递推法解排列组合问题

[例1] 走上10级的阶梯,每步可一级或两级,问有多少种不同的走法? 解法1 按每种走法中一步上两级的步数k(k=0,1,2,3,4,5)分成6类,走上10级阶梯的步数是10-k,这一类的走法数是C_(10-k)~k。由加法原理,不同走法总数为 N=C_10~0+C_9~1+C_8~2+C_7~2+C_6~4+C_5~5=89。下面是递推法。解法2 设走上n级阶梯的走法有a_n种,易知a_1=1,a_2=2,当n>2时,若第一步上一级则有a_(n-1)种走法,第一步上两级则有a_(n-2)种走法,故a_n=a_(n-1)+a_(n-2)(n≥3)。于是当阶梯级数n=1,2,…,10时,走法数依次是 1,2,3,5,8,13,21,34,55,89。即a_(10)=89。注意到解法2中的数列{a_n}就是菲波那奇数列,它的通项公式为     

用不动点法巧解高考递推数列问题

对于函数f（x），若存在X0，使f（x0）=x0成立，则称x0为函数f（x）的—个不动点．数列与函数密切相关，利用不动点法可将由递推关系所研究的数列转化为等差、等比数列，进而利用等差、等比数列或迭代法求出递推数列的通项公式．下面以2006年高考试题为例，巧用不动点法来求解有关递推数列的通项问题．[第一段]     

用集合思想解剩余问题

湖南教育今年第一期上发表了梁康健和谢中若两位老师用递推法解剩余问题的文章,这是代数的解法。在小学里,学生没有代数的基础,我觉得用“布尔代数”的集合思想解剩余问题,对小学生更适合,因为可以帮助儿童加深对集合概念的认识;当然,这种方法有它的局限性,只有在所求的“最小正整数不大”时,才能显示其优越性。例如:某正整数被2除余1,被5除余2,被9除余3,求满足条件的最小正整数。     

用“递推法”解“物不知数问题”

“物不知数问题”又称“中国剩余问题”,是中国古代三大数学游戏题之一。1963年,华罗庚教授对这个问题给出了一个不需要“数论”专门知识的解法。解决“物不知数问题”,还可以用递推法。     

用递推法解题

递推法是组合数学中的一个重要解题方法,许多著名问题(如menage问题、更列问题、跳蛙问题等)用递推法来解显得精巧简捷。鉴于这一方法在升学和竞赛中应用越来越广泛,掌握和运用这种方法,就显得更加重要。     

用递推法探求几个概率问题

概率是高中数学教材中的新增内容,由于它与实际生活有密切的关系,这就使概率成为近年来高考的热点内容.本文拟用递推思想方法探求几个有趣的概率问题,体现了数列与概率知识的交汇性,对提高学生学习概率的兴趣、解题能力和创新思维能力都有一定的帮助.     

用递推法证明不等式

一类与自然数n有关的不等式,可用递推法证明,这种方法就是将所证不等式两边作差或作商,构造函数f(n)(n∈N),判断f(n)的单调性,即对任意m,作商则先证f(m)>0,(J(m 1))/(f(m))≥1;作差则先证f(m 1)-f(m)≥0。两者都得f(m 1)≥f(m)。然后用递推方法,可得f(m)≥f(1)再来证明原不等式 此法原理简单,操作方便,对含自然数n的不等式中一边是和或积式的、或幂指型的证法更佳,可化繁为简,化难为易。     

用递推方法解一个排列难题

题1 设有编号分别为1,2,3,4,5的五人自左至右排队,规定第k个位不站编号为k的人(k=1,2,3,4,5)有多少种排法? 这是一道常见于各种复习资料的排列组合题,许多成绩较优秀的学生面对此题都一筹莫展,总认为限制条件太多而无从下手,本文将给出此题的一种有效解法,并把此题加以推广。我们先将题1推广为: 题2 设有编号分别为     

构造递推关系解有关问题

对于一个数列,若满足{“‘一b‘(瓦为常数,‘二1,2,…la。=j(a一1,a。一:,…,a二一*),k)那么我们称上式为-递推关系.构造递推关系解一类应用问题和计数问题颇为巧妙.构造递推关系解应用题 依题意b=10500,c=1.08,d=一300,于是a,210500 X 1.08,2 (一300一10500)1.08,’ 300 1,08一l19488.6(元) 纯收人为al:一10000(l 10.98呢)=8390.6(元) 答:到年底小王拥有19488.6元资金,小王的纯收入8390.6元. 例1小王年初向建设银行贷款2万元用于购房,商定年利率为10%,按复利计算(即本年的利息计入次年的本金),若这笔借款分15次等额归还,每年一次,15年还清…     

用面积法解几何问题

有些几何问题，往往可以用面积法来解决．面积法解几何问题常用到下列性质：     

用对称法解磁偏转问题

带电粒子垂直射入磁场之后,将作匀速圆周运动.分析带电粒子的运动会发现它们具有对称的特点,即:粒子的运动轨迹关于入射点 P 和出射点 Q的中垂线对称,轨迹圆心位于对称线上,入射速度、     

用整体法解平衡问题

例1用轻质细线把两个质量未知的小球悬挂起来,如图1所示,今对小球a持续施加一个向左偏下30°的恒力,并对小球b持续施加一个向右偏上30°的同样大的恒力,最后达到平衡,表示平衡状态的图可能是（ ）     

用平衡法解浮力问题

一、关于浮力的四种基本计算方法1.压力差法:如图1,F浮=F上-F下. 2.称重法:如图2,F浮=G-F拉. 3.悬浮及漂浮的条件:如图3,F浮=G. 4.阿基米德原理:如图4,F浮=G排=     

用比例法解行程问题

例1．甲、乙两车的速度之比是5∶3,两车分别从A、B两地同时出发并匀速行驶。如果两车相向而行,则经过0．5小时相遇；如果两车同向而行,甲车追上乙车需要几小时? [分析与解]因为甲、乙两车的速度之比是5∶3,所以可把A、B两     

用代数法解平面几何问题

用代数法解某些平面几何问题,既可以避免添加过多的辅助线,又为我们提供了更为灵活的解题途径．本文结合例题作一介绍．     

用比例法解行程问题

列方程解应用题是初中代数中的重点,也是难点,难就难在审不清题,找不出已知量与未知量之间的关系,列不出正确的方程．特别是行程问题,由于它涉及的范围广,条件多,变化复杂,学生往往望而生畏,但如果掌握了一定的方法,就能突破难点,难题也就不难了．本文介绍的“比例法”就是一种容易理解、便于掌握的简捷方法．所谓“比例法”,就是根据题目给出的条件,利用基本关系式：速度×时间＝距离,判断出已知量与未知量之间是成正比例还是成反比例关系,列出比例式,并得到相应的方程的方法．下面举例说明．一、相遇问题例１　快慢两列车…     

用三角法解代数问题

代数里的证恒等式、证不等式、解方程,都是利用已知的数量关系,使问题得到解决的.如果已知的数量关系符合三角函数的某些性质,那么借助三角知识,往往可以化难为易,今分类举例说明于后.     

用份数法解工程问题

在教学过程中,我探索了解答工程问题的另一种方法——份数法。现简述于下: [例1] 一项工程,由甲工程队修建,需要20天完成;由乙工程队修建,需要30天完成。两队合修需要多少天完成? 根据题意,我们可以这样考虑:把这项工程平均分成(20×30)份,(相当于两队单独所需时间的乘积);从甲、乙队完成这项工程分别为20、30天可以得到甲、乙队每天分别修建这样的30、20份(相当于乙、甲独修的天数);两队合修的工作效率是每     

用几何法解工程问题

应用几何法探索工程问题的解法所依据的关系式是 (1)工作量二工效义时间:的任务;设D‘一x表示提前x天完成。因两(2)工(3)时效一器;间=瞥·┌─┐│}l│├─┼─┐│汀│ │└─┴─┘如图1,在矩形ABCD中,把相邻的个矩形ABCD与A石F‘面积相等,同时减去公共部分的面积,得SDGHCD 二SDREPH两边AB、BC分别表示工作时间和工效,那么依据公式(1)知,矩形ABCD的面积┌─┐│ │└─┘S口ABCD就表示工作t. 如图2,在由此得方程500x二50(1 10一x)解之得x二10。即可提前10天完成修路任务。 例2甲乙二人加工某机器零件,已知甲每小时比乙多做…