将军饮马问题与中考题

传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者,名叫海伦.一天,一位罗马将军专程去拜访海伦,向他请教一个百思不得其解的问题:将军每天骑马从城堡A出发,到城堡B,途中马要到小溪边饮水一次.问怎样走路程最短? 这就是广为流传的将军饮马问题.海伦略作思考,利用作对称点的方法解决了这个问题. 我们把将军饮马问题抽象成一个几何模型: 条件:如图1,A,B是直线同旁的两个定点. 问题:在直线l上确定一点P,使PA+ PB的值最小.     

将军饮马问题的变式探究

<正>传说古希腊有一位精通数学和物理的学者,名叫海伦.一天,一位罗马将军专程去拜访他,向他请教一个百思不得其解的问题:将军每天骑马从城堡A出发,先到河边饮马,然后再去河岸同侧的城堡B开会,应该怎样走才能使路程最短?据说海伦略加思索就解决了它,从此以后这个被称为将军饮马的问题被广为流传.这实际上是在直线上找一点到两个定点的距离之和的最小值问题.本文以此为基础进行延伸,整理了与此类似的平面内到两个点的距离之和的最值问题,即|PA|+|PB|的最值问题及其求解思路.下面,就三类模型作业具体分析.     

将军饮马的求解与最短路问题

相传古希腊有一位久负盛名的学者叫海伦,一天,一位罗马将军专程去拜访他,向他请教一个百思不得其解的问题：如图1,将军从A地出发到河（记为直线l）边饮马,然后再到与A地位于河同侧的军营驻地B,显然有许多走法.问走什么样的路线最短呢？海伦稍加思索,便作了完善的回答.这个问题后来被人们称作＂将军饮马＂问题.     

饮马问题的拓展与应用

1.走进数学故事 唐朝诗人李欣的诗《古从军行》开头2句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河。”诗中隐含着一个有趣的数学问题。如图1所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的点A出发，走到河边饮马后再到点B宿营请问怎样走才能使总路程最短？这个问题早在古罗马时代就有了，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦。一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题：将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的B地开会，应该怎样走才能使路程最短？从此，这个被称为“将军饮马”的问题广泛流传开来^[1]。对称性在初等数学到高等数学中都有着广泛的应用，利用对称性求最值的问题伴随着学生从小学到大学的数学学习过程。在恰当的时机引领学生对对称性问题进行合理地探索，显得迫切而必要。     

"将军饮马"妙用两例

相传,古希腊亚历山大里亚城有一位精通数学和物理的学者,名叫海伦.有一天一位将军专程拜访海伦,求教一个百思不得其解的问题:如图1所示,从A地出发到笔直的河岸去饮马,然后再去B地,走哪一条路线最短呢?这个问题后来就被称为平面几何中的"将军饮马"问题.     

利用轴对称确定最短路线

数学源于生活，并应用于生活．相传，海伦是古希腊亚历山大里亚城精通数学、物理的学者．一天，一位将军向他请教一个问题：从图1中的A点出发，到笔直的河岸l去饮马，然后再去B地，走什么样的路线最短呢？海伦稍加思索，便回答了这个问题，这个问题后来被称为“将军饮马”问题，海伦是如何解决将军的问题的呢？     

“将军饮马”与路程最短

“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”是唐朝诗人李颀《古从军行》的开头两句、将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，驰向交河旁边的M点饮马，饮马后再到B点宿营(图1)．亲爱的同学，你能根据所学的数学知识帮助将军在交河边上找一点C，使将军所走的路程最短吗?     

由“将军饮马”再探路径问题

<正>路径最短问题是初中数学教学中的重要题型,又是与生活实际有密切联系的应用问题.引导学生运用所学知识解决路径最短问题,体现了学生的学习与社会生活的密切联系,强调了数学来源于生活,服务于生活的新课程理念.本文通过再次研究"将军饮马"问题,把两条路径之和最短问题拓展到三条路径之和最短问题,以此激发学生学习数学的兴趣,培养学生探究科学的热情.一、情境导入问题1(将军饮马)牧马人从A地出发,     

“将军饮马”妙用两例

相传 ,古希腊亚历山大里亚城有一位精通数学和物理的学者 ,名叫海伦 .有一天一位将军专程拜访海伦 ,求教一个百思不得其解的问题 :如图 1所示 ,从A地出发到笔直的河岸去饮马 ,然后再去B地 ,走哪一条路线最短呢 ?这个问题后来就被称为平面几何中的“将军饮马”问题 .图 1当时海伦稍加思索便圆满地解答了这个问题 :图 2如图 2所示 ,设A点关于河岸的对称点为A′ ,连接A′B与河岸交于M点 ,则从A点到M点去饮马 ,再从M点到B点去 ,走的路线最短 .这是因为对于河岸上任何异于M点的M点都有AN NB =A′N NB >A′B =A′M MB =AM MB .据…     

“将军饮马”问题的求解策略

<正>“将军饮马”是初中数学中最为常见的最值问题求解模型,掌握“将军饮马”模型,并对该模型的具体应用做分析,有利于提高同学们的思考问题方式和解决问题的能力.一、“将军饮马”问题阐述在人教版数学八年级上册(P85页),13.4课题学习介绍了最短路径问题,这就是我们俗称的“将军饮马”问题,就这个问题的基本描述来看,牧马人在A点,最后回到B点,牧马人要去河边饮马,如何选择C点使CA+CB的值最小?     

“将军饮马”问题的应用及拓展

<正>我们知道,典型的"将军饮马"问题属"一动两定"型问题,其本质是将同侧两折线段之和通过轴对称化为异侧两折线段之和.而其拓展、延伸与变式问题,往往需要通过辅助线转化为"将军饮马"问题,最后,利用"两点之间线段最短"或"点到直线垂线段最短"基本原理解决.本文主要探究"一定两动"型和"两定两动"型最值问题的解题策略,供参考.     

最短路线模型在平行四边形中的应用

<正>近年各地中考试卷中常常出现求最短路线类型的问题.这类问题绝大部分可以运用"两点之间线段最短"这一公理加以解决.现就最短路线模型在平行四边形方面的应用,做些初步的探索,供大家参考.一、最短路线问题应用模型的建立问题如图1,将军每天从山峰A出发,先到河边处饮马,然后再去河岸同侧营地B地开会,应该怎样走才能使路程最短?     

由"将军饮马"引申的竞赛题简析

相传,古希腊亚历山大里亚城有一位久负盛名的学者,名叫海伦。有一天,一位将军专程拜访海伦,求教一个百思不得其解的问题:从图1中的A地出发,到笔直的河岸边去饮马,然后再去B地,走什么样的路线最短呢?     

“将军饮马”模型的应用

"将军饮马"模型其实是根据两点之间线段最短的原理求最短距离的一个方法模型,若已知两点在同一直线的一边,要在此直线上求一点,使得此点到已知两点的距离之和最小,作法是求已知两点中其中一点关于该直线的对称点,对称点与另外一点的连线与已知直线的交点即为所求的点,且最小距离之和为对称点与另一点的连线的线段长.     

怎样的路径最短

课堂上,老师问:小猫看见鱼,小狗看见骨头,会怎样向着食物运动?学生:沿直线运动.师:其中蕴含什么道理吗?生:两点之间,线段最短.师:寻求优化是人类的一种本能,整个大自然都充斥这一现象.现在让我们一起来探讨路径最短的问题.问题1:如图1-1,已知A、B在直线l的两侧,在直线l上求一点P,使PA PB最小.生(纷纷举手):根据“两点之间,线段最短”,连接AB,AB与直线l的交点P就是所求的点.(如图1-2)师:这个问题较容易,它是解决路径最短问题的基础.下面我们来看平面几何中的“将军饮马问题”.问题2:相传,古希腊亚历山大里亚城有一位精通数学和物理的学…     

"一类图形的最值问题"教学实录与反思

最值问题是近几年中考命题中的热点问题,也是压轴题常见的问题.本文从"将军饮马"问题出发,结合"垂线段最短""两点之间,线段最短",根据图形自身性质解决"最值问题".     

利用几何画板探究距离最短问题

<正>随着时代的发展,计算机已经进入日常生活和教学实践中.如何更好地使用计算机,实现信息技术与教学课程的整合,成为我们教师需要思考的问题.下面谈谈笔者在教学"探究距离最短问题"中的一点尝试.一、设计意图利用轴对称的性质,可以解决生活中很多"距离最短"问题,比如我们熟悉的"将军饮马"问题,"造桥"问题,Fagnano问题等.我们平时讲解时需要很多复杂的画图、解释,操作起来耗时耗力,结果学生听得一知半解,每次     

求解线段最值问题的常用方法

<正>求线段的最值问题经常出现在各地中考试卷中.解决这类问题的关键是要结合题意,借助相关的概念、图形的性质,将最值问题转化为相应的数学模型.如,函数增减性、线段公理、垂线段定理、三角形三边关系等进行分析与突破.现对这类问题作一个归类整理.一、利用"将军饮马"数学模型,求线段和的最小值或差的最大值"将军饮马"模型为:在一条定直线上求一点,使得该点到这条直线同侧的两个定点的距离之和最小.其实质是根据"两点之间线     

求解一道“将军饮马”模型问题的三种方法

“将军饮马”是初中数学问题中的一个经典模型,其思想和解决方法也蕴含在诸多的题目中.在两点之间线段最短的定理基础上,如何去求解不是直线的两条线段长度之和的最小值,是此类问题的研究重点.本文探讨一道“将军饮马”模型的典型例题的三种方法,以供参考.     

求解最值问题的常用知识点

一、两点之间线段最短例1在旷野上，一个人骑着马从A到B，在路上他必须在河边饮马一次，画图说明他应该怎样选择饮马点C才能使所走的路段AC＋CB最短呢（假定河岸是直线），为什么？