谈一题多解

<正>在多年的数学教学实践中,为了激发学生的积极性,引导学生探讨一些习题的不同解法,这对培养学生的能力,开发学生的智力都起着十分重要的作用.例如 对弧长的曲线积分:(?)l (x~2+y~2)~(1/2)ds其中l为园周x~2+y~2=ax解法如下:法一 令 x=rcosθ y=rsinθ则园周x~2+y~2=ax可变为r=acosθ且-(π/2)≤θ≤(π/2),如图一∵ds=(r~2+r~(12)~(1/2)dθ=adθ 且(x~2+y~2)~(1/2)=r=acosθ∴(?)l(x~2+y~2)~(1/2)ds法二取θ为参数,如图二∵OA=acosθ　-π/2≤θ≤π/2     

1999年高考理(20)题的几何背景与别解

设复数z=acosθ i·bsinθ(a>b>0,0<θ<π/2),则θ为复数z在复平面上对应点z的轨迹x=acosθ,y=bsinθ(θ为参数)——椭圆(在第一象限部分)的离心角,如图1,y=θ-arg     

1999年高考理科第(20)题的几何背景

1999年全国高考数学(理科)第(20)题:设复数 z=3cosθ i·2sinθ.求函数 y=θ-argz(0<θ<π/2)的最大值以及对应的θ值.本文将揭示其几何背景,并给出新解法.将问题一般化:设复数 z=acosθ i·bsinθ,a>b>0,θ∈(0,π/2).求函数 y=θ-argz 的最大值及对应θ的值.设复数 z 在复平面上对应点 M(x,y),     

椭圆参数方程的重要应用

椭圆x^2/a^2 y^2/b^2=1(a＞b＞0){x=acosθ，y=bsinθ(其中θ是参数，θ∈[0，2π）），故椭圆上的任一点都可以写成P（acosθ，bsinθ），θ∈[0，2π]的形式，下面就其在解题中的主要应用作些归纳，供参考。     

与椭圆离心角相关的两个有趣性质

我们把椭圆x2/a2+y2/b2=1的参数方程｛x=acosθ y=bsinθ意一点P(acosθ,bsinθ)的离心角.本文介绍与椭圆的离心角相关的两个有趣性质供读者参考. 性质1 椭圆(或圆)x2/a2+y2/b2=1(a＞0,b＞0)的两条相交弦AB,CD的四个端点共圆的充要条件是这四个端点的离心角之和为周角的整数倍.     

旋转式椭圆规及其数学原理

一、旋转式椭圆规的数学原理我们从椭圆轨迹上的点P(x,y)到椭圆中心的距离谈起: 设椭圆轨迹上一动点P(x,y)的轨迹方程为 x=acosθ, y=bsinθ,则动点P(x,y)到椭圆中心O(0,0)的距离d满足 d~2=(acosθ)~2 (bsinθ)~2.因a~2cos~2θ b~2sin~2θ=(a~2-b~2)cos~2θ b~2     

有趣的点的轨迹--椭圆

椭圆是一个完美的几何图形 ,笔者在最近的教学研究中 ,得到了三个与之有关的有趣的轨迹 ,现整理如下 ,供同行人士参考 .　　　　　图 1定理 1　 (焦点三角形重心轨迹 )设A是椭圆b2 x2 +a2 y2 =a2 b2 　 (a>b >0 )上一点 ,F1(-c ,0 )、F2 (c ,0 )分别是左、右焦点 ,则△AF1F2 的重心轨迹是椭圆 x2(a/ 3) 2 + y2(b/ 3) 2=1,其离心率与原椭圆离心率相等 .证明　设点G(x ,y)是△AF1F2 重心 ,如图 1.因为点A在椭圆上 ,则A(acosθ ,bsinθ) .由三角形重心坐标公式x=-c+c+acosθ3=acosθ3,y =0 + 0 +bsinθ3=bsinθ3,消去θ整理得　 x2(a/ 3) …     

二面角两个计算公式的应用

借助空间向量,很容易推导出二面角有以下两个计算公式.(1)如图1,AB、AC、AD是空间自A引出的三条射线,所成角分别为θ1,θ2和θ,可求得二面角B-AC-D的大小(用θ1,θ2和θ的三角函数表示)解:作BC⊥AC于C,DE⊥AC于E,图1则BC和DE夹角度数即为二面角B-AC-D度数.设AB=a,AD=b.BC=BA AC,DE=DA AE,∴BC·DE=(BA AC)·(DA AE).asinθ1bsinθ2cos(BC·DE)=abcosθ abcosθ2cos(π-θ1) acosθ1bcos(π-θ2) acosθ1bcosθ2=abcosθ-abcosθ2cosθ1-acosθ1bcosθ2 acosθ1bcosθ2∴cos(BC,DE)=cosθsi-ncθo1ssiθn1θc2osθ…     

椭圆的椭心角和共轭直径的性质

1 椭心角的概念 如图1,设A（acosθ1,bsinθ）,B（acosθ2,bsinθ2）（0≤θ1,θ2≤2π）为椭圆x^2/a^2＋y^2/b^2=1（a〉b〉0）上不同的两点,角α称为椭圆上的弧AB所对椭心角．若θ2-θ1〉0,则α=θ2-θ1;若θ2-θ1〈0,则α=2π-（θ2-θ1）．     

双纽线的尺规作图

画双组线ρ~2=2α~2cos2θ的图形,一般用列表描点法,这里介绍用直尺和圆规作图。分析:ρ~2=2α~cos2θρ~2=2α~2(cos~2θ-sin~2θ)ρ~2=(2~(1/2)acosθ)~2-(2~(1/2)αsinθ)~2ρ~2+(2~(1/2)αsinθ)~2=(2~(1/2)acosθ)~2因此,需要构造以长2~(1/2)acoθ~(1/2)(-1/2π<θ<1/2π)为斜边,长ρ和2~(1/2)asinθ~(1/2)为直角边的直角三角形。作法:如图,在极轴上取点A,使OA=2~(1/2)a(a>o),以OA为直径画圆O′,     

圆锥曲线参数方程在解题中的应用

在平面解析几何中,有关圆锥曲线方程的一些应用题,解法是比较复杂的,为了避开繁琐的运算,可应用参数方程解题,把代数运算转化为三角运算。例1.设TT′是椭圆的任一切线介于长轴两端切线AT、A′T′间的线段,则以TT′为直径的圆必过焦点F、F′。证:设椭圆在直角坐标系中的参数方程为x=acosθ y=bsinθ,过椭圆上任一点(acosθ,bsinθ)的切线方程为xcosθ/a+ysinθ/b=1; 因为长轴两端的切线方程为x~2-a~2=0     

用极坐标证一定理及其推广

本文用极坐标法对一几何定理及其推广进行证明。引理已知A、B为圆ρ=2acosθ上二点,它们的极角分别为θ_1和θ_2。从极点O作OH⊥AB,H为垂足。求证:ρ_H=2acosθ_1cosθ_2。证明如图1,∵∠ACO=∠ABO,△OAC和△OHB都是Rt△,∴∠BOH=∠COA=θ_1,∴ρ_H=|OH|=ρ_Bcosθ_1=2acosθ_2cosθ_1。     

简解好,“繁”解也妙……(高二、高三)

题设E:x2/a2 y2/b2=1(a>b>0),A(a,0),B(0,6).又P(x0,y0)∈E(x0>0,y0>0),求四边形OAPB的面积S的最大值.解法1 设P(acosθ,bsinθ)∈E,则     

角速度的矢量合成法则和傅科摆振动面的旋转模型

用矢量表示旋转的矢量合成法则。只允许在无限小的极限内旋转。由此由微小时间dt内的微小旋转角dθ定义的角速度ω=dθ/dt,它是矢量。在这里角速度ω的合成法则是从小球旋转在斜面上的运动实验导出的。另外考虑用傅科摆振动面的旋转来简单说明模型,下面     

怎样运用三角代换解题

1.若遇a≤x~2 y~2≤b(a,b∈R~ ),可作代换x=t·cosφ,y=tsinφ,其中a~(1/2)≤t≤b~(1/2) 例1 已知1≤x~2 y~2≤2,求w=x~2 xy y~2的最值. 解:∵1≤x~2 y~2≤2,∴设x=tcosθ,y=tsinθ,其中1≤t≤2~(1/2),∴w=t~2cos~2θ t~2cosθsinθ t~2sin~2θ=t~2·(1 (1/2)sin2θ),而(1/2)≤1 sin2θ≤(3/2),∴(1/2)≤w≤3. 2.若遇b~2x~2 a~2y~2=a~2b~2(a,b∈R~ ),可作代换x=acosθ,y=bsinθ(此处要注意解析几何中椭圆、双曲线的参数方程的应用) 例2 已知x、y满足x~2 4y~2=4,求w=x~2 2xy 4y~2 x 2y的最值.     

关于一道例题的错解

本刊接到89—10期中《迁移与转换》一文作者和江苏省建湖县钟庄中学卜以军同志来信,都对该文例4的解法提出了修正. 其主要错误在于: ∵K_(OA)·K_(OB)=bsinθ/acosθ·bsin(π/2 θ)/acos(π/2 θ)=-(b/a)≠-1.一般地,弦AC、BD并不满足互相垂直的条件,因而点B的坐标设法上是错误的,产生错误的原因是混淆了椭圆的参数方程中的几何意义与     

运用参数法求最大(小)值

在数学教学中,如能应用参数解极值问题,有时是比较方便的。下面我们举几个例子。 例1 求椭圆内接矩形面积的最大值。 解 设椭圆参数方程为:x=acosθ或y=asinθ θ为参数。由对称性,它的内接矩形面积为:S=4|acosθ·bsinθ|=2ab 。|sin2θ|≤2ab, ∴椭圆内接矩形面积的最大值为2ab。     

利用直线与圆求解一类三角题

形如 acosθ bsinθ=c 的关系式常常出现在某些三角问题中.若设 cosθ=x,sinθ=y 则此式可写成 ax by=c 同时有 x~2 y~2=1,因而可将问题与解析几何中直线与圆相联系来求解.本文打算通过数例来说明这一应用,以期抛砖引玉.     

椭圆、双曲线切线的一个有趣性质

本文介绍椭圆和双曲线切线的一个有趣性质 ,并说明其应用 .定理　经过椭圆 b2 x2 a2 y2 =a2 b2 (a>b>0 )或双曲线 b2 x2 - a2 y2 =a2 b2 (a>0 ,b>0 )的长轴或实轴两端点 A1 和 A2 的切线 ,与椭圆或双曲线上任一点的切线相交于 P1 和P2 ,则 |P1 A1 |· |P2 A2 |=b2 .证明　椭圆上任一点 P(acosθ,bsinθ)处的切线方程为 b2 ·acosθ· x a2 · bsinθ·y=a2 b2 即bcosθ·x asinθ·y- ab=0 .1又知点 A1 (- a,0 )和 A2 (a,0 )处的切线方程分别为 x=- a和 x=a,将它们分别与1联立解得 |P1 A1 |=|y P1|=b|1 cosθsinθ |,|P2 A2 |=|y P…     

证明不等式︱acosθ+bsinθ︱≤(（a2+b2）1/2)（a,b,θ∈R,ab≠0）的六种模型

本文从不等式acosθ+bsinθ≤a2+b2(1/2)(a,b,θ∈R,ab≠0)(或其等价形式)的结构出发,联想代数或几何模型,得到了该不等式的六种证法.