用向量的代数运算解立几问题

用空间向量解决立体几何的平行或共面、垂直、空 间角和空间距离等问题,同学们往往习惯于建立空间直 角坐标系,然后运用向量的坐标运算,实现从已知向求 解转化.其实,选择向量的基底,运用向量代数运算,并 依据有关性质和定理向求解转化.这也是解决立体几何 问题的基本思路、方法. 一 垂直问题 例1 如图1,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为 AC与BD的交点,G为CC1的中点.求证:A1O⊥平面 GBD.     

应用空间向量求解立几问题

用空间向量求解立体几何问题,其思路是建立空间直角坐标系或选择向量为基底,再利用向量的坐标运算,或分析已知向量和需求解向量的差异,利用向量的代数运算并依据有关定理、法则,从已知向未知转化。     

用向量求解立几存在性问题

对于立体几何的存在性问题,如能根据题设的条件建立空间直角坐标系,则会降低解题的难度．本文从线线角、线面角、面面角、点到面的距离等方面举例说明空间向量在解决存在性问题时的应用．     

运用向量性质解答立几试题

向量的主要性质①向量的加法适合向量加法的三角形法则或平行四边形法则,即AB+BC=AC; ②若e1、e2是平面α内非零不共线向量,则对于α内任一向量a,有且只有一对实数λ1λ2,使得a=λ1 e1+λ2 e2成立; ③非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)的数量积为a·b=x1x2+y1y2; ④设非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a⊥b(?)a·b=x1x2+y1y2=0;     

运用向量夹角巧解代数问题

向量兼具“数”与“形”的特征,是数学中解决几何问题的一大锐利武器,同时它也是解决一些具有特定结构形式的代数问题的重要工具．对几类代数问题,笔者通过构造向量,以向量夹角为依托巧妙求解,从另一个侧面反映了向量夹角的深刻内蕴．     

向量在代数中的运用

向量不仅是解决立体几何、解析几何的有力工具 ,也是解决代数和三角问题的有力工具 ,它可使许多代数和三角问题的求解过程变得轻松 ,生动 ,给人以数学美的享受 .它为解决中学数学问题开避了一条新的途径 .一、比较大小例 1　已知ａ ,ｂ∈Ｒ ,0 <ｘ<1,试比较ａ2ｘ + ｂ21-ｘ 与 (ａ +ｂ) 2 的大小 .解　设向量ｍ=ａｘ,ｂ1-ｘ ,ｎ=(ｘ ,1-ｘ) .由 (ｍ·ｎ) 2 ≤｜ｍ｜2 ｜ｎ｜2 ,得(ａ +ｂ) 2=ａｘ·ｘ + ｂ1-ｘ· 1-ｘ2≤ ａ2ｘ + ｂ21-ｘ ｘ+ (1-ｘ)=ａ2ｘ + ｂ21-ｘ.例 2　 (2 0 0 0年河北省高中数学竞赛试题 )已知ａ ,ｂ∈Ｒ ,ｍ ,ｎ∈Ｒ+…     

巧用法向量妙解立几问题

历年高考中,关于空间距离,空间角问题,是考察的重点和热点。以法向量为工具求空间角,距离,可以避免纷繁复杂的几何推理和运算,从而使解答过程顺畅、简捷。下面以2006年高考立体几何题为例,说明法向量在求解立体几何问题时的妙用。1.用法向量求点到平面的距离如图1,设A是平面α外一点,AB是α的一条斜线,交平面α于点B,而n!是平面α的法向量,那么向量B"#A在n!方向上的正射影长就是点A到平面α的距离h,∴h=｜"B#A｜·｜cos〈B"#A,n!〉｜=｜B"#A·n!｜｜n!｜例1(06年福建卷、理18)如图2,四面体ABCD中,O、E分别是BD、BC的中点CA=CB=C…     

巧用空间向量解决立几问题

高中数学教材B中,利用空间向量体系,来解决立体几何问题,尤其是在解决线面垂直,平行及夹角等问题上比运用公理,定理等数学知识更为简单、方便,值得借鉴。     

空间向量与立几交汇问题

以立几知识为载体,以空间向量为工具,以考查空间线、面位置关系的论证和空间距离、空间角有关公式及其应用为目标,是近年高考的重要内容,预计这也是2005年高考的热点试题,下面例说其常考题型,以展示构建空间坐标系,通过向量的坐标运算,解决立几问题的思想方法和思维过程,希望能对同学们有所帮助和启示.一、考查空间向量与异面直线成角知识运用向量夹角公式“cos     

精选向量基底 妙解立几问题

本文主要研究在利用向量解决立体几何问题时,如何选择合适的基底．当所涉及的点、线、面在一些特殊的几何模型中时（如以正方体、长方体为背景）,往往容易建立空间直角坐标系．对于不存在三个两两垂直不共面向量的问题,可以将夹角和长度已知的三个向量作为基底,把题中其他的向量都用这三个向量来表示,然后利用向量的运算性质来解决问题．     

代数方法在“立几”中的运用

许多立几问题如果用代数方法去解,将会使问题简单化,明了化.下面分几类情况予以说明. 一、函数思想的运用 例1 如图1,边长为4cm的正三角形ABC中,EF∥BC,把△AEF沿EF折成直二     

运用向量法多角度思考一道立几题

<正>问题已知空间四点A、B、C、D满足AB=2,BC=3,DC=4,DA=7,求→AC·→BD的值.这是一道看似很平常的题目,但很多学生拿到之后无从下手,一脸茫然,既不能建系使用向量坐标进行运算,又不知道所求向量的夹角,如何求解呢?究其原因,一方面是本题的题设有别于常规立几题,以致学生在面临新情境时无所适从;另一方面,从更深层     

空间向量的运算问题

<正>空间向量的坐标运算是在空间直角坐标系的基础上研究空间向量关系的一大工具,通过空间几何关系与向量坐标关系的转化,对空间向量的坐标加以探究,感受应用空间向量解决数学问题的方法,理解转化思想和逻辑推理的数学方法。在坐标形式下,利用空间向量可以用来解决一些相关的立体几何问题。一、点的坐标问题例1已知O为坐标原点,A,B,C三点     

立几中探索性问题的求解策略

立体几何的探索性问题在近几年高考中常常出现，这种题型有利于考查学生推理、探索、判断等各方面能力，也有利于创新意识的培养，所以应该注意对这种新题型的研究，下面举例谈谈常用的求解策略。     

运用图形性质 简化向量运算

在处理某些几何问题时,运用向量方法可以有效地解决问题,l反过来,利用图形的几何性质,也能有效地简化向量的运算．     

用向量代数代替等角投影求解地质构造中的一些角度问题

在研究地质构造时,常常遇到一些角度问题,例如,二岩层面的交角、二岩层面交线的走向与倾斜,这些角度的求解一般都是根据野外测量所得各岩层面的走向与倾斜,采用基于等角投影原理的图解法求得。由于这种图解法简单易行且具有一定的精度,所以长期以来为人们普遍采用。但此法不足的地方是绘图、量测都带有一定的误差,致使结果不尽理想。本文则是用向量代数代替等角投影解决上述角度问题,目的仅在于弥补图解法的不足。     

精选向量基底,妙解立几问题

在利用向量解决立体几何问题时,选择适当的基底能给我们解题带来方便.基底主要有两类:一类是能建立空间直角坐标系,另一类是不能建立空间直角坐标系.下面用几个例题说明如何利用向量基底来解决这两类问题.一、许多问题都在一些特殊背景中出现,所涉及的点线面常在一些特殊的几何模型中,在这类模型结构中,空间直角坐标系容易建立     

空间向量在立几问题中的作用

立体几何的学习立足培养学生空间想象能力、逻辑推理能力和数形结合能力，强调在传统的使用“形到形”的形式逻辑综合推理方法学习并掌握的基础上，亮点放在培养学生使用向量代数方法解决立体几何问题的能力上。这就是说，我们既要重要传统解法的基础地位，又要重视向量方法的强势工具地位，二不可偏废。     

空间向量在立几问题中的作用

立体几何的学习立足培养学生空间想象能力、逻辑推理能力和数形结合能力,强调在传统的使用“形到形”的形式逻辑综合推理方法学习并掌握的基础上,亮点放在培养学生使用向量代数方法解决立体几何问题的能力上.这就是说,我们既要重要传统解法的基础地位,又要重视向量方法的强势工