不等式与含有绝对值的不等式的解法

文章给出了一般不等式与含有绝对值的不等式的解法及定理 |a|- |b|≤ |a b|≤ |a| |b|在解题过程中的应用。     

关于不等式|a|-|b|≤|a b|≤|a| |b|的证明

对于不等式|a|-|b|≤|a b|≤|a| |b|,高中教材的证明如下: ∵-|a|≤a≤|a|,-|b|≤b≤|b|,∴-(|a| |b|)≤a b≤|a| |b|,即|a b|≤|a| |b|,(1)又 a=a b-b;|-b|=|6|,由(1)得|a|=|a b-b|≤|a b| |-b|即|a|-|b|≤|a b|,(2)由(1),(2)得|a|-|b|≤|a b|≤|a| |b|.显然上面证明中的(2)的证法不容易想到,本人在教学实践中采用了下面的证法,不但思路自然,且证明过程更为简捷,教学效果好,现提供同行参考.     

奔跑的绿色

0也seshui ie yi惑.ong j|皂绿龟睡。。了…冬’j i|一。谢mg憾 I一凳慧蕊≥jjjjj?|j j ljjljlj|j|lj? 酥心\e j j j?j。 迷路1|’l||j|j|、l 酗心aochQp~0 j j?|lr|i。j|j 畿戳|处j跑,|?I|j||j j jl 恃gu6。 i j joj j0:i 终暴I|l|j|??|j|t j m已nsh园nbi6nv芭d6u I~lej。j 漓。|心遍野猕绿了i。奔跑的绿色@罗小军     

错在哪里

1题已知椭圆 x29 y25 =1 ,点A(1 ,2 )在椭圆内 ,点F是椭圆的左焦点 ,点M是椭圆上任意一点 ,求|MA| |MF|的最小值。解　由方程知a =3 ,c=2 ,e=23 ,左准线l:x =-92 。设M在l上的射影为N ,由圆锥曲线的统一定义 ,|MF|=23 |MN|,|MA| |MF|=|MA| 23 |MN|,所以当M、A、N共线时 ,取最小值。将 y =2代入椭圆方程得x =-3 55 ,此时 |MA| 23 |MN|=(1 3 55 ) 23 (92 -3 55 ) =4 55 ,所以|MA| |MF|的最小值为 4 55 。解答错了 !错在哪里 ?事实上 ,|MA| 23 |MN|=23 (32 |MA| |MN|) ,其中 |MA|的系数是 32 ,而 |MN|的系数是1 ,可见 |MA…     

一个绝对值恒等式的运用

命题　已知 a,b∈R,则| a| | b| =max{| a b| ,| a- b| }.证明　若 ab≥ 0 ,则| a| | b| =| a b| ,此时 | a b|≥ | a- b| ;若 ab<0 ,则 | a| | b| =| a- b| ,此时 | a b| <| a- b| .∴对于任意的实数 a,b,都有 | a| | b|=max{| a b| ,| a- b| }.下面举例说明命题中所述恒等式的运用 .例 1　解方程| 2 x- 1 | | x- 2 | =| x 1 | (x∈R) .解　由命题知 | 2 x- 1 | | x- 2 |=max{| 3 x- 3 | ,| x 1 | }=| x 1 | ,∴ | x 1 |≥ | 3 x- 3 | ,两边平方整理得 2 x2 - 5x 2≤ 0 ,解得　　 12 ≤ x≤ 2 ,∴原方程的解集是 {x…     

关于一道题的错解

陕西师大主编的“中学数学教学参考”上刊登了题为“用数学美来激发学生的学习兴趣”一文,讨论了如下一题: 已知:|a|<1,|b|<1, 求证:|a b/1 ab|<1 原文解答由|a|<1,|b|<1,令a=sinθ,b=cosθ是错误的.条件a、b绝对值小于1,     

一类不等式的向量证法

在不等式的证明中,有一类不等式可以通过构造向量,利用两向量数量积的性质进行证明.两向量数量积中蕴含着几个重要的不等关系:m·n= |m| |n|cosθ≤|m| |n|(θ为m与n的夹角),|m·n|=|m| |n| |cosθ|≤|m| |n|, |m·n|2≤|m|2 |n|2．     

利用||a|-|b||≤|a±b|≤|a| |b|等号成立的条件解题

在高中数学教材中有定理||a|-|b||≤|a±b|≤|a| |b|,其中||a|-|b||≤|a b|,||a|-|b||≤|a-b|,|a b|≤|a| |b|,|a-b|≤|a| |b|取等号的充要条件分别是ab≤0,ab≥0,ab≥0,ab≤0,在解题过程中利用||a|-|b||≤|a±b|≤|a| |b|等号成立的条件解某些题,将得到解法     

一道竞赛题的妙用

1998年湖北省黄冈市初中数学竞赛试卷中有这样一题试题 :使 | a- b| =| a| + | b|成立的条件是(　 ) .( A) ab>0　 ( B) ab>1( C) ab≤ 0　 ( D) ab≤ 1解　 | a- b| =| a| + | b| | a- b| 2 =( | a| + | b| ) 2 - ab=| ab| ab≤ 0 .故应选 C.利用这道竞赛题的结论解可化为 | a- b|= | a| + | b|的方程 ,可获得十分简捷的解法 .例 1　方程 | x- 2 | + | x- 3| =1的实数解的个数有 (　 ) .( A) 1个　　 ( B) 3个( C) 4个　 ( D)无数多个(第四届《祖冲之杯》初中数学邀请赛试题 )解　∵ | x- 2 | + | x- 3| =1 =| ( x- 2 )- ( x- 3) | …     

关于一道不等式的简证

前两文均涉及到条件不等式 |a|<1,|b|<1■|a b/1 ab|<1.可简证如下。当ab≥0时,由(1-|a|)(1-|b|)>0,有1 |ab|>|a| |b|,即|1 ab|<|a b|故|a b/1 ab|<1。     

一个不等式的推广及应用

对于具有几何意义的不等式:|x-m| |x-n|≥|m-n|(x、m、n∈R)可以推广为:|x-m|u |x-n|u≥2|m2-n|u(u∈N)定理:已知:x,m∈R,求证:|x-m|u |x-n|u≥2|m2-n|u(u∈N)证明:采用数学归纳法.(1)当u=1时,|x-m| |x-n|≥|m-n|①结论显然成立(2)假设命题在n=k时成立,则|x-m|k |x-n|k≥2|m2-n     

一道绝对值问题的多角度思考

绝对值是一个重要概念,细细思考,规律多多.①|a-b|的几何意义使得问题的处理简明快捷,②函数y=|x-a_1| |x-a_2| … |x-a_n|的图象让问题处理直观明了,③运用|a|-|b|≤|a±b|≤|a| |b|求最值,易于理解.     

巧用向量法证明不等式

在向量这部分内容的学习过程中,我们接触了不少含不等式结构的式子,如|a b|≥|a|-|b|,|a b|≤|a| |b|;a·b≤|a·b|≤|a|·|b|等.其中数量积的定义及其坐标表示用得最多,如何运用它们解决实际问题呢?请看下面几例.     

不带着“log_ax”旅行

题1 解关于x的不等式 |log_aax~2|<|log_ax|< 2(《中学数学》(苏州)96年第3期第26页例4). 解 原不等式化为: |2log_ax 1|<|log_ax| 2 令log_ax=y,则|2y 1|<|y| 2.     

美音与英音差异例析

美国英语和英国英语虽基本相同,但也有许多差异,在语音方面的差异尤为显著。本文即从八个方面对美音和英音的差异作了归类和分析,主要有:字每a的发音,r的发音,wh-开头的单词发音,-ile结尾的单词发音,||的发音、|u:|、|u|与|u|、|ur|及多音节词重音和音节方面的差异。     

一道平面向量题的错解剖析

题目如图所示,平面四边形ABCD中AB=a,BC=b,CD=c,DA=d,且a·b=·c=c·d=d·a,试确定四边形ABCD的形状.错解:因为a b c d=0,所以a b=-(c d).∴(a b)2=(c d)2,即|a|2 2a·b |b|2=|c|2 2c·d |d|2.由a·b=c·d,得|a|2 |b|2=|c|2 |d|2.①同理|a|2 |d|2=|b|2 |c|2.②由①-②得|b|2=|d     

一节音乐课

十月二十日上午,我们在南京师院附小听了一节二年级的音乐课,教者是王幸老师。上课的铃声刚落,在音乐教室门口排着整齐的队伍的小朋友们鱼贯地走进了教室。 1 2 3 4|5-|5 4 3 2|1-| (师)小朋友们好!(生)王老师您好! 1 2 3 4|5-|5 4 3 1|1-| (师)小朋友请坐!(生)王老师请坐! 活泼生动的教学活动,在师生随着琴声的对话中开始了。     

|P(X)|=3、|SP(X)|=2和|P(X)|=2、|SP(X)|=3的四阶BCI-代数的计数问题

讨论了|P(X)|=3、|SP(X)|=2和|P(X)|=2、|SP(X)|=3两种情况下的四阶BCI-代数的计数问题，结论是：|P(X)|=3、|SP(X)|=2的四阶BCI-代数有三个；|P(X)|=2、|SP(X)|=3的四阶BCI-代数有一个。     

错在哪里

解析几何中的一个常见题“P是椭圆(x~2)/(a~2) (y~2)/(b~2)=1上一点,F_1、F_2是焦点,若∠F_1PF_2=α,求△PF_1F_2的面积”。下面给出二种解法. 解法一:S_△=1/2|PF_1|·|PF_2|sinα,|F_1F_2|~2=|PF_1|~2 |PF_2|~2-2|FF_1||PF_2|cosα=(|PF_1| |PF_2|)~2-2|PF_1|·|PF_2|-2|PF_1|·|PF_2|cosα=4a~2-2|PF_1|·|PF_2|(1 cosα)=4c~2, ∴|PF_1|·|PF_2|=(4a~2-4c~2)/(2(1 cosα))=(2b~2)/(1 cosα)。     

短文集萃

绝对值不等式的应用设a、b∈R,则有不等式 (1) |a b|≤|a| |b|,仅当ab≥0时取“=”号。 (2) |a-b|≥|a|-|b|,仅当(a-b)·b≥0时取“=”号。这两个不等式的证明都很简单,从略。它们在解题中有广泛的应用。 [例1] 解不等式:|x lgx|<|x| |lgx|。解:由(1)知仅当xlgx<0对原不等式成立, ∴0相似文献