细观察 勤思考 妙解题

解分式方程的一般方法是通过去分母，化分式方程为整式方程．但这样解有时很繁，而且可能会产生增根．由于某些分式方程在形式结构或数值上都具有一定的特点，如能细心观察、勤于思考，就能找到较好的解题方法，提高我们分析问题、解决问题的能力．例１解方程：分析此方程的特点是分子分母中二次项系数相同；一次项系数与常数项互为相反数．左右两分式的分子与分母各自相加可消去一次项与常数项、保留相同的二次项．解方程两边同时加上１，得根据分式相等的条件得ｘ１＝０或ｘ２－ｘ＋１＝ｘ２＋ｘ－３≠０．解得ｘ２＝２（这样解可以不验根…     

解分式方程的简捷方法

解分式方程的基本思想是去分母转化为整式方程求解．常用的转化途径是在已知方程的两边都乘以最简公分母．在具体实施过程中，对于某些分式方程，若巧用一定的方法，可使求解过程更简捷，一、观察分析法例1解方程分析因方程主、右两边分式的分母相同，所以可采用光移项、合并的方法．解移项，得经检验知X＝1为已知方程的解．二、等式性质法例2解方程分析该方程左、右两边分式的分子、分母各相差一个常数，为此，可利用等式性质求解．解根据等式性质，已知方程可化为解之，得X＝1经检验知X一11为已知方程的解．例3解方程分析注意2。解已知…     

巧用通分法解分式方程

《分式》一章介绍了可化为一元一次方程的分式方程的一般解法．在解题时,如果遇到（或者可以化为）形如的分式方程．若ａ－ｂ＝c－ｄ,这类分式方程采用去分母的方法来解比较繁难;若采用方程左、右两边各自通分的方法,则能找到解题的捷径．请看下面几例．例１解方程：分析直接去分母运算太繁,方程两边各自通分,可化繁为简．解方程两边各自通分,得解之,得经验验,是原方程的解．例２解方程：分析此方程的特点是：各分式的分子和分母的次数相同,这样的方程一般可将每个分式化成整式与分式的和的形式,使分子降次后再用各自通分法求解…     

分式方程的简捷解法

解分式方程的基本思路是去分母转化为整式方程来求解．但对于某些分式方程,若应用基本方法求解,则变形过程较繁杂;若采用一些技巧,可使求解更简捷．一、巧观察Lx一JLx－J解观察方程两边分式的分子与分母,可经检验,x。4是原方程的根二、巧加减解已知方程两边同减去2,得经检验,。＝】是原方程的解·三、巧拆项创3解方程：解将第二个分式拆项,得经检验,X＝1是原方程的根．四、巧提取解原方程化为经检验,。＝5是原方程的根．五、巧降次解由多项式除法,将已知方程变形,得经检验,x＝9是原方程的根．六、巧通分侧6解方程：（W4P10…     

几个不容忽视的问题

《一元二次方程》一章是初中数学的重要内容,要准确掌握这些内容,必须注意以下几个问题．1利用求根公式分解二次三项式时,不能漏掉二次项系数例：把4x2＋8x－1分解因式．解：方程4x2＋8x－1＝0的根是许多同学常常会漏掉二次项系数这个常数因子4．2要注意“失根”解一元二次方程,不仅要注意舍去“增根”,还要注意不能“漏根”．例：解方程（x-2）2=（x-2）．许多同学在方程的两边都除以x-2得方程的根为x=3．这是错误的．因为在解方程的过程中忽视了x-2=0而失根．事实上,当x－2＝0即x＝2时,等式仍成立．正确的解法应为：3使用判别式时…     

解分式方程的思想方法

解分式方程的基本思想方法是通过去分母,把分式方程转化为整式方程来求解;或通过换元,将复杂的分式方程转化为简单的分式方程,然后再去分母,转化为整式方程来求解．例回解方程：解方程两边同乘以（X－4）（X－5）,得2x（x－4）＋x－5＋1＝x2－9x＋20．移项、化简、整理,得x2＋2X-24＝0．解此整式方程,得X1＝4,x2＝-6．经检验知x＝4是增根．原方程的解是x=-6．分析此方程若采用去分母的方法转化为整式方程,则将得到一元四次方程．这是很难求解的,因此此题宜用换元法．先把它转化为简单的分式方程,然后再去分母,转化为整式方程…     

特殊分式方程的解题技巧

解分式方程的基本方法是“去分母,化为整式方程来求解”．但有些特殊分式方程单用这一方法,往往会出现高次方程,不易解出．但若善于抓住特征去分析、联想,施用一些技巧,常可化繁为简,变难为易．现举数例说明,供同学们参考．例１解方程：分析由观察不难发现．根据这一特征,采取方程两边分别通分的办法,可使方程解答化繁为简．解原方程两边分别通分,得或（ｘ－４）（ｘ－５）＝（x－３）（ｘ－６）无解．经检验知是原方程的解。例２解方程：分析由观察知：每个分式的分子是两数之差的形式,分母是相同两数之和的形式．若采取各个分…     

一类对数方程的推广

一次，老师在数学课上要我们解方程lg（x＋11）＋1＝lg（11x－1）．解原方程可变为得原方程的解为x＝111．如果把其中的11变成10或9时，结果如何？变式（1），解方程lg（x＋10）＋1＝lg（10x－1）．解原方程可变为lg（10x＋100）＝lg（10x－1），得X无实数解．变式（2），解方程似X＋9）＋1一议gX一1）．解原方程可变为得X无实数解．由上述方程，我们想如果把这个常数变为a，又会怎么样呢？那就是解方程似三十a）＋l一议ax－1）．解原方程可变为．．．当a＞10时，方程有实数解；当a＜l时，方程无实数解．上述方程都考虑底数为10的对数方程…     

“别开生面”去分母

解分式方程的关键在于去分母．为此，课本介绍了在方程的两边都乘以最简公分母的方法约去分母．本文以课本题为例，针对题目的特征．介绍几种有别于课本去分母的“妙招”，供参考．一、移项合并法俐1解方程（九义教材代数第二册P96。第1（1）题）合并，得．显然原方程无解．说明两个相同的数x－3的商为1，不可能等于2，故原方程无解．二、分子相等法2。，一3（X－6〕．解得X一18．经检验t。一18是原方程的根．说明两分式相等，且分子相等，则分母必相等．三、比例性质法例3解方程！＝－＼．八剜1）。。v。U。’。I。J，JZ解原方程化为5…     

解分式方程的技巧

解分式方程的方法灵活、多样 ,作为一种基本技巧 ,“去分母变形为整式方程”在解题中常用到。但有些特殊分式方程单用这一方法 ,往往会出现高次方程 ,不易解出。这些分式方程在形式结构和数值特点上往往有特异之处 ,善于抓住其间特别显著的特征去分析、联想 ,常能化繁为简、变难为易。例 1.解方程 x- 1x 1- x- 2x 2 =x- 3x 3- x- 4x 4 。分析 :方程两边各有两个分式 ,每个分式的分子是两数之差形式 ,分母是与分子相同两数之和 ,因而采取各个分式加 1就能使分子呈同一代数式 ,可提取公因式而简化方程。解 :x- 1x 1 1- (x- 2x 2 1) =…     

分式方程的特殊解法

有些分式方程，若按照一般的方法去解，往往需要进行繁琐的计算，而且有时还会出现难解的高次方程；如果注意它们的结构特征，用特殊的方法来解，则能化繁为简．下面介绍几种方法，供同学们参考：例１解方程：分析方程两边各自通分，原方程可变为所以（Ｘ＋２）（Ｘ＋４）＝（Ｘ－６）（Ｘ－４）．整理得１６Ｘ＝１６．Ｘ＝１，经检验，Ｘ＝１是原方程的解．例２解方程：分析将方程中分子的次数降低，原方程可变为整理得用两边各自通分法解方程得Ｘ＝７．经检验知Ｘ＝７是原方程的解．例３解方程：分析将方程两边分别加减常数，即将原方程中…     

一类分式方程的简便解法

在两个相等的分式中,如果分子相同,那么分子为。或者两个分母相等. 即若尊一粤(,笋。,c笋。),则A一c ~r~AC“一厂一’一一‘、“-一或B一0. 利用这个结论,可以获得一类分式方程的简便解法,举例如下.仔明1解解方程x一2xZ十72一x6一x2.x“+7共了一6,…方程的解只有x一2(不是增根).例2解解方程x一2xZ一x一1一 5x+3’把方程右边化成一个分式 x一Zx一2 xZ一xx+3:.x~2或了一x一x+3.求得方程有3个解:x:一2,xZ一3,x3一一1(都不是增根).例3解解方程x一1 .x一6艾一2 .x一5—一只州卜一石一—石州卜—一不几不—乙.2—l、2,—j,不—O把分式化成真分…     

巧用方程“解”的意义解题

初学一元一次方程，对方程解的意义，可以从以下两个方面来理解：一方面把x＝a代人关于x的方程中去，如果左右两边的值相等，那么x＝a是这个方程的解；另一方面，如果x＝a是方程的解，那么用。代换方程中的x后，方程两边的值一定相等．理解了方程的“解”的意义，许多数学问题就可以迎刃而解．例1若关于x的方程5x＋13＝k和5x＋3k＝27的解相同，试求k的值解首先解方程5x＋13＝k，得因为已知的两个方程是同解方程，则由方程“解”的意义，得．解得k＝10例2k为何值时，方程的解是2．解因为已知方程的解是2，即x＝2，由方程“解”的意义，把x＝2…     

方程(组)与不等式(组)的解法及其应用

（一）一元一次方程、一元二次方程的概念与解法一、知识要点1。方程的概念1）方程含有本知数的等式叫做方程．（2）方程的解能使方程左、右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解;只含有一个未知数的方程的解又叫做方程的根．－（）解方程求方程的解或说明方程无解的过程叫做解方程,2．一元一次方程的解法定义只含有一个未知数,并且未知数的次数是1的整式方程P4做一元一次方程．它的标准形式是。＋b＝0（其中x是未知数,a、b是已知数,且a一0）．解法去分母;去括号;移项;合并同类项,化为。＝b;系数化为l‘3．一元H次方程的解法定…     

解高次方程的思想方法和技巧

在初中我们只能解一些特殊的高次方程，其解法的指导思想是降次，即通过变形或代换，把一元高次方程转化为一元一次方程或一元二次方程，然后解这些方程，使高次方程得解决．常用的转化技巧有：（1）分解因式；（2）换元；（3）改换主元；（4）应用非负数的性质．一、因式分解例1解方程解应用“分组分解法”分解因式．x－6＝0或X3－8＝0．X＝6或X＝2．故原方程的根为X＝6或X＝2．分解因式，有时往往用到拆项的技巧．例2解方程X’＋6x’＋11X＋6一0·解原方程左边先拆项后再分组x‘＋6N’＋gte＋ZH＋6一oX（X＋3）‘＋2（X十引一0．（2…     

一元二次方程的公根问题

一元二次方程的公报问题,在各地中考和数学竞赛中经常见到一这类题型的解法一般都可以把两个方程作差,消去二次项后,运用方程理论进行讨论求解．请看下面例谈．例1若关于x的方程x’－。＋2＝0……①与x’,（m十回）。＋m＝0……②有一个相同的实数根,则m的值为（）（96年山东中考题）（A）3;阳广;（C）4;（D）一上解两方程作差,消去二次项,即①－②得一。＋（m＋l）x＋2－m＝0．整理得。＝m－2……③③代人①,得（m－2）’－m（m－2）＋2＝0．解之,得m＝3．当m＝3时,凸l＞0,凸。＞0符合题意故选（A）．例2m为何值时,方程x…     

解分式方程的思想方法和常用技巧

解分式方程的基本思想是：通过适当的变换把分式方程转化为整式方程求解。转化的基本方法是去分母．但如何去分母，则大有文章可作．去分母得当．求解简捷；去分母不当，求解繁难。因此需要学习和掌握分式方程的常用技巧．一、两边分别通分化简后再去分四例1解方程分析若直接去分母，则运算量较大；若方程两边分别通分，比简后再去分母，则运算简捷．解原方程可变形为去分母，得再化简，得6X一u．．”．x一3．经检验知，X一3是原方程的解．二、拆（添）项比简后再去分母例2解方程：分析若直接去分母，则运算繁杂；若拆项化简后两边分别通分…     

分式方程解法种种

分式方程的解法很多．解题时，若能根据方程的特点，灵活选择解法，将优化解题过程，提高解题速度，收到事半功倍的功效．现举例说明分式方程的几种解法如下：一、去分母法这是一种基本的、常规的解法．解方程时，用各分式的最简公分母去乘方程的两边，约去分母，化为整式方程求解．＋ha·各分式的最简公分母为（X＋2）（X－Z），用它乘方程两边，可约去分母，化为整式方程．要注意，用最简公分母乘方程两边时，别忘了它与1相乘．二、换无法含有倒数关系的分式方程，可设其中的任意一个为新未知数y坝u原方程变为ax＋yC，再把它化为一元二…     

解分式方程的若干技巧

解分式方程的基本思路是去分母化分式方程为整式方程．然而，有些特殊分式方程单用这一方法，往往会出现高次方程，使求解陷入困境．如果善于抓住分式方程的结构形式和数值特点去分析、联想，那就可以得到巧妙的解法．兹介绍几种常用的解分式方程的技能技巧并结合实例加以说明．一、根据分式性质“”拆项例１解方程：分析若直接去分母，运算较复杂．根据分式性质拆项可简化运算过程．解原方程可化为以下验根均略去．二、利用分式相等的条件例２解方程：解原方程左边通分，方程可化为时分母为Ｏ，故原方程无解．２．若干一Ｍ，则Ｍ──０ａｔ…     

一元二次方程测试题

一、境空题1．将方程3X’二SX＊2化为一元二次方程的一般形式为．．（吉林省）2．x（x＋l）＝2的根为．（辽宁省）3．解方程／iiq3二X的结果是（武汉市）4．用换元法解方程（x＋Xi）2－3（x十上）＋2＝0，令t＝x＋1，则关于L的方程是x（重庆市）5．方程一一一l的根是．（甘肃省）一’””一八十2一“”“‘“““””””””，6．已知关于x的方程x’＋（Zm＋l）x＋（m－2）’＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是．（乌鲁木齐市）7．方程x’＋（Zm＋Ox＋（m－）＝0的根的情况是．（安徽省）8．若m、n是关于x的方程x’＋（p－2）x…