2004年IMO中国国家集训队选拔考试试题

(2 0 0 4 - 0 3- 31　8:0 0 - 1 2 :30 )　　1.设∠XOY =90°,P为∠XOY内的一点,且OP=1,∠XOP =30°,过点P任意作一条直线分别交射线OX、OY于点M、N .求OM ON -MN的最大值.(王建伟　命题)2 .设u为任一给定的正整数.证明:方程n !=ua-ub 至多有有限多组正整数解(n ,a ,b) .(余红兵　命题)3.设n1,n2 ,…,nk 是k (k≥2 )个正整数,且1相似文献   

从一道新颖的中考试题谈起

<正>一、试题呈现今年的无锡市中考试题中出现了一道比较新颖的几何试题:例1如图1,已知∠XOY=60°,点A在边OX上,OA=2,过点A作AC⊥OY于点C,以AC为一边在∠XOY内作等边三角形ABC.点P是△ABC围成的区域(包括各边)内的一点,过点P作PD∥OY交OX于点D,作PE∥OX交OY于点E.设OD=a,OE=     

一道高三质检试题的解法赏析

题目已知M,N为直线3x+4y-10=0上两点,O为坐标原点,若∠MON=π/3,则ΔMON的周长最小值为______.解法1:如图1,作OH⊥MN于H,则OH=d=10/√3²+4²=2,设∠HOM=α,则∠HON=π/3-α,OM=2/cosα,ON=2/cos(π/3-α)HM=2tanα,HN=2tan(π/3-α),于是ΔOMN的周长l=2/cosα+2/cos(π/3-α)+2tanα+2tan(π/3-α).     

利用单位圆 巧解三角题

一、利用单位圆,比较三角式的大小． [例1] 已知0<θ<π/2,试比较1-sinθ/1-cosθ和tanθ的大小．解:在图1所示的单位圆中的第一象限中任取点P, 令∠POx=θ,再取点A(1,1), 则KOP=tanθ,     

错在哪里

问题1如图,已知两定点A(-1,0),B(2,0),求使得∠PBA=2∠PAB的点P的轨迹方程.解设直线AP,BP的斜率分别是kAP,kBP,点P的坐标为(x,y),设∠PBA=β,∠PAB=α,因β=2α,则tanβ=tan2α,tanβ=12-tatannα2α.①∵kAP=x y1=tanα,kBP=x-y2=tan(π-β)=-tanβ,∴代入①有-x-y2=2yx 11-x y12②整理得3x2-y2=3,即为点P的轨迹方程.解答错了!错在哪里?评析上述解法有以下几处错误:(1)推导点P的轨迹方程时,只考虑了点P的x轴上方的情况,未对点P在x轴下方的情况进行分析.(2)由题设∠PBA=2∠PAB,从而有|PA|>|PB|,故轨迹在线段AB的垂直平分…     

2004年IMO中国国家集训队选拔考试

1 .设∠XOY =90° ,P为∠XOY内的一点 ,且OP=1,∠XOP =30° ,过点P任意作一条直线分别交射线OX、OY于点M、N .求OM ON -MN的最大值 .2 .设u为任一给定的正整数 .证明 :方程n !=ua-ub 至多有有限多组正整数解 (n ,a ,b) .3.设n1,n2 ,… ,nk 是k(k≥2 )个正整数 ,且1相似文献   

一个问题的推广

1问题的提出问题1526:△ABC中,∠C=90°,BC=a,AC=b,AB=c.D、E、F分别是AB、AC、BC上的点.若△DEF为等腰直角三角形,且∠EDF=90°,求△DEF面积的最小值.《数学通报》2005年第1期给出了该问题的解答,本文对该问题进行推广,得到以下定理△ABC中,∠C=θ,BC=a,AC=b,AB=c.D是线段AB上的点,E、F分别是直线AC、BC上的点.若△DEF满足条件:DE∶DF=k(k为正常数),∠EDF=180°-θ,则△DEF面积的最小值是k8abcR(a kb)2sinθ(其中R是△ABC外接圆的半径).(1)当△ABC为锐角三角形时,如图,设∠FDB=α,则∠DFB=180°-(α B).由于…     

立足基本图形 培养解构能力——以一道中考压轴题的解析与拓展为例

<正>一、试题呈现(2020年苏州市中考压轴题)如图1,已知∠MON=90°,OT是∠MON的平分线,A是射线OM上一点,OA=8cm.动点P从点A出发,以1cm/s的速度沿AO水平向左作匀速运动,与此同时,动点Q从点O出发,也以1cm/s的速度沿ON竖直向上作匀速运动.连结PQ,交OT于点B.经过O,P,Q三点作圆,交OT于点C,连结PC,QC.设运动时间为t(s),其中0相似文献   

直角三角形的一个性质

经过研究,笔者现已得到:定理如果直角三角形的一个锐角平分线长与对边的比为2∶3,那么这个锐角为60°.已知:如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BD平分∠ABC,且BD∶AC=2∶3,求证:∠ABC=60°.证明:设∠DBC=θ,BD=2a,由BD∶AC=2∶3,知AC=3a.在Rt△DBC中,∠C=90°,所以CD=2asinθ,BC=2acosθ,所以AD=(3-2sinθ)a.过点D作DE⊥AB于点E.     

解答条件变化题的两种方法

条件变化题在学习中屡见不鲜,其特点是在已知情况下,先确定或证明一个结论,然后将条件变化,要求我们探索原来的结论是否依然成立.解答时,应仔细观察条件变化前和条件变化后图形的特点,比较两者的差异,灵活利用如下两种方法: 一、借“计算”之力 例1 已知∠MON=90°,点A、B分别是射线OM、ON上的动点,△OAB的两外角平分线AP、BP交于点P. (1)如图1-1,∠OAB=45°,求∠P的度数; (2)如图1-2,∠OAB45°,∠P的大小是否变化?若不变化,请说明理由;若发生变化,∠P的大小与哪些角有关? 分析:(1)从∠P+ ∠PAB+ ∠PBA=180°人手计算∠P的度数;(2)当∠OAB≠45°时,继续计算∠P的度数. 解:(1)由∠MON=90°,∠OAB=45°,得∠ABN=135°,∠BAM=135°. ∵ AP平分∠BAM,BP平分∠ABN, ∴∠PAB=1/2∠BAM=67.5°,∠PBA=1/2∠ABN=67.5°. ∵∠P+∠PAB+∠PBA=180°, ∴∠P=45°.     

发现漏罪之并罚方法探微

发现漏罪的并罚问题，我国刑法第70条以及相关司法解释作了具体规定，但也存在着大量的漏洞，给刑事司法实践带来了困惑，影响法院判决的统一性、严肃性和权威性，这些问题总体说来还是属于对法律条文的理解和运用问题。对它进行深入的探讨，对司法实践具有指导作用。     

企业形象发展的新趋势--企业绿色形象

随着商品经济的发展,企业的无形资产——企业形象在企业的竞争中日益起着决定性的作用。那么,21世纪的企业究竞应该塑造什么样的形象?毫无疑问,“企业绿色形象”必将成为未来企业形象发展的主流。     

训诂二例兼及上古牙音与舌音关系

认为古方言“伯都”中的“都”当通“虎”；《韩非子·五蠹》“耿介之士”中的“耿”当通“战”；提出对于上古牙音①与舌音之间的关系，应从语音实际出发，具体问题具体分析，这将有助于对上古音的正确认识，进而有效地指导音训实践。     

浅析美国小说《最后的莫西干人》和电影《最后的摩根战士》

作为詹姆斯?库珀所著《皮裹腿故事集》中最为知名的一部作品,《最后的莫西干人》描绘了18世纪中叶英法殖民者为了侵占美洲领土而展开的残酷掠夺.在小说中,主人公“鹰眼”和他的莫西干朋友钦加哥之间的友谊是作者描述的重点,而在1992年的电影版本中,导演描述的重点则转到了“鹰眼”与科拉的爱情上.《最后的莫西干人》从小说到电影的改编反映了文化背景的变迁.     

宪法社会化:宪法实施的着力点

宪法实施是宪法作为根本法的内在要求,也是各宪法主体的交互行为。知晓并理解宪法则是各宪法主体交互行为有效发生的逻辑前提,由此要求宪法必须以"公开的大众知识"和"被广泛知晓的法律常识"品格出现,才能使知晓和理解宪法成为可能。两种品格的形成过程本质上就是宪法社会化的过程,其有助于宪法实施文化基础的形成、实施实效的巩固以及实施主体能动性的提高。不同的宪法主体,宪法社会化的媒介与方式也存在差异性。     

审美视野中的娱乐节目现状分析

娱乐节目如今在国内各电视台已成为与新闻、电视剧比肩而立的主打节目。本文从审美的角度对我国电视娱乐节目在新旧交替以及同世界接轨的过程中出现的一些现象进行梳理，正是娱乐节目中的诸多娱乐元素与受众审美需求的奇妙契合，成为娱乐节目火爆荧屏的关键。     

论中国共产党领导地位确立的历史必然性 --写在纪念建党80周年之际

中国共产党领导地位的确立是中国社会发展的必然趋势,是历史作出的公正裁决,是人民大众意志的选择,也是共产党自身的本质特点所决定.     

论共和末叶至帝国初期罗马对行省的治理

行省是罗马对被征服地区及其居民实行统治的主要管理形式。它对于罗马国家的稳定和罗马经济的发展都起了非常显著的作用。然而 ,罗马对行省的治理并不是一成不变的 ,更不是没有缺陷的。它是时代发展的产物 ,同时又随着时代的变化而有所变化。共和末叶至帝国初期正是罗马行省管理由不成熟走向成熟的关键时期 ,对其加以研究不仅能够进一步加深我们对罗马行省制度的理解 ,而且对于我们更加深入地了解罗马历史的发展也有相当重要的意义     

“选科”、“选课”与“走班”的测量学基础问题辨析

国务院印发了《关于深化考试招生制度改革的实施意见》之后,基础教育改革中出现了"选科"和"走班"两类新的问题,"选科"的结果是"定向"(或分流),"走班"是"选课"的结果。科学的"选科"是基于能力倾向测验的分类决策,"选课走班"是基于学业评价的安置决策。这两种测验的目的不同,优秀的标准不同,施测的时间不同,效度要求不同,参照的选择不同,编制的依据不同,计分和结果呈现的方式不同,结果的解释不同。     

论“响堂样式”的特征及形成

本文通过对响堂山石窟的类型进行分析,得出分期结论并总结其不同的特征。进而通过对响堂山石窟与东魏-北齐其他石窟的比较,发现东魏-北齐初年响堂山石窟的独特性极为鲜明,到北齐中期以后,响堂山与其他地区石窟特征趋同,形成所谓的"响堂样式"。而这一变化过程正是高氏家族由"胡化"转为"汉化"的最好证明。