二次三项式在实数范围内的因式分解

<正>我们知道,利用十字相乘法可以分解x²+3x+2,2x2+3x+2,2x²-3x+1等二次三项式,而对x2-3x+1等二次三项式,而对x²+3x-2,2x2+3x-2,2x²-3x-1等二次三项式则无能为力.那么对于这样的二次三项式究竟能否分解呢?理论上来讲,任意两个关于某一相同字母的一次二项式的乘积一定是一个关于该字母的二次三项式(能用平方差公式的除外);反之,任意一个关于某一字母的二次三项式,一定可以分解成两个关于该字母的一次二项     

多元因式分解的一种简捷方法

我们知道,关于多元二次多项式的因式分解,常常利用待定系数法来解决,但这种方法需解若干个方程组成的方程组,工作量很大。若利用一元二次三项式的因式分解来解决多元二次多项式的因式分解,就可收到事半功倍之效果。 [例1] 把f(x,y)=x~2+3xy+2y~2+4x+5y+3因式分解。分析:若f(x,y)能分解,则它必分解为。f(x,y)=(a_1x+b_1y+c_1)(a_2x+b_2y+c_2)之形式。事实上,就是确定a_1,b_1,c_1,a_2,b_2,c_2。关于对它们的具体确定可在下面过程中来完成。至于原理的推证,请读者自行完成。解:分别分解关于x,y的一元二次三项式。 x~2+4x+3=(x+1)(x+3)……① 2y~2+5y+3=(y+1)(2y+3)……②通过①、②可确定a_1=1,b_1=1,c_1=1,a_2=1,     

一类多项式的因式分解

一类较复杂的多项式,通过变换和换元,可以化成二次三项式,以便运用十字相乘法进行因式分解.现举例如下.例1分解因式:(x~2+3x+4)(x~2+3x+5)一6.解设x~2+3x+4一y,则原式     

第19届全俄中学生数学奥林匹克

九年级 9.1.已知n是自然数,且2n 1与3n 1都是完全平方数,对此n,5n 3能否是质数? 9.2.长为1的两条线段相交于点O,且∠AOC=60°。证明:AC BD≥1。 9.3.设f(x)为二次三项式,可用三项式x~2·f(1/x十1)或(x-1)~2f(1/(x-1))来替换f(x)。问:用这两种运算能否从二次三项式x~2 4x 3得到二次三项式x~2 10x 9?     

三项式x~m+x~n+1的因式分解

定理若整数仍、.不是3的倍数,而拼+介是3的倍数时,xZ十:十1是三项式‘仍+‘”十1的因式. 证明记f(x)=x“+:”十1.不妨设。=3k+l,佗=31十2(沦、l任z),。为1的一个三次虚根.那么 f(。)=。“,+‘+。,‘+,+1 =。+。2+1=0, f(。“)=。。沁+“+。。‘+4+1 二。2+。+1=0。因此,f(x)含有形如(z一。)(x一。’)二工艺十:十1的因式. 例.分解::7十2:‘十x十2. 解x7十2:”‘卜z十2二(x7十x“+1) +(xs+劣+1)=(x“+劣+1) (劣‘一劣‘十Zx,一劣“一劣+2)。三项式x~m+x~n+1的因式分解@王起凤$湖南道县一中~~…     

谈与二次三项式ax2+bx+c(a≠0)相关的问题

学好数学的重要一环是如何处理好前后知识点的联系与衔接问题,对相关内容进行系统的概括、对比和总结,以便尽可能减少学生在接受知识和解题过程中的困难,防止知识点的混淆,从而使学生学得更灵活、更轻松,最终让学生在每次考试中均能获得理想的成绩,达到大面积丰收,收到事半功倍的效果。本文就与二次三项式ax2+bx+c(a≠0)相关的问题作一浅析。一、当二次三项式ax2+bx+c(a≠0)的值为零时,即ax2+bx+c=0(a≠0),那么此时的表达式称为关于x的一元二次方程。而将二次三项式分解因式时,所采用的方法有公式法、十字相乘法等,而对于一般不能在有理数范…     

浅谈用双十字连乘法因式分解

双十字连乘法和十字相乘法一样,是一种简便的交叉式乘法,其图式十分相仿。十字相乘法是对二次三项式的,而双十字连乘法是专用于二次型的。 ax~2+bxy+cy~2+dx+ey+f 下面以4x~4+4xy-3y~2+2x+11y-6为例,淡谈双十字连乘法。 写出二次项4x~2+4xy-3y~2的十字相乘图式。     

完善一道题的解答

第一届希望杯初一第二试有一道填空题:当m____时,二元二次六项式6x~2+mxy-4y~2-x+17y-15可以分解为两个关于 x,y 的二元次三项式的乘积.给出的答案是 m=5.我认为该答案有疏漏.事实上,若将原式视为关于 x 的多项式,并整理为6x~2+(my-1)x+(-4y~2+17y-15),其判式⊿_x=(my-1)~2-4×6(-4y~2+17y-15)=(m~2+96)y~2-(2m+408)y+361.则原式能分解为两个一次实因式的充要条件是Δ_x为一完全平方式.显然,Δ_x是关于 y 的二次三项式,Δ_y=(2m+408)~2-4(m~2+96)×361,由Δ_y=0可得15n~2-17m-290=0,解之得 m=5或 m=-58/15,当 m=5时,原式分解为(3z+4y-5)     

一元二次方程与二次三项式的因式分解

形如ax2＋bx＋c的多项式叫做x的二次三项式，这里a、b、C都是已知数，并且。羊a≠0对于二次三项式的因式分解，首先应考虑采用提公因式或乘法公式、十字相乘等方法．当使用这些方法都有困难时，我们可以利用求出一元二次方程的根来把二次三项式分解因式．如果用公式法求得一元二次方程ax‘＋bx＋C＝0的两个根x1和x2，那么由根与系数的这就是说，在分解二次三项式ax’＋bx＋c的因式时，可先用公式求出一元二次方程ax‘－ta－c—0的两根xl、xZ，然后把。x’＋bx＋C直接分解成。（C一二1）（—－JZ）的形式．即。x‘＋bx＋c—a（x－xl）（x…     

“十字相乘法”分解因式的一点探讨

对某些数字系数的二次三项式(ax~2+bx+c)的因式分解,运用观察法,即“十字相乘法”便可完成。例如分解4x~2+15x+9,在草稿纸上写出,结果得4x~2+15x+9=(4x+3)(x+3)。这里我们提出问题是为什么不把4分成2×2,而分成4×1呢?不把9分成9×1,而分成3×3呢?在教学中若采用“十字相乘法”分解因式是“对角乘积之和等于一次项的系数”,也就是凭观察凑     

杨辉三角的推广

本文将杨辉三角推广 ,作三项式 (1 +x +x2 ) n 系数三角     

换元法求二次型条件最值

本文主要研究以二次三项式mx²+nxy+fy²=k为条件,以xy、x+y、ax²+by²等为目标的条件最值问题,通过三角代换的方法解决,有效地解决了求范围的问题,方法简单实用,运算量小.     

灵活应用十字相乘法

十字相乘法是因式分解的重要方法之一，一般应用于分解二次三项式ax2＋bx＋c．如果x，a，b，c都是代数式或至少有一个是代数式，经过适当恒等变形，再灵活运用十字相乘法，亦能将其进行因式分解，如下面几例．例1分解因式：（1）x4－13x2＋36；（2）a2b2c4＋5abc－14解题思路乍一看，这两个式子不是二次三项式，似乎不能运用十字相乘法，但是若将（1）变形为（x2）2－13x2＋36，（2）变形为（abc）2＋5abc－14把x2和abc分别当作x，两式仍然是二次三项式的形式，所以可用十字相乘法．例2分解因式：解题思路将x2＋2x看作x，即可应用十字相乘法…     

x^2＋（p＋q）x＋pq型式子的分解

形如x^2＋（p＋q）x＋pq的二次三项式,常用分组分解法分解：x^2＋（p＋q）x＋pq=x^2＋（p＋q）x＋pq=（x^2＋px）＋（qx＋pq）=x（x＋p）＋g（x＋p）=（x＋p）（x＋q）．当p=q时,这个二次三项式相当于完全平方式x^2＋2px＋p^2或x^2＋2qx＋q^2通过观察可知,二次项的系数是1,常数项是两个数之积,一次项系数是常数项的两个因数之和．一次项系数的规律是：常数项是正数时．     

一个结论的推导与应用

1990年“希望杯”全国数学邀请赛(初一)有一道试题(填空):当m=__时,二元二次六项式6x~2+mxy-4y~2-x+17y-15可以分解为两个关于x、y的二元一次三项式的乘积。 对于此题,《最新初中数学竞赛试题全解汇编》(科学技术文献出版社)一书提供的答     

向你推荐《漫谈ax~2+bx+c》一书

河南教育出版社出版的《漫谈αx~2+bx+c》(责任编辑张国旺、主编翟连林)是一本好书. 二次三项式αx~2+bx+c,以及与之相关联的二次函数、二次方程和一无二次不等式,是中学数学核心内容之一,中考、高考以及各级数学竞赛,无不把它们作为命题的重要内容.本书紧紧抓住αx~2+bx+c这个核心,将二次三项式、二次函数、二次方程和二次不等式揉合在一起,进行了全面系统的论述,有如下四个特点:     

用换元法分解因式

在多项式的因式分解中,有一类题目可通过换元法转化为二次三项式,然后再用十字相乘法,即可完成解题. 例1分解因式(x2 3x 4)(x2 3x 5)-6.     

十相字乘法的妙用

十字相乘法，适用于某些二次三项式的因式分解，例如，把3x^2 11x 10分解因式，分解过程中用到的12×35也可以写成x2×3x5的形式，即把首项3x^2拆分成z与3z，尾项拆分成2与5，交叉相乘后两个积的和恰好是中间项11x．下面用这种“首尾拆分、交叉求中”的方式，应用十字相乘法巧妙地对一些非二次三项式进行因式分解．     

从二次三项式的因式分解谈起

学习了多项式的因式分解后,同学们都知道,许多二次三项式都可用十字相乘法或配方法与公式法分解因式．例1分解因式：X’－6X－616解1用十字相乘法．因为一28x22＝－616,且一28＋22＝－6,所以原式一（。＋22）（x－28）．解2用配方法与公式法．原式二x‘－6。＋9－616－9＝（X’－6X＋9）－625＝＝（x－3）‘－252二（x、3＋25）（x、3、25）＝（X＋22）（。28）．对于一些非二次三项式的多项式,通过适当的换元,可把它们转化为关于新变元的二次三项式,从而可用十字相乘法或配方法与公式法分解困式．例2分解因式：（x‘＋sx）‘－8（…     

二次三项式的本质属性及其应用

关于二次三项式ax~2+bx+c(a≠0),本文主要研究两个方面的问题: 一、二次三项式能因式分解的判定二次三项式ax~2+bx+c(a≠0)在给定数集内能否进行因式分解,这是中学代数的一个重要课题。现介绍如下四个定理。定理一有理系数二次二项式ax~2+bx+c(a≠0)在有理数集内能分解因式的充要条件是△=b~2-4ac为一个有理效的平方。证明:(1)必要性,若 ax~2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2),为有理数,因a,b为有理数x_1,x_2也为有理数,故只有(b~2-4ac)~(1/2)为有理数。设(b~2-4ac=|m|(m为有理数),则b~2-4ac=m~2。即判别式△=b~2-4ac是一个有理数的平方。