方程组的特殊解法

初三《代数》课本中详细介绍了两种特殊类型的二元二次方程组的解法 .第一种类型的解法是通过代入消元 ,转化为一元二次方程来求解 ;第二种类型的解法是通过将其中一个方程的左边分解因式 ,转化为两个二元一次方程 ,最后再转化为第一种类型的二元二次方程组来求解 .因此我们可以说 ,解方程组的指导思想是转化思想 .下面我们介绍特殊方程组的几种特殊解法 .在此 ,关键是善于观察和分析方程组的特点 ,并据此选用适当的解法 .一、整体代入例 1　解方程组 ｘ +ｙ =5 ,2ｘ2 + 2ｘｙ +ｙ2 =34 .分析　若采用常规代入法 ,变形过程比较繁 .不难看出 …     

一种特殊方程组的简捷解法

对于方程组: 厂2x一万一1~。 飞2;一二一1一D,、 我们通常用消元法求解,即从第一个方程中得到,一2x一1,代入第二个方程中解得,x一1,夕一1。下面介绍另一种简捷的解法. 先观察一下这个方程组,可以容易看出,将其中一个方程中的x与夕互换就得到了另一个方程,这也就是说,这两个方程中x与y所表示出来的函数关系是互为反函数.我们知道,互为反函数的两个函数的图象是关于直线夕一x对称的,它们的交点必在直线夕一x上,而二元方程组的解就是这两个方程所对应的两条曲线交点的坐标,因此,有如下性质:方程组{“一({· 忆x=T又g)和!“一‘(‘’或}’‘一…     

二元(或三元)一次方程组的解法

解二元 (或三元 )一次方程组除教材中介绍的代入消元法和加减消元法两种基本解法外 ,为了开阔同学们的视野 ,提高解题能力 ,本文补充几种解法 ,供参考。一、整体代入法———当方程组中某个未知数的系数成整数倍时 .例 1　解方程组 2ｘ +5 ｙ =- 2 1　①ｘ +3ｙ =8　　　②解 :由①得 2 (ｘ +3ｙ) -ｙ =- 2 1　③ ,把②代入③得 16 - ｙ =2 1,ｙ =37,把 ｙ =37代入②解得ｘ =- 10 3,∴ ｘ =- 10 3ｙ =37二、消常数项法———当方程组中的常数项成整数倍时 .例 2　解方程组4ｘ +3ｙ =10　　①9ｘ - 7ｙ =- 5　　②解 :① +②× 2得2 2ｘ - 11…     

从几个错例谈一类方程的解法

文〔1〕中出现了解如下几个方程(组)的例题: 例1解方程组 那么如何解决上述问题呢?上面我们给出一种简捷方法。 例i解法:①一②得:(‘一百)(3x 3对-夕鱿一鱿一3x 4万=6雪以扩一x‘一3对 4x=6卿了。一。.故碟x=z一夕2一3x一4万=6夕例2解方程组{2x2一,,一3x 4万‘63x 3即一7=0犯‘户,:十勺一全L石x十万’十x沙二公由第一个方程组毗:班;,像北. 一7一67一6 一一一一例3解方程例4解方程1 lx2一67一iZxZ3一xZ劣2十1-一了{篆气.了粼. )二3由第二个方程组得弓 (“,5侧了 65侧了7一67一6 一一一一 d通 V西打2.己11…、 文〔1〕中给出的解法中,四个…     

简单函数方程的又一些初等解法

贵刊1991年第9期《简单函数方程的一些常用解法》一文,介绍了七种初等解法(定义法、换元法、待定系数法、参数法、反函数法、递推法),本文再介绍几种初等解法。 1.解方程组法 将未知函数看成未知数,将常数及自变量看成已知数,重复已知条件得到方程组,联立消去非f(x)的变量而得解。 例1 设F(x)是对除x=0及x=1以外的一切实数有定义的实值函数,且F(x) F((x-1)/x)=1 x,求F(x).     

条件方程组的图形构造性解法

例 1　解方程组ａｘ2 +ｂｘ +ｃ=ｙ,ａｙ2 +ｂｙ +ｃ=ｚ,ａｚ2 +ｂｚ+ｃ =ｘ .其中ａ≠ 0 ,且 (ｂ -1 ) 2 =4ａｃ.( 1 979,湖北省中学数学竞赛 )我们称类似例 1的这类方程组为“条件方程组” ,其特征是组中方程带有满足某种关系式的参数 .这是高中数学竞赛中偶有出现的较难求解的一类特殊方程组 .本文仅举出一些适合利用一种称为“图形构造性解法”的巧妙方法而推导出解法的条件方程组 ,使读者体会到这种方程组在命题、解题、讨论和推广之中存在着的较深层次的数学美感 ,以及构造性思维的活力 .对于例 1 ,我们给出如下解答 .我们发现抛物线…     

多角度思考 全方位解题

题目 已知方程组{a-2b=3c=4,5a＋6b＋7c=8,则9a-2b—5c=___． 分析：这个方程组有三个未知数，两个方程。为不定方程组．一般情况下。不易求出每一个未知数具体的解，但本题从1不同角度来分析．有以下几种解法．     

创新使教学充满生机——浅谈一道例题的教学

<正>原题过抛物线y2=2px的焦点的一条直线和此抛物线相交,两个交点的纵坐标分别为y1和y2,求证:y1·y2=-p2.本题常规解法是应用过焦点的直线方程和抛物线方程组成方程组,消去一个未知数后,再由一元二次方程根与系数的关系而得证.     

例说初中数学解题方法——构造法

九年义务教材初中代数三册第63页有这样一道例题：解方程组{x y=7,xy=12教材介绍了两种解法,第二种方法是：“对于这个方程组,也可以根据一元二次方程的根与系数的关系,把x、y看作一元二次方程的两个根,通过解这个一元二次方程来求x、y”。     

谈《一种特殊方程组的简捷解法》

本刊1981年第六期《一种特殊方程组的简捷解法》刊登后,部分读者来稿指出文章中存在的一些问题.现综述如下:原作者主要根据“互为反函数的两个函数的图象是关于直线 y=x 对称的.它们的交点必在直线 y=x 上.”这里所指的函数当然是指单值函数而言,但将一个二元方程看成—个函数,就不一定是单值了,因此其反函数与原函数在平面上交点一般就不限于在 y=x 上.这样原作者介绍的方法一般要漏解,如方程组     

巧用代数代换解方程组

本刊文[1]对方程组x y z=3 (1)x~2 y~2 z~2=3 (2)x~5 y~5 z~5=3 (3)(1973年美国奥林匹克竞赛题)给出一种简便解法.今再用代数代换给出其它简便解法.解法1 因为对三元方程 x y z=3右端等于     

2004年全国新课程卷理科21题别解

题目　设双曲线C :x2a2 - y2 =1 (a >0 )与直线l:x y =1相交于两个不同的点A、B .(Ⅰ )求双曲线C的离心率e的取值范围(Ⅱ )设直线l与y轴的交点为P ,且 PA=51 2 PB ,求a的值 .图 1根据课本 p132 1 3题的解法可知 ,该题第 (Ⅰ)问可用反证法求解 .下面给出另一解法 :(Ⅰ )由C和L相交于两个不同的点A、B ,故知方程组x2a2 - y2 =1 ,x y=1 .有两个不同的实数解 ,消去 y并整理得( 1 -a2 )x2 2a2 x- 2a2 =0 .由Δ =4a4 8a2 ( 1 -a2 ) =0得a =2 ,a=0 .　　根据图 1知 :方程无解 ,则a>2或a<0 ,且a=1 ,a=2时仅有一解 .所以方程组有两个不同…     

《二元一次方程与一次函数》测试题

2007·11(时间:90分钟;满分:100分)一、填空题(每题4分,共24分)1.图1中的两直线l1、l2的交点坐标,可以看做方程组的解.2.方程组2x-x-y=y=-1,"1的图象解法是:在同一直角坐标系中,分别作出一次函数y=和y=的图象,观察图象,得两条直线的交点为.3.一次函数y=-2x 8的图象在第一象限中     

方程组的概念和解法

一、知识要点1．方程组的概念：方程组、方程组的解、解方程组、二元一次方程组、二元二次方程组．2．方程组的解法：（1）二元一次方程组的解法：加减消元法和代人悄无法．三元一次方程组的解法与二元一次方程组的解法相类似．（2）二元二次方程组的解法形式的：可消去二次项的；可消去一个未知数的；有一个方程可分解团式的；可消去常数项的；可求出两个未知数的和与积的．＝、解题指导。（乌鲁木齐，1990年）分析本例是考查用换元法解无理方程和二元一次方程组的解法．设，则（1）变形为．解之得（舍去）．所以．故x＋y=16．从而得，苏州…     

特殊方程组的特殊解法

有些二元一次方程组有特殊的结构,若选择适当的方法,可以使这些方程组的求解变得简单易行.一、可整体换元的方程组的解法例1解方程组3(x+y)-4(x-y)=1,x+y2+x-6y=1.分析从形式上看,这个方程组比较复杂,应先将每一个方程都进行化简,化成二元一次方程组的一般形式,然后再选择代入法或加减法来求解.但是,通过观察可以发现,方程组中两个未知数出现的形式只有(x+y)     

找特点,巧消元

二元一次方程组的解法很多,但基本思路是一样的,都是通过消元,将二元一次方程组转化为一元一次方程.一个方程组用什么方法来消元,应根据它的特点灵活选择.所以,在解二元一次方程组时,要认真观察它的特点,找到最简便的消元方法,使解题过程变得简捷. 一、有一个未知数的系数差为1 解法:将两方程相减后再用代入消元法求解. 例1 解方程组2m+9n=4.8,①3m-5n=-15. 解:②-①,得m=14n-19.8. ③把③代入①,得n=1.2. 把n=1.2代入③,得m=-3. ∴n=1.2,m=-3 .二、两个未知数的…     

二元方程组的归类转化

关于二元二次方程组,初三代数教材只介绍了两种基本类型。 第一类型是由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组,不妨表示为:(Ⅰ)121=0,122=0,其一般解法是代入法。 第二类型是由一个二元二次方程和一个可以分解为两个二元一次方程的二元二次方程组成的方程组,不妨表示为:(Ⅱ)122=0,122=0,通过     

一题多解话消元

鬻解方程组I【53((yx一-11)):=y3+(卅5,5). ——初中《代数》第一册(下)第24页第3(2)题解法1:(代人消元法)原方程组可化为I【33菇x一-y5y=:8一,2。. 詈 【j菇一,v=一ZU.≮纠由①得y=3x一8, ③③4-t~..k②,得3x一5(3x-8)=-20,.-.x=5,代入③,得y=7. fx=5,一1y=7.解法2:(加减消元法)原方程组可化为/【33。x一-y5),=:8二2。. 害 【j菇一,v=一ZU. LZj①一②,得4y=28,y=7.将3,-=7代入①,得3x一7=8,x=5. fx=5,一 Iv:7.解法3:(整体消元法)原方程组可化为{;:i:;三:乏:二;嚣;8. 詈将①代入②,得5(),一1)=(),一1)+6+18,.‘. ),一1=6,y=7.将Y一1=6代…     

方程组的解法及其应用

在一些数学竞赛试题中,方程组以其解法独特,构思巧妙的形式出现。本文就近年来国内外的一些数学竞赛题,谈一谈方程组的解法及其应用。一、方程组的几种特殊解法 1.判别式法由方程组巧妙地构造一元二次方程,根据一元二次方程的判别式     

对一道例题解法的商榷——兼谈平面上两条直线位置关系的判定

我们认为,高级中学《解析几何》课本(甲)第47页例2的解法有不妥之处,为了便于说明问题,现将题目及解法抄录如下。例2 已知两条直线: l_1:x+my+6=0 l_2:(m-2)x+3y+2m=0当m为何值时,l_1与l_2(i)相交;(ii)平行;(iii)重合。解:将两直线的方程组成方程组 x+my+6=0 (m-2)x+3g+3m=0这时,A_1/A~2=1/(m-2),B_1/B_2=m/3,C_1/C_2=6/2m.当