数学问答

乳1.已知ab护O，求证:a b一1的充要条件是a3 b3 ab一矿一b2一0. (山西阔春梅)解答:(l)充分性.若r 尸 。b一aZ一bZ=o，即(a b)(aZ一ab bZ)一(aZ一。b十bZ)=0，则(aZ一ab bZ)(a b一1)一0.因ab护O，所以a护O，b并o. lb、2 .3，，、_~~.，，_。~:，_，田a’一“。十b’~ta一二犷     

变形巧用完全平方公式

准确、熟练地运用乘法公式，常常能给解题带来方便．而将某些公式巧妙变形之后再用，就不仅能使解题过程简捷，而且令人有赏心悦目之美感，下面以完全平方公式为例，谈谈公式变形的应用．变形１由（a＋b）２＝a２＋２ab＋b２移项有a２＋b２＝（a＋b）２－２ab．例１已知a＋b＝１，a２＋b２＝２．求下列各式的值：（１）ab；（２）a４＋b４．解（１）由a２＋b２＝（a＋b）２－２ab，得２＝１２－２ab，∴ab＝－１２．（２）a４＋b４＝（a２＋b２）２－２a２b２＝（a２＋b２）２－２（ab）２＝２２－２×（－１２）２＝７２．变形２由（a－b）…     

关于正则半群夹心集的注记

本讨论了正则半群S中关于夹心集的关系式V(b)S(a，b)V(a)真包含V(ab)里确实存在真包含的情况，并进一步考虑当b∈V(a)时，有V(b)S(a，b)V(a)=V(ab)成立，而在纯正半群里若有b∈V(a)，则V(b)v(a)=V(ab)。     

竞赛题中常用到的ab+a+b式子

数学竞赛时，常出现式子ab＋a＋b这个式子，这个式子，通常是一个表面现象，真正的应用形式是ab＋a＋b＋1，或a6-a-b＋1或ab-a＋b-1或a6＋a-b-1而且大都有条件a、b为整数这个条件，利用ab＋a＋b＋1=（a＋1）（b＋1）可以很容易求得a、b．另两种形式也容易求得．     

利用||a|-|b||≤|a±b|≤|a| |b|等号成立的条件解题

在高中数学教材中有定理||a|-|b||≤|a±b|≤|a| |b|,其中||a|-|b||≤|a b|,||a|-|b||≤|a-b|,|a b|≤|a| |b|,|a-b|≤|a| |b|取等号的充要条件分别是ab≤0,ab≥0,ab≥0,ab≤0,在解题过程中利用||a|-|b||≤|a±b|≤|a| |b|等号成立的条件解某些题,将得到解法     

关于一道不等式的简证

前两文均涉及到条件不等式 |a|<1,|b|<1■|a b/1 ab|<1.可简证如下。当ab≥0时,由(1-|a|)(1-|b|)>0,有1 |ab|>|a| |b|,即|1 ab|<|a b|故|a b/1 ab|<1。     

点击均值不等式的4个层次

均值不等式√ab≤a＋b/2（a≥0,b≥0）,其中a＋b/2称为a、b的算术平均数，√ab称为a、b的几何平均数，因而该定理又可叙述为：2个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，其中等号成立的前提是a=b．     

关于对(x+a)(x+b)的探索

例１已知（x＋a）（x＋b）＝x２＋５x＋ab，且a和b都是正整数．求a和b的值．解：依多项式的乘法法则，可得（x＋a）（x＋b）＝x２＋（a＋b）x＋ab，由已知，得x２＋５x＋ab＝x２＋（a＋b）x＋ab，∴a＋b＝５．又由a和b都是正整数，可得到．a＝１，b＝４ 或a＝２，b＝３ 或a＝３，b＝２ 或a＝４，b＝１ 如果把例１改一下，可得到例２．例２已知（x＋a）（x＋b）＝x２＋（a＋b）x＋６，且a和b都是正整数，求（x＋a）（x＋b）的运算结果．类似例１的解法，易得a＋b的值为７或５．把例２再改一下，可得例３．例３已知（x＋a）（x＋b）＝…     

一个最值定理的研究性学习

在高中数学的《不等式》一章有这样一个最值定理：已知a、b是正数，(1)如果和a b是定值s，那么当a=b时，积ab有最大值1/4s^2．(2)如果积ab是定值p，那么当a=b时，和a b有最小值2b．     

一道中考试题的分析及启示

题目（2011年西宁市高中招生考试数学试卷第22题）： 给出三个整式a2，b2和2ab （1）当a=3，b=4时，求a2＋b2＋2ab的值。     

课时三 二次三项式的因式分解

例题分析 例1 已知a b=10，ab=21，求(1)a—b的值；(2)a^2 ab b^2的值．     

竞赛题中常用到的ab+a+b式子

数学竞赛时,常出现式子ab a b这个式子,这个式子,通常是一个表面现象,真正的应用形式是ab a b 1,或者ab-a-b 1或ab-a b-1或ab a-b-1而且大都有条件a、b为整数这个条件.利用ab a b 1=(a 1)(b 1)可以很容易求得a、b.另两种形式也容易求得.基本型不变的情况例1已知正数a、b、c满足     

巧配方 妙分解

学生对形如a2±2ab+b2的二次三项式不难分解,但对非a2±2ab+b2型的多项式望而生畏.这类问题通过配方可找到分解思路.配方的关键,要求学生熟练掌握公式a2±2ab+b2,判断什么是"a"、或"b",或"ab",如何"从a2、2ab这两项去找出b",或"从a2、b2这两     

如何利用均值不等式求最值

一、均值不等式1.如果a,b∈R ,那么a2 b≥ab,当且仅当a=b时取等号.即若ab为定值时,当且仅当a=b时,a b有最小值2ab;若a b为定值时,当且仅当a=b时,ab有最大值a b22.2.如果a,b,c∈R ,那么a 3b c≥3abc,当且仅当a=b=c时取等号.即若abc为定值时,当且仅当a=b=c时,a b c有最小值33abc;     

转化思想在解数学题中的应用

一、等式与不等式的转化例1若正数a,b满足ab=a+b+3,则ab的取值范围是______.分析为了求ab的取值范围,只要将原等式转化为不等式即可.解运用不等式a+b≥2ab姨,原等式可化为不等式.∵ab=a+b+3≥2ab姨+3,∴ab-2ab姨-3≥0.又ab姨>0,∴ab姨≥3,即ab≥9.例2已知不等式a2+b2+c2+4≤ab+3b+2c,求正整数a,b,c.分析本题所给的是不等式,而求的是a,b,c,故应将原不等式转化为3个等式,才能解决问题.解∵不等式的两边是整数,∴将a2+b2+c2+4≤ab+3b+2c配方得(a-b2)2+3(b2-1)2+(c-1)2≤0.则有a-b2=0,b2-1=0,c-1=0,∴原不等式有唯一的一组解a=1,b=2,c=1.二、常…     

完全平方公式的变式及应用

将完全平方公式(a+b)~2=a~2+2ab+b~2,(a-b)~2-2ab+b~2进行变形后易得以下几个公式:a~2+b~2=(a+b)~2-2ab=(a-b)~2+2ab,(a+b)~2=(a-b)~2+4ab(a-b)~2=(a+b)~2-4ab,(a+b)~2-(a-b)~2=2(a~2+b~2),(a+b)~2-(a-b)~2=4ab,(和差化积公式)ab=(a+b/2)~2-(a-b/2)~2.(积化和差公式)     

求代数式值的解题方法七巧

一、巧用已知条件: 例1:已知a+b=1,求代数式a3+3ab+b3的值. 解:由已知条件可知:(a+b)3=1即: a3+3ab(a+b)+b3=1 ∴a3+3ab+b3=1     

整数的几个简单性质运用例谈

整数 ,人们是非常熟悉的 .整数的一些性质 ,看起来似乎很简单 ,易于理解 .但在实际解题中 ,常遇到一些涉及整数的性质却又难以下手的问题 ,让人百思不得其解 .观其解答过程 ,对整数性质运用之巧妙 ,角度之独到 ,令人拍案叫绝 .下面举例说明 .1　最小正整数 1的妙用例 1　已知 :abc =1,求 a1 a ab b1 b bc c1 c ac的值 .(1999年全国希望杯初中数学竞赛题 )解　因为abc =1,所以 a1 a ab b1 b bc c1 c ac =a1 a ab aba ab abc abcab abc ab·ac =a1 a ab aba ab 1 1ab 1 a=a ab 11 a ab=1.2　唯一的偶数质数 2的运用例 2…     

“三角”不等式的应用(高一)

教材中的定理: ||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|,也称为“三角形不等式”,由此容易得到|a+b|≥||a|-|b||,|a+b|≤|a|+|b|,|a-b|≥||a|-|b||,|a-b|≤|a|+|b|,取等号的充要条件分别是ab≤0,ab≥0,ab≤0,ab≤0. 利用这些规律解题,常会带来很多方便. 1.求值域例1 函数y=x+1/x的值域. 解因为     

一道习题的推广及应用

在有关初中数学竞赛资料中,常有这样一道题: 已知:a·b·c=1,且a·b a 1≠0求代数式a/(ab a 1) b/(bc b 1) c/(ca c 1)的值。解;∵abc=1,且ab a 1≠0∴原式=a/(ab a 1) b·a/(bc·a ba a) 由此我们还易证:若ab=1,a≠-1,则a/(1 a) 1/(1 b)=1 (*),