学习“乘方”的六点注意

乘方是《有理数》一章的一个重要概念,也是有理数运算的重要内容.正确理解乘方的意义.是熟练进行有理数运算的基础,在学习“乘方”时,请同学们注意以下六点:一、注意乘方的定义求n个相同因数的积的运算,叫做乘方即     

关于一个典型问题解法的两点意见

在不少中学数学复习资料中,都转载着如下一个有关一元二次方程讨论的一个典型题目及其解答: 如果拼是有理数.k是什么数时.方程妙一4二二+4二+3m‘Zm十4反~0有有理数根? 解:凉诗程变为,一4(m一l)x+s。:,一2。‘+4介套中△=26(m一正)2一4(302一2,n+4k)=4[mZ一6,+4(l一k)〕。由于m为有理数,欲方程的根为有理数,必须△是一个完全平方数或零,如果△是一个完全平方数,则二次三项式耐一6二十4(l一k)有两个相等的实数根,即附2一6m十吞(l一的=e的判别式‘0.这个方程的解为劣二4(m一l)士甲互. 2 、。,。二50=J七一16划一勺=U,咫季」廿“=一,了; 份,…     

审视一道题

我们来看一道题 :已知a、b、c为两两互不相等的有理数 .求证1(a -b) 2 + 1(b -c) 2 + 1(c -a) 2为有理数 .为了运算的简化 ,我们不妨设a >b>c,且设a=b +m ,c=b-n(m >0 ,n>0 ) ,则a-b=m ,b -c=n ,c-a =-m-n ,∴ 1(a-b) 2 + 1(b-c) 2 + 1(c-a) 2=1m2 + 1n2 + 1(m +n) 2=n2 (m+n) 2 +m2 (m+n) 2 +m2 n2m2 n2 (m+n) 2=(m +n) 2 (m2 +n2 ) +m2 n2[mn(m+n) ]2=(m+n) 2 [(m+n) 2 -2mn]+m2 n2mn(m +n)=(m+n) 4 -2mn(m+n) 2 +m2 n2mn(m+n)=(m +n) 2 -mnmn(m+n) .(因 (m+n) 2 -mn >0 ) ①因为a、b、c为两两互不相等的有理数 ,故(m +n) 2 -mnmn(m +n) …     

第40届IMO预选题解答(上)

数论部分 1.本届IMO第4题. 2.证明:每个正有理数都能被表示成(a~3 b~3)/(c~3 d~3)的形式,其中a、b、c、d是正整数。 证明:对于区间(1,2)内的有理数m/n,其中m、n是自然数,我们选择正整数a、b、d,使b≠d,且a~2-ab b~2=a~2-ad d~2,即b d=a,则     

实数系中连续性的七个等价命题

实数在数学中是一个重要概念。在中学数学教材中给它下的定义是:有理数和无理数统称实数。那么何谓无理数?这在中学数学教材中是用否定形式来定义的,即:不是有理数的实数称为无理数。这对我们认识无理数无多大的帮助。其实要真正回答什么是无理数并不是一个简单的问题。它的严密回答,直到十九世纪后半,才由戴德金、康托等人得到。他们都是以有理数为基础得到无理数理论的,从而完成了实数构造理论。值得一提的是戴德金实数构造和康托实数构造是不同的,这两种构造都以有理数为基础,但戴德金实数是从数域的连续性要求出发用有理数分割来建立实数,     

分数和百分数

1.什么叫分数什么叫分数?《算术理论》是这样定义的:“把整体‘1’平均分成几份,表这样的一份或几份的数,叫做分数。”如果把整体“1”平均分成 n 份,表示这样一份的数就是1/n,表示这样 m 份的数就是 m/n。     

师生共话无理数

学生:有理数和无理数有什么区别? 老师:主要区别有两点: 1.把有理数和无理数都写成小数形式时,有理数能写成有限小数或循环小数,比如4=4.0,4/5=0.8,1/10=0.1,1/3=0.333……,而无理数只能写成无限不循环小数。比如2~(1/2)=1.4142……,根据这一点,人们把无理数定义为无限不循环小数。     

有关无理数的问与答

学生:无理数与有理数有什么区别? 老师:主要区别有两点:(1)把无理数与有理数都写成小数形式时,无理数能写成无限不循环小数.比如2~(1/2)=1.41421356…,π=3.14159265…等,根据这一点,把无理数定义为“无限不循环小数”;而有理数只能写成有限小数或循环小数,比如1/2=0.5,1/3=0.3,5/11     

追本溯源 回归定义

著名数学教育家波利亚说过,"回到定义去"是一项重要的智力活动.数学概念常以定义的形式描述,它蕴涵着极其丰富的内涵.深刻理解定义,可抓住问题的实质,从而找到解决问题的有效途径.下面就定义在解题中的应用举例说明.一、解集合题例1对于任意两个正整数m,n,定义运算"*":当m,n都是正偶数或都是正奇数时,m*n=m+n;当m,n中有一个为正奇数,另一个为正偶数时,m*n=     

一题的妙解

题目:试确定使总为有理数的正有理数m. 解如果,这里Υ和m是有理数,那么, 因为2coss2Υπ=e~(2Υπi) e~(-2Υπi)既是个代数整数,又是个有理数,它必须是绝对值最大为2的整数.因此,4/(m 1)必须是在0     

巧用反证法解题例谈

反证法是一种间接的证明方法,它从求证结论的反面出发椎导出与已知相矛盾的结果。下面举例说明。 一、导出与求证相矛盾的结果 例1:已知2~(1/2)是无理数,试证3+2~(1/2)是无理数。 证明:假设3+2~(1/2)是有理数,那么3+2~(1/2)=n/m(n、m是互质的正整数)。     

关于∫sinmxcosnxdx的推广刍议

本文给出了∫sin^mxcos^nxdx当m、n推广为有理数时的计算方法，使该方法具有一般性．     

从cos π/3=1/2∈Q谈起

自然产生一个问题:存在不存在这样的三角函数和式.其结果是有理数,各项都分别n次方后仍是有理数? 有如下一组三角函数恒等式。     

有理数与既约分数m/n的形式

我们知道,整数和分数统称为有理数,任何一个分数都能化为整数、有限小数或无限循环小数.反之,任何一个有理数都可化为分数的形式.一、既约分数m/n化为整数、有限小数或无限循环小数形式     

用方程根的定义妙解数学题

活用一元二次方程根的定义解相关问题 ,具有事半功倍之效 ,举例如下。例 1　若m、n是关于x的方程x2 + (P - 2 )x + 1 =0的两根 ,则代数式 (m2 +mp + 1 ) (n2 +np + 1 )的值等于　　　 解 :因为m、n是已知方程的根 ,由根的定义可知 :m2 + (p - 2 )m + 1 =0　n2 + (p - 2 )n + 1 =0变形可得 :m2 +pm + 1 =2m　n2 +pn + 1 =2n又由韦达定理可知 :mn =1所以 (m2 +mp + 1 ) (n2 +np + 1 ) =2m× 2n =4mn =4 评析 :解法运用根的定义 ,使得变形过程简洁明快。若按常规解法将求值式展开后 ,运用韦达定理进行计算 ,则项数多 ,过程繁 ,容易出错。例 …     

巧妙换元

1.求证:是一个有理数.证明 设1997=n,则     

评议有理数绝对值的定义

近百年来,国内外中学数学课本对有理数绝对值的定义(以下简称“定义”)曾几经更迭,到现行统编数学课本,“定义”问题似乎已成定论。但在教学过程中,感到现在的“定义”仍不是完美无缺的。下面把各种版本的数学课本里的“定义”进行归纳评议。一、常见的几种“定义”常见的“定义”,大体有如下四种。1.去号法:“去掉有理数的符号而得到的数叫做有理数的绝对值。”持此说者有:     

百分数并非是分数的特殊形式

我在深入课堂听课中,发现一些数学教师在讲百分数与分数的关系时,把百分数说成是分数的特殊形式。殊不知,百分数并非是分数的特殊形式。由于度量的需要,分数最初定义为:把单位“1”平均分成若干份,表示其中一份或儿份的数叫做分数;又由于计算的需要,分数定义扩充为:形如 n/m(m∈N,且 m≠1,n∈N)的数叫做分数,其中 n 表示分子,m 表示分母,读作“m 分之 n。”百分数的定义是由于计算的     

有理数考点例析

有理数是中学数学最基础的知识之一,历年中考都占有一定的比例,归纳起来有以下几种类型.一、考查基本概念例1 若m,n互为相反数,则|m-1 n|=____. (2003年山东菏泽市中考试题)     

2003美国数学奥林匹克

第一天1.证明:对任何正整数n ,存在一个各位数码都是奇数且能被5 n 整除的n位数.2 .平面上的一个凸多边形P ,被它的所有对角线分割成小凸多边形.若多边形P的所有边和对角线的长度都是有理数,证明:分割而成的所有小多边形的边长也都是有理数.3.设n≠0 ,对任何整数数列A ={ai} ,0 ≤ai≤i,i=0 ,1,2 ,…,n ,定义另一个数列t(A) ={t(ai) } .这里t(ai)表示数列A中,在ai 之前且不同于ai 的项数.证明:从任何给定的数列A出发,经过少于n次t变换,就可得到一个数列B ,使得t(B) =B .第二天4 .一个圆通过△ABC的顶点A、B ,分别交线段AC、BC于点D…