两个几何不等式

命题在△ABC中,ra、rb、rc、R、r、s分别为旁切圆半径、外接圆半径、内切圆半径及半周长,则有。     

一个有趣的几何不等式链

符号约定：在△ABC中,a、b、c表示三边长,A、B、C表示三内角,R、r、s表示外接圆半径、内切圆半径以及半周长,ha、hb、hc表示高线,∑、Ⅱ表示循环和与循环积。     

三角形边长之间的一个不等式

本文约定:△ABC的三边长、半周长、面积,外接圆半径、内切圆半径分别为a,b,c,P,S,R,r,∑表示循环和.经过探讨,笔者现已得到:定理:3(52RR--rr)≤∑∑aab2≤(2RR2 r)r22.证明:由熟知的恒等式知:∑a2=2(P2-4Rr-r2)∑ab=P2 4Rr r2所以∑a2∑ab=2(P P22 -44RRrr -rr22)=2-P42(4 R4r     

一个不等式的改进

文[1]给出三角形不等式: ∑m2a/bc≥2+r/2R (1) (其中a,b,c;mb,mc;s,R,r分别表示△ABC三边长,三中线长,半周长,外接圆和内切圆半径).     

非钝角三角形几何元素R，r与s的一个不等式

设△ABC的外接圆半径与内切圆半径及半周长分别为R,r,s,则有不等式：     

一个几何不等式的最佳形式

设ta、tb、tc分别是ABC的三条角平分线长,a、b、c为三边长,R、r、p分别是三角形的外接圆半径、内切圆半径、半周长,∑表示循环和.文[1]证明了不等式bct2a cat2b abt2c≥4.文[2]将此不等式加强为∑bct2a≥34Rp23.本文给出它的最佳形式∑bct2a=Rr 2.证明:由三角形角平分线长的公式知ta=2bccosA2b c.　　则t2a=4b2c2cos2A2(b c)2=2b2c2(1 cosA)(b c)2=2b2c2(b c)21 b2 c2-a22bc=bc(b c a)(b c-a)(b c)2=4bcp(p-a)(2p-a)2.故bct2a=(2p-a)24p(p-a)=14·pp-a 12 p-a4p.同理,cat2b=14·pp-b 12 p-b4p,abt2c=14·pp-c 12 p-c4p.　　于是,有∑b…     

一个几何不等式的加强及其它

符号约定:在△ABC中,a、b、c表示三边长,ma、mb、mc表示三条中线长,R、r、s表示外接圆半径、内切圆半径以及半周长,∑、∏表示循环和与循环积.文[1]中建立了如下一个有关三角形中线与边长之间的一个几何不等式:∑bmc2a≥2 2rR(1)本文建立了有关中线的一个新的更优的几何不等式.     

一个三角形的不等式链的建立及证明

命题：设△ABC三边的长为a、b、c，对应的中线长分别为ma、mb、mc，对应的高的长分别为ha、hb、hc，R、r、l、S分别表示为△ABC的外接圆半径、内切圆半径、半周长和面积．则有     

一个几何不等式的指数推广及引申

为了便于叙述,先给出如下约定： △ABC的三边长为a、b、c,三个角为∠A、∠B、∠C,旁切圆的半径为ra、rb、rc,外接圆、内切圆的半径分别为R、r,半周长为s．     

涉及三角形中线的一个不等式

[1]中证明了：设△ABC的内角平分线是ωa、ωb、ωc,外接圆、内切圆半径分别是R、r，则有。     

一个不等式的再加强及其它

文[1]给出了∑a^2-1的上界估计,即a、b、c为△ABC的三边长,R、r分别表示△ABC的外接圆和内切圆半径,则有     

涉及三角形高线的一个不等式

受文 [1]、[2 ]启发 ,笔者得到一个涉及三角形高线的不等式 .命题　设△ＡＢＣ对应边ａ、ｂ、ｃ上的三条高线是ｈａ、ｈｂ、ｈｃ,外接圆、内切圆半径分别是Ｒ、ｒ ,则有ｒ( 5Ｒ -ｒ)Ｒ2 ≤ ｈ2 ａｂｃ ｈ2 ｂｃａ ｈ2 ｃａｂ≤(Ｒ ｒ) 2Ｒ2 ,当且仅当ａ =ｂ =ｃ时等号成立 .为了证明命题 ,先给出如下的引理 .引理　设ａ、ｂ、ｃ为△ＡＢＣ的边长 ,Ｒ、ｒ、Ｓ分别为△ＡＢＣ的外接圆半径、内切圆半径、面积 ,则ｒ( 5Ｒ -ｒ)ＲＳ ≤ 1ａ 1ｂ 1ｃ ≤(Ｒ ｒ) 2ＲＳ ,当且仅当ａ =ｂ =ｃ时等号成立 .证明　由熟知的恒等式　ａｂｃ=4ＲＳ ,…     

一个有趣的几何不等式

本将给出三角形及其垂足三角形外接圆半径与原三角形面积之间的一个有趣的几何不等式．     

关于R,r与s的三角形不等式

本文建立一个含参数的关于三角形半周长。、外接圆半径R、内切圆半径r的几何不等式链，并利用它导出Gerretsen不等式16Rr-5r^2≤s^2≤4R^2 4Rr 3r^2的加强式．     

两个常用不等式的上界估计

匡继昌教授编著的《常用不等式》一书中,收录了下面的两个不等式: (1)R≥2r 1/8R∑(b-c)2 (2)Bager不等式:∑a2/lblc≥4     

一个有关旁切圆半径的不等式链

本文约定：在△ABC中，a，b，c表示三边长，ra、rb、rc表示旁切圆半径，R、r、s、△表示外接圆半径、内切圆半径、半周长以及面积，∑、П表示循环和与循环积.     

一个新的三角不等式

文[1]P219列出了如下有趣的三角不等式： 在△ABC中,三内角A、B、C所对三边长依次为a、b、c,半周长与内切圆半径分别为p、r,则有 经过类比探究,笔者最近得到了一个与（1）式非常类似的新的三角不等式：     

一个新的分式型三角不等式及其应用

设△ABC中，角A，B，C所对边为a，b，C，外接圆和内切圆半径分别为R，r，以“∑”表示循环和．