等比级数在级数中的应用

文章阐述了等比级数∞n=0axn=a1-x(|x|<1)在求幂级数的和函数以及将函数展开成幂级数中的重要作用。     

级数sum from n=1 to ∞((-1)~(n-1))/n和的几种计算及其重排的和

给出级数sum from n=1 to ∞((-1)~(n-1)/n)和的四种计算方法,并讨论了其重新排列的和。     

几类幂级数的求和公式

本文巧用幂级数逐项微分定理,给出了几类幂级数sun from n=1 to ∞ n(n 1)…(n m-1)x~n,sun from n=1 to ∞(x~n/(n(n 1)…(n m-1)x~n)及sun from n=0 to ∞(a nd)x~n的求和公式。     

幂级数在收敛圆周上发散性与和函数的奇点的关系

本文通过幂级数sum from n=0 to ∞ a_nz~n在收敛圆周上的敛散性与(?)的关系,进一步证明了若其和函数f(Z)在收敛圆周上存在极点,则幂级数sum from n=0 to +∞a_nZ~n必在此圆周上处处发散。     

关于幂级数的两个命题

讨论了一种幂级数的展开方法 ,给出了一种幂级数的和函数的求法 .     

条件恒等式的证明

本文的目的在于介绍如何用y=lnx的幂级数的展开式来证明条件恒等式。我们给出下面的题目:(例一):若a+b+c=0求证2(a~4+b~4+c~4)=(a~2+b~2+c~2)~2(1)由于题目中出现a,b,c的偶次项,我们很自然地想到这一题目可以用乘法公式给以证明:     

sum from n=0 to ∞ a_n(bx+c)~(np+q)型幂级数的收敛半径的简捷求法

本文通过对赵树嫄教授主编的《微积分》关于求幂级数收敛半径一处笔误的讨论,得出关于sum from n=0 to ∞ a_n(bx+c)~(np+q)型幂级数收敛半径的简捷求法。     

关于幂级数一个收敛性质的商榷

同济大学数学教研室编《高等数学》(第三版)下册,p284关于幂级数和函数的连续性有如下定理: 定理:幂级数(3)的和函数s(x)在收敛区间(-R,R)内是连续的。如果幂级数(3)在收敛区间的端点x=R(或x=-R)也收敛,则和函数s(x)在x=R处左连续(或在x=-R处右连续)。注:定理中所述幂级数(3)指上文提及的级数: a_0+a_1x+a_2x~2+…+a_nx~n+… (3)     

指数函数e^x的两个应用

1　在级数审敛中的应用利用指数函数 ex的幂级数展开式 ,即 ex=1+ x+ x22 !+… + xnn!+… ,| x| <+∞ (参见 [1 ] )可以判断某些通项为 n的指数函数的级数的敛散性。例 1　判别级数Σ∞n=1 e-n 的敛散性。解　根据指数函数的幂级数展开式 ,有e n =1+ n + (n ) 22 !+ n323 !+ n24!+…于是 e n >n22 4　　　 (n=1,2 ,…… )故 e-n <2 4n2 　　　 (=1,2 ,…… )从而据正项级数比较判别法知 ,Σ∞n=1 e-n收敛例 2　判别级数 Σ∞n=1 (n1n2 + 1 -1)的敛散性。解 :因为an =n 1n2 + 1 -1=elnnn2 + 1 -1由于　　　　 limn→∞anlnnn2 + 1=limn→∞el…     

关于Lucas序列的乘积和与积的和

设Un,Vn是Lucas数,Pn=c nd是等差序列,该文用发生函数的方法研究了两个序列积的和:n∑k=0UkPk及n∑k=0(-1)kUkPk与序列的乘积和: ∑m 1=nUmP1变换问题,给出了一些结果.