辨清题目的细微差别

解题中需要类比,但若忽视类似题目的细微差别,却容易导致谬误,兹举例对比说明。例1 (1)α∈R,α、β是方程x~2+2x+α=0的二实根,求|α|+|β|的值。 (2)α∈R,α、β是方程x~2+2x+α=0的二根,求|α|+|β|的值。解:(1)α+β=-2。αβ=α,(|α|+|β|)~2=α~2+β~2+2|αβ|=(α+β)~2-2αβ+2|αβ|=4-2α+2|α|,Δ=4-4α≥0,     

例谈数学中考新题型——阅读题

要学好数学,必须学会阅读数学课本和其它数学书刊,增强自己的阅读能力,有了阅读能力,还能为终身学习以及适应全球知识爆炸、知识日新月异的社会打下坚实基础.对阅读能力的考查受到了广泛重视,许多地方的中考试卷中特地设置了阅读题.例1(沈阳市2004年)阅读下列解题过程:题目:已知方程x2+3x+1=0的两个根为α、β,求αβ姨+βα姨的值.解∵△=32-4×1×1=5>0,∴α≠β.(1)由一元二次方程的根与系数的关系,得α+β=-3,αβ=1.(2)∴αβ姨+βα姨=α姨β姨+β姨α姨=α+βαβ姨=-31=-3.(3)阅读后回答问题:上面的解题过程是否正确?若不正确,指出…     

解题之后多反思

解完一道数学题后,要想获得更多的启示,巩固和扩大演练成果,还应多进行反思.那么,解题后应反思些什么呢?一、反思联系解题后,回顾解题过程中所涉及到的基础知识以及它们之间的联系,有利于提高分析和归纳能力.例1设方程x2-姨10x 2=0的两根为α、β(α<β).求α2-αβ β2α-β的值.解:由题设知α β=姨10,αβ=2,则原式=(α β)2-3αβ姨(α β)2-4αβ=10-3×2姨10-4×2=4姨2=2姨2.解完后,认真反思一下,会发现在解题过程中用到了韦达定理、配方法、分母有理化等知识.灵活应用这些知识,是解答这类习题的关键.二、反思多解不少习题,可有多种解…     

中考数学试题解答中的常见错误分析

在中考复习中,注意某些公式、法则的适用范围以及它们的限制条件,是很有必要的.在本文中,我们一起探讨数学中考中容易失分的几个问题,希望能引起同学们的重视.一、忽视应用根的判别式例1已知关于x的一元二次方程x2+(2m-3)x+m2=0的两个实数根α、β满足α1+β1=1,求m的值.(2004年重庆市中考数学试题)错解:∵1α+β1=1,∴αα+ββ=1,即α+β=αβ.又∵α+β=-(2m-3),αβ=m2,∴3-2m=m2.解之,得m1=-3,m2=1.∴m的值是-3或1.分析:应用一元二次方程的根与系数的关系时,首先要判别方程有无实数根,只有符合Δ≥0的条件,方能确保公式的应用.∵α,β…     

关于复数的两个问题

一、准确掌握复数的运算性质如|Z|n=|Zn|(n∈N)【例1】关于x的方程x2 x m=0的两虚根α、β满足|α-β|=3求实数m的值错解:由根与系数关系可知α β=-1αβ=m∵|α-β|=3∴|α-β|2=32∴(α-β)2=9,(α β)2-4αβ=9;1-4m=9∴m=-2由题中αβ=m可得|α|2=m,又已知α是虚数,由此可     

初中生数学学习中的心理障碍及矫正

分析和研究初中学生的心理特点,矫正他们数学学习中的不良心理,对进一步加强基础知识教学、培养能力、发展智力、提高素质有重要意义。一、审题中的心理障碍由于初中生的年龄特征以及知识结构的限制,在初中阶段往往习惯于“静态”思维。如:若方程x2-2ax+a+6=0的两实数根为α和β,求(α-1)2(β-1)2的最小值。错解:由韦达定理,得α+β=aαβ=a+6(α-1)2+(β-1)2=α2+β2-(α+β)+2=(α+β)2-2αβ-2(α+β)+2=4α2-6a-10=4[a-34]2-494当a=34时(α-1)2(β-1)2的最小值是-494但当a=34时原方程无解。原因:审题时没有看清楚方程有实根的隐含条件是…     

热点五 阅读理解型问题

一、探究解题新思路题型一通过阅读理解,改正解题中的错误典例1阅读下列解题过程:题目:已知方程x2 3x 1=0的两个根为α、β,求αβ! αβ!的值.解:∵Δ=32-4×1×1=5>0,∴α≠β(1)由一元二次方程的根与系数的关系,得α β=-3,αβ=1(.2)∴αβ! αβ!=!α!β !!αβ=α β!αβ=-13=-3(.3)回答问题:上面的解题过程是否正确?若不正确,指出错在哪一步,并写出正确的解题过程.研析:此类考查代数中解题过程错误的阅读理解题,考查重点往往是一些容易被我们忽视的隐含条件.例如本题中αβ! !α!β(α≥0,β>0)的错误运用,应对这些隐含条件特别重视…     

例说韦达定理在解题中的应用

<正>韦达定理及其逆定理是反映一元二次方程根与系数关系的重要定理,它在求代数式的值,解方程(组)等方面都有着很广泛的应用.下面举例说明,供大家参考.一、求字母的值例1 已知关于x的一元二次方程x²-2(m-1)x+(m2-2(m-1)x+(m²-1)=0有两个不相等的实根α,β.若α2-1)=0有两个不相等的实根α,β.若α²+β2+β²=4,则m=___.解∵α,β是方程x2=4,则m=___.解∵α,β是方程x²-2(m-1)x+(m2-1)=0的两个不相等的实根,∴α+β=2(m-1),αβ=m2-2(m-1)x+(m2-1)=0的两个不相等的实根,∴α+β=2(m-1),αβ=m²-1,且Δ>0.     

解题之后需反思

美籍匈牙利数学家乔治·波利亚说过:“数学问题的解决仅仅只是一半,更重要的是解题之后的回顾.”因此,要有效地培养数学解题能力,解题后的反思是一个不可缺少的重要环节.进行解题后的反思,能帮助我们总结经验,发现规律,形成技能和技巧;还能触类旁通,有效地提高学习效率.一、思疏漏解题后首先要思考是否有疏漏或错误的地方,以免再起同类错误.例1关于x的方程8x2-(2m2+m-6)x+2m-1=0的两根互为相反数,求m的值.错解设方程的两根为x1,x2,则x1+x2=2m2+m-68=0.解得m1=-2,m2=32,∴m的值为-2或32.反思-2或32都是问题的解吗?上述解题过程正确吗?经检查,…     

数学阅读理解题分类解析

随着数学课程理念的变化,阅读理解题已成为近年来中考命题的热点.这类题目形式灵活多样,既考查同学们的阅读理解能力,又考查同学们获取信息后的抽象概括能力和决策判断能力,对提高同学们的逻辑思维能力,强化数学应用意识都有重要的意义.下面将这类题目进行分类解析,供同学们参考.一、判断纠错型例1阅读下列解题过程.题目:已知方程x2+3x+1=0的两个根为α、β,求αβ姨+βα姨的值.解:因为Δ=32-4×1×1=5>0,所以α≠β.①由一元二次方程根与系数的关系,可得α+β=-3,αβ=1,②所以αβ姨+βα姨=α姨β姨+β姨α姨=α+βαβ姨=-31=-3.③阅读…     

引入增元思想培养学生解题能力

他山之石 ,可以攻玉 .在教学中 ,如果注意应用增元思想 ,往往能起到化难为易 .出奇制胜的作用 ,有助于培养学生创新思维 ,提高学生解题能力 .1　巧配对　化难为易例 1　已知α、β是方程ｘ2 +ｘ- 1=0的两根 ,求 α2β 的值 .解　由韦达定理知α +β=- 1,αβ=- 1.设Ｍ =α2β,Ｎ =β2α(配对 ) ,则Ｍ+Ｎ =β2α +α2β =α3 +β3αβ(α +β) [(α+β) 2 - 3αβ]αβ =4 ,ＭＮ =α2β· β2α =αβ =- 1,所以Ｍ、Ｎ是一元二次方程ｘ2 - 4ｘ- 1=0的两根 .解方程得Ｍ =2± 5 ,∴ α2β =2 ± 5 .例 2　若α、β是方程 ｙ2 - 2ｙ- 1=0的两根 …     

恒等式α~2 β~2=(α β)~2-2αβ在解题中的应用

设α、β为一元二次方程ax~2 bx c=0(a≠0)的二根,利用韦达定理和恒等式α~2 β~2=(α β)~2-2αβ可求得α~2 β~2的值,进而解决一些问题。类似的恒等式还有(α-β)~2=(α β)~2-4αβ,α~3 β~3=(α β)[(α β)~2-3αβ]等。一、求代数式的值例1 a为实数,方程x~2 2x a=0的两根为α,β,求|α| |β|的值解:α β=-2,α·β=a,当△=4-4a≥0,即a≤1时,α,β为实数,     

巧求一元二次方程的公共根

在中考数学试卷中和中考数学复资料中,常常碰到一元二次方程公共的问题.在求这类问题时,一般的方是应用方程的根的定义,并借助方程的相关知识加以解决.现向同学们绍一种巧求的方法.例1 方程x2+mx+6=0与x2-(m+4)-12=0有一个公共根,求这个公共根m的值.解:设这个公共根为α,则α2+mα+6=0 (1)α2-(m+4)α-12=0 (2 ) (1) + (2) 得:2α2- 4α-6 = 0,即α2-2α-3=0,∴α1= -1,α2=3.当α=-1时,m = 7,当α= 3时,m =-5. ∴方程x2+mx+6=0与x2-(m+4)-12=0 . 当m = 7时,公共根是-1;当 =-5时,公共…     

物理解题中常用求极值的方法

在物理解题中,经常碰到要求最大值或最小值即求极值问题.以下就向大家介绍一下物理解题中常用求极值的方法. 一、用配方法求极值 如y=(x α)2可写成y=(x-α)2 4αx,当x=α时,y有最小值,ymin=4α2. 例1 某一回路中电源电动势为ε,电源内阻为r,问外电路总电阻R为何值时,电源有最大输出功率?其最大功率有多少?(外电路为纯电阻)     

探究题的解答方法与技巧

由给定的已知条件探究相应结论 ,或由给定的结论反溯具备的条件 ,或者有意改变已知条件或结论的某个部分考查整个命题会产生什么变化等等 ,这种题型通常叫做探究题。解答这类题常用代入法、消元法、特例法、反证法、数形结合法等。例 1.已知方程组 3x2 + 5 y2 =15y=mx 的一组解为x=α,y=β;方程组 3x2 + 5 y2 =153x- 5 my=0 的一组解为 x=γ,y=δ。当 m变化时 ,α2 + β2 + γ2 + δ2的值是多少 ?解 :由已知得 3α2 + 5β2 =15 ,β=mα,解得 α2 =15 / (3+ 5 m 2 ) ,β2 =15 m2 / (3+ 5 m2 ) ;再由 3γ2 + 5δ2 =15 ,3γ- 5 mδ=0 ,解得 γ2…     

一类三角函数最值问题与若干三角方程的解集

本文给出一类三角函数的最值问题及其解答,并利用其结论给出若干三角方程的解集. 问题1 已知x∈R,n ∈ N,且n≥1,求f(x)=sin2n+1x+cos2n+1x的最大值与最小值,并求当x取何值时f(x)分别取得最大、最小值. 解 设a=sinx,b=cosx,则可将问题转化为:已知a,b∈R,且a2+ b2=1,求P=a2n+1+ b2n+1(其中n∈N+)的最大、最小值.     

正、余弦函数有界性的解题功能

如果xR,那么｜sinx｜≤1,｜cosx｜≤1,这是三角函数中一个应用广泛的重要性质,恰当运用可以使解题过程简捷流畅;反之,忽视正、余弦函数的有界性这一隐含条件,则使同学们在解题过程中经常出现错误.下面结合实例介绍它的解题功能.一、求角度例1已知6sin3β-cos22α=6,求α,β.解原方程变形为6(sin3β-1)=cos22α,则有6×(sin3β-1)≥0,即sin3β≥1.∵｜sin3β｜≤1,∴sin3β=1,3β=2kπ+π2,即β=23kπ+π6(kZ).此时cos2α=0,2α=kπ+π2,即α=12kπ+π4(kZ).评注等式中含有两个未知数,如果不从正弦函数的有界性中挖掘出隐含条件寻找…     

关于三角函数求值基本方略

一、三角函数取值范围的方程求法我们知道在sin~2a+cos~2α=·1中,运用换元,令cosα=x,sinα=y,就是x~2+y2=1.这样就可把求t=F(cosα,sinα)的范围化为在方程组{x~2+y~2}=1F(x,y)=t},中求t的取值范围.例1已知sinαcosβ=1/2,求t=cosαsi的取值范围.解令cosα=x,sinα=y,cosβ=m,sinβ=n,得方程组(?)消去m,n,y(过程略)得4x~4-(4t~2+3)x~2+4t~2=0(0≤x~2≤1)⑤在⑤中解出t~2求值域或解出x~2求定义域或用二次方程实根的分布方法可得0≤t2≤1/4,所以一1/2≤t≤1/2.例2已知sinα+sinβ=1,求t=cosαt+cosβ的取值     

对一道课本习题的变式思考

原题(必修5P_(114))x>0,当x取什么值时,x+1/x的值最小?最小值是多少?解析x>0,1/x>0,所以x+1/x≥2(x·1/x)~(1/2)=2,当且仅当x=1/x,即x=1时,等号成立.所以当x=1时,x+ 1/x的值最小,最小值等于2.这是一个运用基本不等式求最值的问题,题虽     

对《巧求绝对值方程的根》一文的商榷

贵刊1991年第1期刊登的《巧求绝对值方程的根》一文,作者利用椭圆定义对绝对值方程|x-α|+|x-β|=2m给出了求根公式,其中,“①当|α-β|≤2m时,方程有两解x_1=(α+β)/2+m,x_2=(α+β)/2-m。”笔者认为是不妥的。事实上,当|α-β|=2m时,方程的解应为x_2≤x≤x_1。定理:当|α-β|=2m时,方程|x-α|+|x-β|=2m(m>0)的解为(α+β)/2-m≤x≤(α+β)/2+m。证明:|α-β|=2m的几何意义是数轴上点α到点