多项式（a1＋a2＋a3＋a…＋am）^n展开式项数之初探

(ａ+ｂ) ｎ二项展开式有 (ｎ+ 1)项 ,(ａ +ｂ+ｃ) ｎ三项展开式的项数可以按二项展开式办法求出 :[(ａ+ｂ) +ｃ]ｎ =Ｃ0 ｎ(ａ +ｂ) ｎｃ0 +Ｃ1ｎ(ａ +ｂ) ｎ- 1ｃ1+…+Ｃｒｎ(ａ +ｂ) ｎ-ｒｃｒ+… +Ｃｎｎ(ａ +ｂ) 0 ｃｎ,其展开式共有 (ｎ + 1) +ｎ + (ｎ - 1) +… + 2 + 1=(ｎ + 1) (ｎ+ 2 )2 项 .那么 (ａ1+ａ2 +ａ3 +… +ａｍ) ｎ展开式又有多少项呢 ?观察是思维的入口 ,是解题的第一能力 .从五光十色的交叉干扰信息中 ,能迅速找到自己需要的要点 ,这是观察能力中最基础、最珍贵的直觉思维能力 .观察上式结论 :(ｎ + 1) (ｎ+ 2 )2 =Ｃ…     

两道题的错解分析

题目 1　在等差数列 {ａｎ}、{ｂｎ}中 ,其前ｎ项和分别为Ｓｎ、Ｓ′ｎ,且 ＳｎＳ′ｎ =2ｎ 2ｎ 3,求 ａ3ｂ3.错解　由 ＳｎＳ′ｎ =2ｎ 2ｎ 3,可设Ｓｎ =( 2ｎ 2 )ｋ ,Ｓ′ｎ =(ｎ 3)ｋ　 (ｋ≠ 1) ,则ａ3=Ｓ3-Ｓ2 =2ｋ ,ｂ3=Ｓ′3-Ｓ′2 =ｋ ,∴ ａ3ｂ3=2ｋｋ =2 .错因　对于等差数列 ,由Ｓｎ =ａ1ｎ ｎ(ｎ- 1)ｄ2 ,知Ｓｎ 是关于ｎ的二次函数、且不含常数项 .因此 ,设Ｓｎ =( 2ｎ 2 )ｋ ,Ｓ′ｎ =(ｎ 3)ｋ不能成为等差数列前ｎ项的和 .正解　由 ＳｎＳ′ｎ =2ｎ 2ｎ 3,且Ｓｎ、Ｓ′ｎ 为等差数列的前ｎ项和 ,可设Ｓｎ =( 2ｎ 2 )ｋｎ…     

用构造法证明数列型恒等式和不等式

对于数列型恒等式和不等式的证明 ,通常都采用数学归纳法 ,但如果用构造数列的方法来证明 ,往往更简洁 ,并且也容易被学生所接受 .1　“ａ1 ａ2 ａ3 … ａｎ ≤Ｓｎ(或≥Ｓｎ)”型对这种类型的恒等式和不等式 ,可以构造数列{ｂｋ} ,使得ｂｋ =Ｓｋ-Ｓｋ- 1(规定Ｓ0 =0 ) ,这样 ,ｂ1 ｂ2 ｂ3 … ｂｎ =(Ｓ1-Ｓ0 ) (Ｓ2 -Ｓ1) (Ｓ3-Ｓ2 ) … (Ｓｎ-Ｓｎ- 1) =Ｓｎ.对ｋ∈Ｎ ,如果有ａｋ ≤ｂｋ(或ａｋ ≥ｂｋ) ,那么ａ1 ａ2 ａ3 … ａｎ ≤Ｓｎ(或≥Ｓｎ)成立 .例 1　 (1993年全国高考题改编 )证明 8· 112 · 32 8· 232 · 52 …     

数学竞赛初级讲座 二项式定理

二项式定理是证明代数问题的重要工具之一 ,是组合数学的基础 ,它具有一定的技巧和难度 ,且灵活性、综合性强 ,对学生运算能力的培养和思维灵活性的训练都具有重大的作用 .因此 ,它在国内外数学竞赛中出现的频率较高 .一、基础知识1 .(ａ ｂ) ｎ=Ｃ0 ｎａｎ Ｃ1ｎａｎ- 1ｂ Ｃ2 ｎａｎ- 2 ｂ2 … Ｃｒｎａｎ-ｒｂｒ … Ｃｎｎｂｎ=∑ｎｒ=0Ｃｒｎａｎ -ｒｂｒ(ｒ =0 ,1 ,2 ,… ,ｎ) .2 通项公式 :Ｔｒ 1=Ｃｒｎａｎ -ｒｂｒ( 0≤ｒ≤ｎ) .3 二项式系数的性质 :( 1 )在二项展开式中 ,与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等 .( 2 …     

单位根的性质及其应用

我们把 1的任何一个ｎ次方根叫ｎ次单位根或单位根 (ｎ∈Ｎ) .以单位根为背景的题目是数学竞赛的热点内容 .1　ｎ次单位根的常用性质设ｎ个单位根为ε0 ,ε1,ε2 ,… ,εｎ-1,其中ε0 =1,εｋ =ｃｏｓ2ｋπｎ +ｉｓｉｎ2ｋπｎ =εｋ1(ｋ∈Ｎ)则有(1) ｜εｋ｜ =1;(2 )εｋ·εｊ =εｋ+ ｊ(ｋ、ｊ∈Ｚ) ;(3) (εｋ) ｍ =εｍｋ(ｍ∈Ｚ) ;(4) εｋ =εｎ-ｋ;(5 ) 1+ε1+ε2 +… +εｎ-1=0 ;(6 ) 1+εｍ1+εｍ2 +… +εｍｎ-1=ｎ (ｎ｜ｍ)0 (ｎ ｍ) .2　应用例 1　 (2 0 0 1年全国高中数学联赛题 )若 (1+ｘ+ｘ2 ) 10 0 0 的展开式为ａ0 +ａ…     

一定二通三性四法谈二项式

二项式定理的内容在历年高考中几乎每年一题 ,题型有以下几种 :求展开式中的某一项或某一项系数的问题 ;求所有项系数的和或者奇数项、偶数项系数和的问题 ;二项式某一项为字母 ,求这个字母的值的问题 ;求近似值的问题 .试题变化不多 ,难度与教材习题相当 ,笔者在教学过程中对其就考点与考法上作了以下归纳 ,相信会对读者有所收益 .二项式定理中考查的有关知识点有如下4个方面 ,具体地可概括为“一定二通三性四法” :“一定” ,即二项式定理(ａ +ｂ) ｎ =Ｃ0ｎａｎ +Ｃ1 ｎａｎ- 1 ｂ +… +Ｃｒｎａｎ-ｒｂｒ+… +Ｃｎｎｂｎ(ｎ∈Ｎ ) .“二…     

对一个不等式的探究

文 [1]将不等式 :设ａ1,ａ2 ,ａ3,ａ4 ∈Ｒ ,求证 :ａ31ａ2 ａ3 ａ4 ａ32ａ3 ａ4 ａ1 ａ33ａ4 ａ1 ａ2 ａ34ａ1 ａ2 ａ3≥ (ａ1 ａ2 ａ3 ａ4 ) 212 ,推广为　　设ａ1,ａ2 ,ａ3,… ,ａｎ ∈Ｒ ,且ａ1 ａ2 ａ3 … ａｎ =ｓ.则有ａ31ｓ -ａ1 ａ32ｓ -ａ2 … ａ3ｎｓ -ａｎ ≥ ｓ2ｎ(ｎ - 1) (ｎ ≥ 3)(1)　　笔者通过对不等式 (1)的探究 ,得到以下命题　设ａｉ ∈Ｒ (ｉ =1,2 ,… ,ｎ ,ｎ≥ 3) ,且∑ｎｉ=1ａｉ =ｓ.如果ｍ ,ｋ满足下列条件之一 :(1)ｋ=0 ,ｍ≥ 1;(2 )ｋ=ｍ≥ 1或ｋ=ｍ ≤ 0 ;(3)ｋ>0 ,ｍ ≤ 0 ;(4 ) 0 <ｋ≤ 1,ｍ…     

2001年数学中考模拟自测卷参考答案

一、1 Ｃ　 2 Ｂ　 3 Ｄ　 4 Ａ　 5 Ｃ　 6 Ｄ　 7 Ｂ　 8 Ｄ　 9 Ａ　 10 Ｃ二、11 若ａ∥ｂ ,ｂ∥ｃ ,则ａ∥ｃ(或若ａ∥ｂ ,ａ⊥ｃ ,则ｂ⊥ｃ等 )　 12 32　 13 160°　 14 98ｍ　 15 ｙ2 <ｙ3 <ｙ1 　16 9　 17 7或 2 5　 18 180°　 19 ＡＣ =ＣＥ ,ＣＤ ∥ 12 ＢＥ ,ＣＤ⊥ＡＢ ,ＣＤ平分ＡＢ ,ＣＤ过圆心 ,ＡＤ2 =ＣＤ·ＤＦ ,…　2 0 13+ 2 3+ 33+… +ｎ3=(1+ 2 + 3 +… +ｎ) 2 或 13+ 2 3+ 33+… +ｎ3=ｎ(ｎ + 1)22三、2 1 原式 =- 2ｘ2 .∵　 ｘ2ｘ2 - 2 =11- 3 - 2 ,∴　ｘ2 - 2ｘ2 =1- 2ｘ2 =1- 3 - 2 .∴　 - 2ｘ2 =- (…     

二○○二年全国各省市中考数学试题精选参考答案

一、填空题1.ａ ;2 .(ｘ ｙ 2 ) (ｘ ｙ -2 ) ;3 .2 0 0 3 ;4.180元 ;5.1;6.ｘ2 -1;7.　 9.12 ;8.ｘ≤ｃ ;9.　 0 .5;10 .ｎ 1ｎ · (ｎ 1)= ｎ 1ｎ (ｎ 1) ;11. -3 ;12 .Ｓ =4ｎ -4(ｎ≥ 2 ) ;13 .ａ ｄ =ｂ ｃ或ａ ｂ =ｄ ｃ -14 ;14 .12 43 ;15.-1(或 0或 3 ) ;16.(32 ,32 ) ;17.3 92ｘ -3 92ｘ 4 0 =1;18.85.9;19.2 552 56;2 0 . 1ｎ(ｎ 1 ) (ｎ 2 ) =121ｎ(ｎ 1 ) -1(ｎ 1 ) (ｎ 2 )二、选择题1.Ａ ;2 .Ｃ ;3 .Ａ ;4.Ｃ ;5.Ｂ ;6.Ｂ ;7.Ａ ;8.Ｂ ;9.Ｂ ;10 .Ｃ ;11.Ｄ ;12 .Ａ ;13 .Ａ ;14 .Ｄ ;15.Ａ ;16.Ｄ …     

二次函数问题常见错解剖析

一、忽视二次项系数ａ≠ 0所造成的错解例 1　已知二次函数ｙ =ｋｘ2 - 7ｘ - 7的图象和ｘ轴有交点 ,则ｋ的取值范围是 (　　 ) .(Ａ)ｋ >- 74 　　 (Ｂ)ｋ≥ - 74 且ｋ≠ 0(Ｃ)ｋ≥ - 74 (Ｄ)ｋ >- 74 且ｋ≠ 0(2 0 0 0年山西省中考题 )　错解　由题意 ,得Δ =(- 7) 2 - 4ｋ·(- 7)≥0 .解得ｋ≥ - 74 .所以选 (Ｃ) .剖析　当ｋ =0时 ,原函数不是二次函数 ,所以ｋ≠ 0 .故应选 (Ｂ) .例 2　已知二次函数ｙ =ａｘ2 +ａｘ +ａ - 1的最小值是 2 .求ａ的值 .　错解　由题意 ,得4ａ(ａ - 1) -ａ24ａ =2 .整理 ,得ａ2 - 4ａ =0 .解得ａ =0或ａ =4…     

直线方程x0x／a^2＋y0y／b^2=1的几何意义

文 [1]给出了直线方程ｘ0 ｘ ｙ0 ｙ =ｒ2 的三种几何意义 .笔者认为直线方程 ｘ0 ｘａ2 ｙ0 ｙｂ2 =1也有类似的几何意义 .先求经过椭圆 ｘ2ａ2 ｙ2ｂ2 =1(ａ >0 ,ｂ >0 )上一点Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 )的切线方程 .设切线的斜率为ｋ ,则其方程为ｙ - ｙ0 =ｋ(ｘ -ｘ0 )或ｙ=ｋ(ｘ -ｘ0 ) ｙ0 .将ｙ的表达式代入椭圆方程 ,得ｘ2ａ2 [ｋ(ｘ -ｘ0 ) ｙ0 ] 2ｂ2 =1.化简并整理为ｘ的二次方程就是(ｂ2 ａ2 ｋ2 )ｘ2 - 2ａ2 ｋ(ｋｘ0 - ｙ0 )ｘ ａ2 (ｋｘ0 -ｙ0 ) 2 -ａ2 ｂ2 =0 .　　由于点Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 )是切点 ,所以ｘ0 是这个方程的二重实…     

等差数列前n项和的最值

公差ｄ≠ 0的等差数列 ａｎ ,它的前ｎ项和Ｓｎ 是关于ｎ的二次函数 :Ｓｎ =ｎａ1 +ｎ(ｎ- 1)2 ｄ =ｄ2 ｎ2 +ａ1 - ｄ2 ｎ .所以 ,当ｄ >0 ,Ｓｎ 有最小值 ;当ｄ <0 ,Ｓｎ有最大值 .由于函数Ｓｎ 与一般二次函数ｆ(ｘ) =12 ｄｘ2+ａ1 - ｄ2 ｘ(ｘ∈Ｒ)的定义域不同 ,因此在求最值的方法上又有其特殊性 .下面就这类问题探讨几种思考途径 .一、研究通项的符号 ,求Ｓｎ 的最值例 1　一个首项为正数的等差数列ａｎ ,前 3项之和与前 11项之和相等 ,则前几项和最大 ?解　由Ｓ3=Ｓ1 1 ,得ａ4 +ａ5+… +ａ1 0 +ａ1 1 =0 ,∵　ａ4 +ａ1 1 =ａ5+ａ1 0…     

初学数学归纳法易犯的通病

1　数学归纳法所谓“数学归纳法”是证明一个与自然数ｎ有关的数学命题时 ,所采取的一种证明方法。其具体步骤 :( 1)验证ｎ取第一个值ｎ0 时 (如ｎ0 =1、2或 3)命题成立 ;( 2 )假设ｎ =ｋ(ｋ∈Ｎ且ｋ≥ｎ0 )时结论正确 ,并且在此假设条件下 ,当ｎ =ｋ +1时结论也正确。则原命题正确。这种方法我们称之为数学归纳法。如证明等差数列的通项公式ａｎ=ａ1+(ｎ - 1)ｄ证明 :( 1)当ｎ =1时左边 =ａ1右边 =ａ1+( 1- 1)ｄ =ａ1等式成立( 2 )假设当ｎ =ｋ(ｋ∈Ｎ且ｋ≥ 1)时ａｎ=ａ1+(ｋ - 1)ｄ则当ｎ =ｋ +1时ａｋ +1=ａｋ+ｄ =ａ1+(ｋ - 1)ｄ +ｄ=…     

数学奥林匹克高中训练题(61)

第一试一、选择题 (每小题 6分 ,共 36分 )1.ａ、ｂ是异面直线 ,直线ｃ与ａ所成的角等于ｃ与ｂ所成的角 .则这样的直线ｃ有 (　　 ) .(Ａ) 1条　 (Ｂ) 2条　 (Ｃ) 3条　 (Ｄ)无数条2 .若△ＡＢＣ的三边长ａ、ｂ、ｃ满足ａ2 -ａ - 2ｂ - 2ｃ =0且ａ +2ｂ - 2ｃ +3=0 ,则它的最大内角的度数是 (　　 ) .(Ａ) 15 0°　 (Ｂ) 12 0°　 (Ｃ) 90°　 (Ｄ) 6 0°3.对任意给定的自然数ｎ ,ｎ6+3ａ为正整数的立方 ,ａ为正整数 .则这样的ａ(　　 ) .(Ａ)有无数个　　　 (Ｂ)只有有限个(Ｃ)只有 1个　　　 (Ｄ)不存在4 .在复平面上 ,曲线ｚ4+ｚ =1与圆 …     

从分数到分式

有些分数问题 ,适当地用字母表示数 ,使之转化为分式问题 ,就可以使问题得以巧妙解决 .请看几例 .例 1　计算 :199919982199919972 199919992 -2 .解　设 19991998=ｎ ,则原式 =ｎ2(ｎ -1) 2 (ｎ 1) 2 -2 =ｎ22ｎ2 =12 .例 2　 -191919919191-190 190910 910 -190 0 190 0910 0 910 0 的值等于 (　　 ) .(Ａ) -3　 (Ｂ) -5 791　 (Ｃ) -1　 (Ｄ) -13解　设 19=ａ ,91=ｂ ,则原式 =-10 10 1ａ10 10 1ｂ-10 0 10ａ10 0 10ｂ-10 0 0 10 0ａ10 0 0 10 0ｂ=-ａｂ(1 1 1) =-3ａｂ=-5 791.应选 (Ｂ) .例 3　已知Ｍ =5 6 7890 12 346 7890 1…     

关于数列通项的个数和拉格朗日方法

《中学数学教学》最近连载蔡上鹤先生就高中数学新教材的教学方法 ,回答高中教师的问题 ,说得简单明了全面且多有妙语珠词。今仅就其中第 5 1、5 4两个问题 (编者注 :见本刊 2 0 0 1年第 2期 )作些补充。1 只给出数列头几项 (其余用省略号 )而求数列通项 (实际上就是求数列本身 )。这是一个不确定问题 ,它早已被大数学家拉格朗日彻底解决 ,他给出了万能插值法。就从蔡先生的例题说起 :给数列ａ1=2 ,ａ2 =-32 ,ａ3 =43,ａ4 =-54 ,ａ5=65 ,ａ6=-76 ,……其通项可以写成 :ａｎ=( -1 ) ｎ - 1·ｎ 1ｎ =( -1 ) ｎ 1·ｎ 1ｎ =( -1 ) ｎ …     

关于数的两个结论

我是一名学数学教育的大学生 ,学习中有两点小小发现 ,可能不是新的 .1 一类数平方的算法设ａ =9… 9ｎ 1个ｍ ,ｍ >5为数码 ,则ａ2 =9… 9ｎ 1个ｂ 0… 0ｃｎ 2个,其中 1 0ｂ ｃ=ｍ2 .证明 :设ｍ ｄ =1 0 ,则ａ2 =( 1 0 ｎ 2 -ｄ) 2 =1 0 2ｎ 4 -2ｄ·1 0 ｎ 2 ｄ2 .又ｍ2 =( 1 0 -ｄ) 2 =1 0 0 -2 0ｄ ｄ2 =1 0ｂ ｃ,　ｄ2 =ｃ,1 0 0 -2 0ｄ =1 0ｂ,ｂ =1 0 -2ｄ .∴ａ2 1 0 ｎ 2 ( 1 0 ｎ 2 -2ｄ) ｄ2 =9… 9ｎ 1个ｂ0… 0ｃｎ 2个.例如 ,9982 =996 0 0 4 ,9996 2 =9992 0 0 1 6 .2 关于平方数的倒排 .设ｔ…     

妙题巧解(五)

1 已知ｘ1、ｘ2 是关于ｘ的方程ｘ2 -ｋｘ +2ｋ -6 =0的两个根 ,且 0 <ｘ1<1 ,3<ｘ2 <4 ,求ｋ的取值范围 .2 已知 5 (ａ -ｂ) + 5 (ｂ -ｃ) + (ｃ-ａ) =0 ,且ａ≠ｂ.求证 :4ａ2 +ｂ2 +ｃ2 ≥ 4ａｂ -2ｂｃ +4ｃａ.3 设有五个自然数 ,其中每四个数的和分别是 39,4 1 ,4 2 ,4 4,4 6 ,求这五个自然数 .4 若三角形内的数是 6 ,四边形内的数是1 0 ,五边形内的数是 1 5 ,六边形内的数是 2 1 ,根据上述规律请你猜想 ,二十边形内的数应是.5 已知ａ +ｂ +ｃ=0 ,4ａ -2ｂ +ｃ=0 ,ａ -ｂ +ｃ>0 .求证 :4ａ+ 2ｂ+ｃ<0 .参考解答图 11 若用方程的观点…     

四边形外接圆半径公式

定理　设四边形ＡＢＣＤ的边为ａ、ｂ、ｃ、ｄ ,外接圆半径为Ｒ ,则Ｒ =(ａｂ ｃｄ) (ａｃ ｂｄ) (ａｄ ｂｃ)4 ｐａｐｂｐｃｐｄ,其中 ｐ为半周长 ,ｐａ=ｐ -ａ ,等等 .证明 :如图 ,用余弦定理 ,得ｃｏｓＡ =ａ2 ｄ2 -ｘ22ａｄ ,ｃｏｓＣ =ｂ2 ｃ2 -ｘ22ｂｃ .应用ｃｏｓＡ ｃｏｓＣ =0 ,记ｋ1=(ａｂ ｃｄ) (ａｃ ｂｄ) ,ｋ2 =ａｄ ｂｃ,则解得ｘ2 =ｋ1ｋ2.应用三角形外接圆半径公式 ,得Ｒ△ＢＣＤ=ｘｂｃ4 ｐ′ｐｘ′ｐｂ′ｐｃ′　 ( ｐ′=12 (ｘ ｂ ｃ) ,ｐｘ′=ｐ′ -ｘ ,等等 ) ,则有Ｒ2 =Ｒ△ＢＣＤ2 =ｘ2 ｂ2 ｃ21 6ｐ′…     

两个三项高次方程的公根问题

定理　两个ｎ(ｎ≥ 2 )次方程ａｉｘｎ ｂｉｘ ｃｉ=0○i(ｉ=1 ,2 )有公共根的充要条件是(ａ2 ｃ1-ａ1ｃ2 ) ｎ =(ａ1ｂ2 -ａ2 ｂ1) ｎ - 1(ｂ1ｃ2 -ｂ2 ｃ1) .③证明 :设①、②有公根ｘ0 ,记 ｙ =ｘ0 ｎ,ｚ =ｘ0 ,则关于 ｙ、ｚ的方程组ａ1ｙ ｂ1ｚ ｃ1=0 ,ａ2 ｙ ｂ2 ｚ ｃ2 =0 ④有解 ( ｙ ,ｚ) .当ａ1ｂ2 -ａ2 ｂ1≠ 0时 ,④的解是ｙ =ｂ1ｃ2 -ｂ2 ｃ1ａ1ｂ2 -ａ2 ｂ1,ｚ =ａ2 ｃ1-ａ1ｃ2ａ1ｂ2 -ａ2 ｂ1.⑤因 ｙ=ｘ0 ｎ=ｚｎ,由⑤可验证③成立 .当ａ1ｂ2 -ａ2 ｂ1=0时 ,因④有解 ,只有ａ2 ｃ1-ａ1ｃ2 =ｂ1ｃ2 -ｂ2 ｃ1=0 ,即③成…