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定理 设P是△ABC平面一动点 ,BC=a ,CA =b ,AB =c.则有PAa PBb PCc ≥ ∑a2∑b2 c2 . ( 1 )为证式 ( 1 ) ,先给出两个引理 .引理 1 [1] 设x、y、z∈R .在△ABC中 ,有(x y z) (xPA2 yPB2 zPC2 )≥a2 yz b2 zx c2 xy . ( 2 )引理 2 [2 ] 在△ABC中 ,有PB·PCbc PC·PAca PA·PBab ≥ 1 . ( 3 )式 ( 2 )即著名的Klamkin不等式 ,式 ( 3 )是我们熟知的Hayashi不等式 .定理证明 :在式 ( 2 )中 ,令x =1a2 ,y =1b2 ,z =1c2 ,得 P… 相似文献
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付真凯 《中学数学教学参考》1995,(4)
高中代数下册(必修)第12页的练习中有这样一个不等式: x/y y/x≥2(x、y∈R~ )。 在某些资料中有另一个不等式: x/(y z) y/(z x) z/(x y)≥3/2(x、y、z∈R~ )。 一般地,对于n个正数,我们有: 定理:设x_1,x_2,…,x_n均为正数,且x_1 x_2 … x_n=A,则 x_1/A-x_1 x~2/A-x_2 … x_n/A-x_n≥n/n-1(n∈N,且n≥ 相似文献
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杨世国 《安徽教育学院学报》2001,19(6):1-2
本文将关于三角形几何不等式的一个猜想推广到n维欧氏空间E^n中的n维单形,从而建立了一个高维几何不等式,并推广了Gerber不等式。 相似文献
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本文先给出三角形的外接圆半径、内切圆半径与面积之间的一个不等式 .定理 1 若三角形的外接圆半径为R ,内切圆半径为r,面积为S ,则Rr≥2 39S .证 设△ABC的三边长为a、b、c,由S =abc4R ,得 1ab 1bc 1ca=c4RS a4RS b4RS=a b c4RS =a b c4R·12 (a b c)r=12Rr,即 1ab 1bc 1ca=12Rr. ( 1)∵ S =12 absinC =12 bcsinA =12 casinB ,∴ 1ab 1bc 1ca=sinC2S sinA2S sinB2S =sinA sinB sinC2S .又易证 si… 相似文献
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文 [1]给出了一个有趣的几何不等式链 rbrcr2 a≥ rbrchbhc ≥ raha ≥ hbhch2 a≥ hbhcrbrc( 表示循环和 ,下同 ) ,并提供了一个猜想 hara ≤ 3R2r,文 [2 ]否定了这个猜想 .笔者经过研究 ,得到了一个新的不等式 ,现以定理形式给出 .定理 在△ABC中 ,设三边长为a、b、c ,外接圆半径 ,内切圆半径、半周长、面积分别为R、r、p、S ,三个旁切圆半径分别为ra、rb、rc,三边上的高分别为ha、hb、hc,则 hbhcrbrc≤ 3R2r,①当且仅当是正三角形时取等号 .证明 … 相似文献
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一个几何不等式的证明 总被引:1,自引:0,他引:1
题目:设a、b、c表示△ABC中∠A、∠B、∠C所对的边长,形内任意两点P_1、P_2到A、B、C三个顶点的距离分别为a_1、a_2,b_1、b_2,C_1、C_2.求证: 相似文献
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一个几何不等式的加强 总被引:2,自引:0,他引:2
笔者在文[1]曾提出并证明了以下命题:设d_1,d_2,d_3分别为△A_1A_2A_3内任意一点P到边A_2A_3、A_3A_1、A_1A_2的距离,A_2A_3=a_1,A_3A_1=a_2,A_1A_2=a_3,则中等号当且仅当△A_1A_2A_3为正三角形,且P点为其中心时成立.同时,笔者提出如下猜想:在条件同(1)式中的条件下,有取等号条件同(1).此猜想已有人给出了证明,这儿,我们再给出(2)式的一个加强式及其简捷证明.定理设d_1、d_2、d_3、分别为△A_1A_2A_3内任意一点P到边A_2A_3、A_3A_1、A_1A_2的距离,△表示△A_1A_2A_3面积,则当且仅当△A_1A_2A_3为… 相似文献
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《数学通报》2003年第4期数学问题1429[1]是: 设O是锐角△ABC的外心,R、1R、2R、3R分别是△ABC、△OBC、△OCA、△OAB的外接圆的半径.求证:1233RRRR?+. 当且仅当△ABC为正三角形时等式成立. 本文将锐角△ABC的外心O换成一般△ABC的内点P,得到如下一个有趣的几何不等式. 定理 设P是△ABC的一个内点,1R、2R、3R分别是△PBC、△PCA、△PAB的外接圆的半径,r是△ABC的内切圆的半径.求证: 1236rRRR?+ 当且仅当△ABC是正三角形且P是其中心时等式成立. 为证明定理,先给出以下几个引理. 引理1 设r正、r分别为面积为定值D的… 相似文献
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已知a、6、c、d均为正数,求证:(a~2 b~2 c~2 )~(1/2) (b~2 c~2 d~2)~(1/2) (c~2 d~2 a~2)~(1/2) (d~2 a~2 b~2)~(1/2)≥3~(1/2)(a b c d)。从要证明的结果中容易看出,左边四个根号内都是三个非负数的完全平方和,而长方体的对角线的长等于相邻的三边平方和的平方根,就想到了用立体几何知识来解这个问题。证:如图所示,作棱长为a、b、c的长方体OP,再作棱长为b、c、d的长方体PQ,且使长方体PQ的三方向的棱 相似文献