空间距离与角的向量解法探讨

空间向量是处理空间问题的重要方法通过将空间元素间的位置关系转化为数量关系,将过去的形式逻辑证明转化为数值计算化繁难为简易,化复杂为简单,是一种重要的解决问题的手段和方法.学生在初步掌握向量工具后,为解决立体几何的角与距离度量问题找到了通法,显示了向量的威力和魅力.“夹角”包括“异面直线所成角”、“线面所成的角”与“二面角”“距离”包括“线面距离”、“点面距离”与“异面直线间的距离”.教科书在处理具体问题时,采取了实事求是的态度:凡是用向量比较容易解决的问题,就以向量为“通法”来解决,而对有些直接使用“形到形…     

巧用向量 化难为易

向量作为沟通“数”与“形”的桥梁,是利用数形结合解题的一种重要载体,掌握了向量运算的各种几何意义．能有效解决实际问题．在高考中。涉及空间向量的立体几何试题,着重考查应用空间向量的意识和应用空间向量证明有关平行、垂直关系及求角、距离等问题。     

数形结合的几条途径

数形结合是中学数学中的一种重要的思想方法．“数”是指数量关系，“形”是指空间形式．数形结合的基本思想是：在研究问题的过程中，注意把数和形结合起来考察．或者把几何图形转化为数量关系问题，运用代数、三角知识进行讨论；或者把数量关系转化为图形性质问题，借助几何知识加以解决．著名数学家华罗庚对数形结合思想给予高度评价，指出“数形本是相倚依，焉能分作两边飞？数缺形时少直觉，形少数时难人微，数形结合百般好，隔离分家万事休，[第一段]     

数形结合的三条途径

数形结合是中学数学中的一种重要的思想方法．“数”是指数量关系．“形”是指空间形式．数形结合的基本思想是：在研究问题的过程中．注意把数和形结合起来考察．或把几何图形转化为数龟关系问题．运用代数、三角知识进行讨论；或把数量关系转化为图形性质问题．借助几何知识加以解决．名数学家华罗庚对数形结合思想给予高度评价，指出“数形本是相倚依，焉能分作两边飞？     

设想·论证·转化——计算空间角与空间距离的一种思维模式

处理空间角与空间距离的计算问题,不仅要对有关“角”与“距离”的概念了如指掌,而且还要善于开动思维机器,灵活调遣线面关系,对问题交错进行设想、论证、转化和计算。所谓转化,就是将隐晦的问题转化为明确的问题,将立体几何的问题转化为平面几何问题等。对于空间角与空间距离的计算,通常是通过构造一个三角形(或四面体),转化为计算三角形(四面体)的边、角、高的问题。构造一个什么样的三角形(四面体)?当然,所求的角或距离应纳入该三角形(四面体)之中,可是,仅满足这点要求的三角形(四面体)往往有多种多样,这就存在一个选择的问题,也就是凭直觉和经验进行设想的问题。     

数形结合思想及其应用

数学研究的对象是数量关系和空间形式,即“形”与“数”两个方面．“形”与“数”两者之间并不是孤立的,而是有着密切的联系．在一维空间,实数与数轴上的点建立了一一对应的关系,在二维空间,实数对与坐标平面上的点建立了一一对应的关系,进而可以使函数解析式与函数图象、方程与曲线建立起一一对应的关系,使得数量关系的研究可以转化为图形性质的研究;反之,也可以使图形性质的研究转化为数量关系的研究．这种数学问题过程中“形”与“数”相互转化的研究策略,即是数形结合的思想．     

立体几何

1．立体几何问题有两大类，一是空间位置关系的论证，解决这类问题应熟练掌握公理、定理、定义，位置关系的论证要注意他们之间的内在联系，注意利用转化的思想；二是空间量，即空间角、空间距离、面积、体积的计算.     

用法向量求解空间距离和角

空间向量是高中数学试验教材中新增内容。它融数形于一体，是实现数形结合，解决数学问题的重要工具。以法向量为工具，可使空间距离（两异面直线的距离，点到平面的距离）转化为一个向量在另一个向量上的射影长、空间角（两异面直线所有角，线面角，面面角）转化为两个向量的夹角，且思路明确，易于入手，过程程序化，便于学生理解和接受，下面举例说明。     

空间距离的向量求法

用传统方法解决直体儿何中的距离问题,往往需要较强的空间想象能力,一般要按照“一作二证三计算”的步骤来完成,这种方法技巧性较强,但利用向量,可以将几何图形的性质转化为向量运算,变抽象的逻辑推理为具体的向量运算,实现了“数”与“形”的结合．     

圆的切线和切点弦方程

数学是关于现实世界的空间形式和数量关系的科学，其研究的对象是数与形．通常数中隐含着形的关系，形中又展示着数的信息．引导学生多方位地观察问题，通过联想促成数与形的相互转化，揭示出被掩盖着的数形关系，可以帮助学生理解问题的本质，达到培养学生思维灵活性的目的．关于“圆的切线和切点弦方程”的教学，我已经尝试过多次，但是每次教学后自己总感觉不够满意．最近，我通过“向量的数量积’解决这个问题，进行了一次教学探究，从数形关系的本质入手，终于感觉“爽”了一把．下面是这节课设计的一组问题链．     

浅谈数形结合思想在求最值中的应用

在运用数形结合解题时，需注意两点：①“形”中觅“数”，很多数学问题需要根据图形寻求数量关系，将几何问题代数化，以数助形，使问题获解．②“数”上构“形”，很多数学问题，本身是代数方面的问题，但通过观察，可发现它具有某种几何特征，由这种几何特征可以发现数与形的新关系，从而将代数问题转化为几何问题，使问题获解。     

线面垂直垂足位置确定的几种途径

直线与平面垂直是整个立体几何问题的枢纽,它不仅是线线关系和面面关系的中间环节,而且在有关距离和角度的计算中有着广泛的应用．空间距离都可转化为点线距离和点面距离,在计算前关键是确定垂足;求线面角时,常采用“射影转化法”,求作二面角的平面角时,常运用“三垂线定理法”,而这些与垂足的位置的确定     

在初中数学教学中渗透数形结合思想

数形结合思想,贯穿整个数学知识体系的始终,深人到数学的每一个角落,是初中数学中重要的思想之一,它把刻画数量关系的数和具体直观的图形、图象有机结合起来,将抽象思维与形象思维有机结合起来．根据探讨问题的需要,可把数量关系转化为图形性质或其位置关系进行讨论,或把图形的性质、位置关系转化为相关元素的数量计算,从而实现了数与形的灵活转换,进而探求问题的有效解答途径．     

例析“数形结合”思想在一次函数中的应用

“数形结合”思想在一次函数中的应用是中考命题的一个热点．也是平时学习一次函数解决应用问题的一个重点．“数形结合”的中心思想就是把问题的数量关系转化为图像的性质或者把图像的性质转化为数量关系来解决问题．在解一次函数应用问题时,如果把数与形结合起来考虑,就可以使复杂的问题简单化,抽象的问题具体化． 一、从“数”到“形”的思想应用     

以形助数 别有洞天

所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化，将反映问题的抽象数量关系与直观图形结合起来，也即将抽象思维与形象思维有机地结合起来的一种解决数学问题的重要思想方法．数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合．     

数形结合思想例说

数形结合思想就是通过数、形之间的相互转化来研究和解决数学问题的思想．直角坐标系为“数”与“形”的沟通提供了工具，使抽象的数量关系有形象直观的几何意义，而直观图象的几何性质     

依“葫芦”画非二次函数的图象给研究函数带来便利

“形”与“数”之间的相互转化在解决数学问题中是常见的,数形结合思想是数与形间的对应关系,是通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想.由形到数的转化往往较明显,而由数到形却需要较强的思想意识,用数形结合思想解决数学问题往往是将较为抽象的问题化为容易理解的形,再由形描述需要的数.二次函数图象在中学阶段具有非凡意义,为画其他函数的图象提供导航作用.     

《多边形》复习指导

点评 求三角形的角与角的数量关系时，一般将所求的角看做某一三角形的一个内角，再结合三角形内角和定理进行分析，若网形中出现了外角或所求的角本身是另一个三角形的一个外角时．通常考虑三角形的外角性质。这样就容易使问题得到解决．对于求不规则网形的内角和时。常连接两个顶点，将所求问题转化到三角形中解决．     

空间向量在立体几何中的应用

在用传统几何法研究空间中直线与平面位置关系、空间距离和空间角的问题时,需要作辅助线,将立体几何问题转化为平面几何问题,即空间问题平面化,一般难度较大。     

“图形化”在数学中的应用

数学是研究世界中的空间形式（即图形）和数量关系的。数和形是整个数学发展进程中的两大柱石．数和形依一定条件可以转化。①对文字叙述进行“图形化”,对一些代数问题。借助图形可以促进问题的解决;⑦对数式进行“图形化”．有些数量关系汇聚在某一特定的几何图形中,依据数式特征构成相关图形：③对方程或不等式进行“图形化”,有关解方程或不等式问题．可通过对若干个函数图像间的关系的考察分析．