 于企论3D、E、F, S。,,:, S。刁,‘;=Zco“A·CO”B·eo、C③ △A刀C的内切圆分别切各边于则有 一一FBAF2(s一a)(s一b)(s一e) abc① +入·)(‘洛八1八S‘。。;_亏石品一(I一子一入证明如图一,连接CF,设+入,)(1+翻丝EA则51=S‘;。z,,52=S‘。,。,s。=S‘,;。于是有501,:r=S‘刁:e一(S;+…     

一道趣题的复数解法

‘,一专}、微。若箫(才任R)W平,一,则当tZ,t,川川︸W一一WW一W=2才:弓一W、t,)〔刀. 犷 下立 矛r气1一叭 ︸得使 不一.W ,一一OJ7了产︸一一/ a.题目.在平面二上任竞给定三条直线l。(无二z,2,3)及△A,A 2 A3,试问: i)是否存在点A,、任l、(壳=1,2,3),使得△A:‘A:zA,‘。△A,A,A,, i是)是否存在点A。产于l:(k=1,2,3),使得△A:/AZ产A,尸丝△姓,A:A,. b.约定.本文约定: 1)△A,产A:产A、尹。△A,A之一1,令今匕A:’二乙A:(k二1,2,3),△A,’A,’A,’哭△A:A ZA,令今△A:‘A,‘A,,的△A,A,A,,且}A:尸A,尸{二}A ZA、}. 2)对复…     

三角形中两个不等式的又一证法

设△ABC的内切圆O分别切各边于A产,B,,C’,内切圆、和R,内心到顶点A、外接圆半径分别为B、C的距离为a、、夕,文〔1〕用复数证明了:PD口.。,,,/1。~乃人A‘“‘“’簇诬。“ABc’因 3么R户5(a’刀’夕2.②等式当且仅当△A BC为正三角形时成立.本文用三角法证(l)、(2).P一R 一月任首先易证、in廷8 in乡。in旦=22R妻2户(当且仅当A=B=C=6。。时R=Zp)则由图。‘、,B/C/一丢。2(。in、,/。e ‘+8 in匕A产OB,+5 in乙B,OC,)2(8 inA+5 inB+5 inC)(命+命) Pi一2 一一 b书厄五一 P一ZR R/2S‘A”“镇一葱万S△人。e14S八ABe。考虑…     

一道初中数学联赛题的几种证法

l,,2年全国t]J‘{,数学联赛题: 如i冬}l,在乙娥一‘},,月矛‘二,丫一,z)点,刃是线段月刀士一点.且‘产认方二 求证:RI)一2口). 证法一:在刀召卜取一点F,使阶’=八召.连结办’,则有/扛、、。一匕、4刃一}一匕月B*,/,是底边理上一2艺厂盯)~匕沌 月刃一El.’二6F, 占乙。II,=万/研,, 泞八、,店一25叨, 兰业竺一兰卫:竺 泞八解I一s八从「雀’S八,。‘十.勺广、‘、I泞八,。‘斗一泞八、。S八‘、,,S广肋‘召八Kc廿、泞八解。_、广人加, 万乙‘。乙J一厂刀4刃一小一匕了、月六. 乙刀肋二‘击万J 了4刀}’二乙‘月八 △‘妨F里△‘方1刃. …     

素质与能力考查专题训练

一、摄作与城形雍碑问城1.4根火柴棒形成如图1的象形“口”字,平移火柴棒后,原图形能变成的象形字粼’.丁工上王口 A BC 2.平移方格纸中的图形(如图2),使A写上一句贴切、诙谐的解说词. 解说词: D图l点平移到A‘点处,画出平移后的图形,并习守丫。 图2图3图4 3.(l)请在如图3所示的方格纸中,将△ABC向上平移3格,再向右平移6格,得△A.药C,,再将△A:药C:绕点B,按顺时针方向旋转900得△A尹2C2,最后将△A刀Zq以点C:为位似中心放大到2倍,得△A刀刃3; (2)请在方格纸的适当位置画上坐标轴(一个正方形的边长为1个单位长度),在你所建立的直角坐…     

用张角公式证三点共线

本文介绍张角公式及其在平几三点共线证明中的应用. 张角公式如图,巳知由点尸发出的三射线为尸A、尸B、尸C,且乙A尸C=a,匕CPB==口,艺APB=a 口<1800,如果 sin(a,口)_sina、sin刀。,,,。。一二一竺共器井‘=‘认等 竺若二犷,则A、C、B三点 尸C尸B’尸A,,:一、一、一一二sin45。 1.sin45。甲‘一二F-=创兰 2训百=3侧2 2sin乙MAB_sin乙MAQ AQ一一ABsin乙QAB AM共线。 证明,J,/八怜\\二sin(a 口) 尸Csin吞万万’故B、Q、M三点共线。 例2已知AB是圆的直径,尸A、尸C是圆的切线,A、C为切点。作C刀一l一且B于D,设O为CD的中点,尸…     

双管齐下、一箭双雕在几何证题中的妙用——从梅氏定理谈起

众所周知,梅氏(Menelaus)定理:一直线l截△ABC三边AB、AC、刀C或其延长线分别于D、E、F三点,如下图甲、乙,_._BF CEA刀侧{右孚认·舀币·斋云二1.州月Fc’EA一刀B一上’CG,AB昌令{①②③.今△F‘C。△FDB△GCE。△DAEBF刀B厂’C一GCCE‘CEA一AD/‘‘.沪l古t、l、;代B尸万’C、-之、rB乙二-~~~曰.人一----~~盏下C占L①·②得③·韶,CE DBEA一AD刀FFC CE AD’￡A’万B 甲‘ 其中直线l叫做梅氏直线,D、E、F叫做梅氏点,在证明时所作的辅助线叫做梅氏辅助线。 证明一:平移AB至CG处如图一甲、乙。刃~一一份r二、…     

谈整系数一元二次方程根的性质

定理1设整系数一元二次方程x“十k:x 八二r._,,~,、。:儿1/十尤2二U阴一火恨方为U夕习a=一不、一K广V凸), 乙。,十户=N。=一k,N,一,一k ZN卜:·2.①’:一1<口<0,“=合(一‘!一了△),其中△二k于一礴kz少O,k;,无:为整数.则 1.N。=。”十口”为整数,且有N.=一k IN。一:一k zN。一2.(n>2) 2.①若一1<口(O,则〔a“”于‘〕二a“”十’+吞2’+’.oZu+夕2“为大于。2”的最小整数,其中〔x〕表示不大于x的最大整数. ②若0<口<1,则a”+夕”为大于a’的最小整数. 证明1.因k,,k:为整数且衬一4k2)0,由韦达定理知a十月=一k:,a吞=k。, 用数学归纳…