一道IMO备选题的新证法

文 [1 ]第 1 1 7页是由波兰提供的第 35届IMO备选题 :对 x≠ 0 ,f( x) =x2 12 x ,定义 f(0 ) ( x) =x,和对所有正整数 n和 x≠ 0 ,f(n) ( x) =f( f(n- 1 ) ( x) ) ,求证 :对所有非负整数 n和 x≠ - 1 ,0 ,1 ,有f(n) ( x)f(n 1 ) ( x) =1 1f x 1x- 12 n .原文用数学归纳法直接给以证明 ,本文从数列角度给出新的简单证明 .证明　记 a0 =f(0 ) ( x) ,an=f(n) ( x) ,则a0 =x,an=f ( an- 1 ) =a2n- 1 12 an- 1,从而 an- 1 =( an- 1 - 1 ) 22 an- 1,an 1 =( an- 1 1 ) 22 an- 1,相除得　 an- 1an 1 =an- 1 - 1an- 1 12 ,重复以上办…     

例谈不动点法求数列通项公式

若x0 满足方程 f(x0 ) =x0 ,则称x0 是函数f(x)的一个不动点 .利用递推数列 f(n)的不动点 ,可将某些由递推关系an =f(an- 1 )所确定的数列转化为较易求通项的数列 (如等差数列或等比数列 ) ,这种方法称为不动点法 .下面举例说明两种常见的递推数列如何用不动点法求其通项公式 .结论 1　若f(x) =ax +b(a≠ 0 ,a≠1) ,p是f(x)的不动点 ,an 满足递推关系an= f(an- 1 ) (n >1) ,则an-p=a(an - 1 -p) ,即 an-p 是公比为a的等比数列 .证明　∵p是f(x)的不动点 ,∴ap+b =p ,∴b -p=-ap .由an =a·an- 1 +b ,得an-p=a·an- 1 +b -p=a·an- 1 -ap=a(a…     

聚集数列与相关知识整合

数列是高中数学的重要内容之一,它往往可以与多种知识进行整合,也体现了高考数学命题的原则:在知识网络的交汇处命题,本文拟例说明,旨在熟悉题型特征,掌握解题方法.1与函数的整合例1已知函数f(x)=1 log2x,设数列{an}满足an=f-1(n)(n∈N*),则数列{an}的前n项和Sn=()A2n-1-1;B2n-1;C4n-1-1;D4n-1易知f-1(x)=2x-1,所以an=f-1(n)=2n-1,所以{an}是以1为首项,2为公比的等比数列,所以Sn=11--22n=2n-1,故选B.例2已知定义域为R的二次函数f(x)的最小值为0且f(1 x)=f(1-x),直线g(x)=4(x-1)被f(x)的图象截得的弦长为417,数列{an}满足a1=2,(an 1-an)g…     

矩阵在多项式乘积中的应用

设f(x) ,g(x)∈F[x],且 °(f(x) ) =n , °(g(x) ) =m ,其中f(x) =a0 xn+a1xn -1+…+an (1)g(x) =b0 xm+b1xm -1+…+bm (2 )用矩阵表示f(x) =(a0 ,a1,…,an) (xn,xn-1,…,1) T (3)为了叙述方便,给出如下定义.定义1　在(3)式中,称1×(n +1)矩阵A =(a0 ,a1,…,an)为多项式f(x)的系数矩阵;称(n +1)×1矩阵X =(xn,xn -1,…,1) T 为f(x)基底矩阵。其中f(x)的系数矩阵A与基底矩阵X都是f(x)按降幂排列而构成的,且A的行数和X的列数都等于 °(f(x) ) +1。显然(f(x) =AX .定义2　已知多项式(1) ,(2 ) ,则(n +1)×(n +m +1)矩阵B(f,g) =b0 b1…bmb…     

特征方程与递推数列(高一)

题设f1(x)=2/x 1,而 fn 1(x)=f1[fn(x)],n∈N。记an=fn(2)-1/fn(2) 2,则a99=___. (14届“希望杯”高一1试)若令bn=fn(2),则此题变为:b1=2/3且bn 1=2/bn 1,n∈N,记an=___     

有关2007的一组数列题

在新年到来之际,本文特编拟了一组结果均是2 007的数列题,衷心祝愿广大数学爱好者在新的一年里事事顺意!1.已知函数y=f(x 1)的反函数是y=f-1(x 2 005),若数列{an}满足a1=2 006×2 007,an=f(n),求a2 008.解由y=f-1(x 2 005)得f(y)=x 2 005,互换x,y得y=f(x)-2 005,依题意有f(x 1)     

2006年高考理科数学(山东卷)22题别解

试题已知a1=2,点(an,an+1)在函数f(x)=x2+2x的图象上,其中n=1,2,3…(Ⅰ)证明数列{lg(1+an)}是等比数列;(Ⅱ)设Tn=(1+a1)(1+a2)…(1+an),求Tn及数列{an}的通项;(Ⅲ)记bn=a1n+an1+2,求数列{bn}的前n项和Sn,并证明Sn+3Tn2-1=1.解(Ⅰ)由a1=2,且点(an,an+1)在f(x)=x2+2x的图象上,所以an+1=a2n+2an>0(n=1,2,3,…)所以llgg((11++aan+n)1)=lg(1lg+(12+ana+n)a2n)=2,所以数列{lg(1+an)}是以2为公比的等比数列.(Ⅱ)由(Ⅰ)知数列{lg(1+an)}的公比为2,第1项为lg3,从而lg(1+an)=2n-1lg3=lg32n-1,即1+an=32n-1(1)因此数列{an}的通项为an=32n-1-1.由(1)得…     

追寻题源 探究新法

问题(2007年广东省高考理科第21题)已知函数f(x)=x2 x-1,α,β是方程f(x)=0的两个根(α>β),是f(x)的导数,设a1=1,an 1=an-f(an)/f'(an)(n=1,2,…).(1)求α,β的值;     

2006年高考理科数学（山东卷）22题别解

试题已知a1=2,点(an,an 1)在函数f(x)=x2 2x的图象上,其中n=1,2,3…     

题库(十八)

1．已知函数f(x)=ax-b/x-2ln x,f(l)=0. (1)若函数f(x)在其定义域为单调函数,求a的取值范围; (2)若函数f(x)的图象在x=1处的切线的斜率为0,且an+1= f'(1/an-n+1)-n2+1,已知a1=4,求证:an≥2n+2; (3)在(2)的条件下,试比较1/1+a1+1/1+a2+1/1+a3+…+1/1+an与1/5的大小, 并说明你的理由． 2．设f1(x)=2/1+x,定义fn+1(x)=f1[fn(x)],an=fn(0)-1/fn(0)+2,基中n∈N．     

一个二次函数的最小值

问题设实数a1,…,an满足0≤ai≤2(i=1,...,n),证明,二次函数 f(x)=nx2-2(a1 ... an)x a21 ... a2n的最小值不超过n.     

高等数学(工专)练习

第一部分选择题一、单项选择题(本大题共30小题,每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的,请选出正确选项)(一)每小题1分,共20分1、函数y=24-x√|x|+x的定义域是A.(0,4)B.(-1,3)C.[0,4)D.(0,4]2、若limn→∞2n3+8n-2an3+3n2+2n+1=4,则a= A.4B.1C.3D.123、若limn→+∞yn=2,那么=limn→∞12(yn+yn+1)= A.0B.2C.4D.不存在4、若f(x)在x0处连续,又f(x0)=2,那么limx→x0f(x)= A.1B.0C.3D.25、设数列an为无穷小量,则limn→+∞(3sin2n+4cosn)an= A.7B.1C.0D.∞6、如果数列an满足条件(),那么limn→+∞an一定存在。A.单调B.…     

一元线性绝对值函数最值的算法、程序及应用

1 数学模型f(x)=n∑i=1mi|x-ai|最值问题的讨论 对于一元线性绝对值函数f(x)=n∑i=1mi|x-ai|,其中mi＞0,i=1,2,…,n,a1＜a2＜...＜an的最值问题可以通过以下定理得出结论.     

求递推数列通项公式的若干方法

1不动点法把方程f(x)=x的根叫做函数f(x)的不动点,方程f(x)=x叫特征方程.(1)对一般的递推数列{an},若f(x)=ax bcx d,an 1=f(an)1当函数f(x)有两个不同的不动点α,β时,令bn=aann--βα,则bn 1=aa--ccβαbn,问题转化为等比数列.2当函数f(x)有一个不动点α,可令bn=1an-α,则bn 1-bn=a-ccα,问题转化为等差数列.(2)设函数f(x)=2xx2 AB有两个不同的不动点x1,x2,且an 1=f(an),则aann 11--xx12=(aann--xx21)2证明:aann 11--xx12=an2 A2an B-x1an2 A2an B-x2=an2-2x1an A-Bx1an2-2x2an A-Bx2因为x1,x2是方程2xx2 AB=x的两根,所以2xx211 …     

两道2007年高考题对高三教学的启示

2007年的高考试题中出现过这样2道题目： 题目1 已知函数f（x）=x^2＋x-1,α,β是方程f（x）=0的2个根（α〉β）,f＇（x）的导数，设a1=1,an＋1=an-f（an）/f＇（an）（n=1,2,…）.     

题库(二十四)

1.已知函数f(x)满足2ax·f(x)=2f(x)-1,f(1)=1.设无穷数列{an}满足an+1=f(an).(1)求函数f(x)的表达式;(2)若a1=3,从第几项起。数列{an}中的项满足an相似文献   

关注高考中涉及n最值的求法

涉及n的最值问题是高考考试的一个热点,同时也是个难点.这里提供几种方法供同学们参考.一、直接用单调性处理【例1】已知函数f(x)=2x log2x数列{an}的通项公式是an=0.1n(n∈N)当｜f(an)-2005｜取得最小值时,n=.解:记F(n)=f(an)-2005注意到f(n)、an均是n的增函数,故F(n)是n的增函数.由计算器知道:F(109)≈-91,F(110)≈46,F(111)≈193,从而n为110.【例2】与方程x2 lgx-2005=0的实根最接近的自然数是.分析:本题的实质也是个关于自然数的最值问题.考虑F(n)=n2 lgn-2005,注意到n2、lgn均是n的增函数,故F(n)是n的增函数.同样由于F(44)≈-67,F(…     

函数+数列 珠联璧合(高一、高二、高三)

数列,其实就量自变量取自然数时的函数, 它是函数的特殊情形,所以函数与数列有着内 在的联系,我们在研究相关问题时,自然地应当 从函数的观点去看数列. 例1 已知函数 f(x)=-3x 3,x∈[2/3,1]. (1)求f(x)的反函数g(x); (2)在数列{an}中, a1=1,an=g(an-1)(n≥2,n∈N*),     

几道高考压轴题所蕴涵的重要分析引理

1先看2001年高考数学题(全国卷的压轴题,第22题)的表述:设f(x)是定义在R上的偶函数,其图像关于直线x=1对称,P x1,x2∈0,21都有f(x1 x2)=f(x1)·f(x2)且f(1)=a>0.(1)求f(21)及f(41);(2)证明f(x)是周期函数;(3)记an=f(2n 21n)求lni→m∞(lnan).这里问题的关键是函数方程式f(x1 x2     

2007年高考填空题强化训练

1.设等差数列{an}的公差为2,an=1,则{an}前项n的和Sn关于n的表达式为.2.在△ABC中,已知sin2A-sin2B-sin2C-sinBsinC=0,则∠A等于.3.已知函数y=f-1(x)的图像过(1,0),则函数y=f21x-1的图像一定过点.4.已知f(x)=ax2 bx 3a b是偶函数,定义域为[a-1,2a],则a b的值为.5.已知sin4π-x=