一组优美三角不等式的引申与推广

文[1]由一个代数不等式引申出一组优美三角不等式,文[2]对几个有趣的三角不等式推广到圆的内接四边形之中,笔者研读后受到启发,也得到了一组优美的三角不等式．     

四边形内勃罗卡角的三个公式

若在四边形ABCD内,存在点P使得∠PAB=∠PBC=∠PCD=∠PDA=α,那么点P叫做四边形的勃罗卡点,而角α称为四边形的勃罗卡角.(见图1)关于四边形内勃罗卡点的存在性问题在文[1]中有详细的讨论.本文假设所讨论四边形的勃罗卡点总是存在的.文献[2]中利用杨学枝的一个性质.给出了凸四边形内勃罗卡角的一个计算公式,之后文献[3]中利用正弦与余弦定理给出了四边形内勃罗卡角的几个计算公式.本文给出勃罗卡角的三个重要公式,进一步丰富了四边形内关于勃罗卡角的性质.     

圆内接四边形的两个性质

文[1]给出了圆内接四边形的一个性质:ABCD为圆内接四边形,△ABC,△BCD,△CDA,△DAB的内心分别为E,F,G,H,则四边形EFGH是矩形.本文给出圆内接四边形的另外两个性质:性质1 如图1,ABCD为圆内接四边形,△ABC,△BCD,△CDA,△DAB的重心分别为S,P,Q,R,则有如下结论:(1)四边形PQRS∽四边形ABCD;(2)S四边形PQRS=1/9S四边形ABCD.     

完全四边形的性质应用举例

[1]给出了一般完全四边形的10条优美性质．其实，完全四边形还有一系列的优美性质．熟悉并应用这些性质，可以简捷地处理某些平面几何赛题．下面举例说明．     

“余弦定理在四边形的一个推广”的一个注释

文 [1 ]的定理给出了余弦定理在四边形的一个推广 ,但该定理的题设是凸四边形 ,实际上 ,该定理可以推广到任意四边形 .定理　记四边形 ABCD(可以是凸的、凹的 ,也可以退化成三角形——即有一个角是平角的情形 )的四边长 AB=a,BC=b,CD= c,DA=d,两对角线长 AC=p,BD=q,则cos( B+ D) =( ac) 2 + ( bd) 2 - ( pq) 22 abcd .( A,B,C,D分别表示四边形 ABCD的相应内角 )证明　文 [1 ]已证出凸四边形的情形 ,该证明完全适合退化成三角形的情形 ,下面再证凹四边形的情形 (只证图 1的情形 ) .图 1在图 1中 ,AC与 BD的延长线交于点 O,∠ A…     

圆锥曲线一个性质的充要性补充及再推广

文[1]给出圆锥曲线的如下性质： 定理1（文[1]的性质2）圆锥曲线中过同一焦点的两条弦,组成一个四边形的对角线,如果这个四边形的对边所在的直线相交,那么交点在与该焦点相应的准线上．     

四类平均数的又一解析几何解释

近期文[1]、[2]、[3]分别利用四边形和圆给出高二新教材中所述的四类平均数关系问题以6种之多的平几解释.但用解几解释的甚少,仅见文[3]提供了西方学者给出的一个方案[4],"但上述模型需涉及四条二次曲线的作图,这对于中学生而言并不简单明了,因而不适合于实际课堂教学"[3].     

封闭二次曲线内接多边形面积最值的推广

文[1]、文[2]分别讨论了封闭曲线（圆、椭圆）内接三角形和内接四边形面积的最大问题，笔者尝试利用琴生不等式和面积射影定理给出另证和推广，供读者参考．     

一个与四边形勃罗卡点相关猜想的否定

文[1]作者提出如下 猜想设P是四边形ABCD的勃罗卡点,角α是四边形ABCD的勃罗卡角。     

探析四边形的一个不等式

在初中数学中,四边形是一个知识重点,在四边形中对于四边形变成和面积的考察越来越成为中考的重点,根据四边形的各个边长之间的性质,本次研究针对四边形中的不等式来进行研究和分析,通过四边形的性质和不等式的性质,在不等式和四边形的考试中建立考点,找到知识的重点,有针对性地对此类问题进行解决.     

关于四边形的一个不等式

定理 设,,,abcd和S分别表示四边形的四边长和面积,,,,tuvw为正实数,则 44(1)(1)tuabuvwvwt 44(1)(1)vwcdwtutuv 216.3S ()* 当且仅当tuvw===且四边形为正方形时,上式等号成立. 证明 注意到,在边长给定的四边形中,以其内接于圆时的面     

再谈四类平均数的几何模型

文[1]给出了四类平均数在圆中的几何模型,容易用尺规作出;文[2]又给出了四类平均数在四边形中的几何模型,但是其中的几何平均数及平方平均数的几何表示巨疋及巴凡不易由尺规作出．受两者启发,笔者又给出了两种用尺规容易作出的四类平均数的几何模型,期待能够抛砖引玉．     

一个与圆锥曲线切线有关的性质

圆锥曲线上的四点构成了一个四边形,文[1]中得到了四边形相邻顶点上的圆锥曲线切线的相关交点与该四边形对角线交点及两对边延长线交点共线的性质（共线点有2组）,作者分别给出了在椭圆及抛物线形式下的证明,在证明的过程中,作者主要是利用斜率相等这一思路来证明相应四点共线．注意到在文[1]中,所关注的是四边形相邻顶点所在的圆锥曲线切线的相关交点与四边形对角线交点及一组对边延长线交点的共线性,若考虑的是不相邻的顶点处的圆锥曲线切线的交点呢,     

再谈调和四边形的性质及应用

笔者在文献[1]中介绍了调和四边形的7条性质及7道应用的例题．在此，再介绍调和四边形的一些有趣性质及应用的例子．     

再论“一组对边相等且一组对角相等”的四边形问题

文[1]提出如下问题：“一组对边相等且一组对角相等的四边形是平行四边形吗？”,并利用“超级画板”进行研究,构造出符合“一组对边相等且一组对角相等”条件但非平行四边形的这种四边形（以下记作BJ四边形）．文[2]认为“文[1]的此项成果,是非常有意义的”,纠正了文[1]中存在的“一些小问题”,并得到以下研究成果．     

凸四边形内勃罗卡角的一个计算公式

若在凸四边形ABCD内,存在点P使得∠PAB=∠PBC=∠PCD=∠PDA=α,那么点P叫做凸四边形的勃罗卡点,而角α称为凸四边形的勃罗卡角.(见图)关于四边形内勃罗卡点的存在性问题在文[1]中有详细的讨论,在假设所讨论凸四边形的勃罗卡点总是存在的前提下,我们给出勃罗卡角的一个计算公式.为了叙述方     

封闭二次曲线内接四边形的面积最值问题

文[1]讨论了封闭二次曲线(圆、椭圆)的内接三角形的面积最大问题.本文将类比讨论封闭二次曲线(圆、椭圆)的内接四边形的面积最大问题.1.圆内接四边形的面积最大值如图1,四边形ABCD是圆O的内接四边形,圆O的半径为R.设AB=a,BC=b,CD=c,DA=d,∠A=α,∠C=β.     

多边形的内角和

1教学目标 [认知目标] 1.知道四边形、多边形、正多边形的定义,能够在图形中识别它们的有关概念. 2.解释并会验证四边形内角和、n边形的内角和,会应用它进行简单的计算和说理.     

圆锥曲线内接四边形的一个有趣新性质的简证及类似

在文[1]中,朱凤娣老师发现了圆锥曲线内接四边形的一个有趣新性质：     

一道有趣的几何不等式

本题非同一般,看似简单,其实很有难度,它源自于笔者研究四边形面积分割时,遇到的一个难于解决的问题[注]．后来,杨学枝老师帮忙放在“全国初等数学研究会”网站上“征解擂题”,掀起一股“小风波”,但问题仍然没解决．