一个猜想的微分法证明及推广

利用排序不等式证明猜想(1)的轮换对称不等式(2);把所给出的命题建模为二元函数,使用二元函数极值的判定定理给出猜想的证明;同时把猜想中的指数从正整数k推广到了实数R~+;当k=1时,对称式(2)就是著名的内斯比特不等式的推广.最后把猜想(1)推广到更一般的情形,得到命题③和④.     

一类三角函数最值命题的推广

用初等方法先证明一个不等式,然后再对文[1]中的三角函数最值命题进行推广,得到推广1.最后,用导数作进一步推广,得到推广2.     

在高考试题中的推广类问题浅述

从一类对象或一个范畴的研究过渡到更广的一类对象或更广范畴上的研究 ,称为推广 ,类比是数学命题推广的一个工具 .从逻辑上说 ,推广就是将数学命题的外延扩大 ,来研究它的内涵变化特点 .在历年高考试题中 ,推广类试题曾多次出现 .一、在不等式中的推广【例 1】　已知x∈ (0 ,+∞ ) ,由不等式x+ 1x ≥ 2 ,x + 4x2 =x2 + x2 + 4x2 ≥ 3,… ,由此启发我们可以推广为x + axn ≥n + 1(n ∈N ) ,则a=　　　　 .分析 :首先a >0 ,由基本不等式“A≥G(A为算术平均值、G为几何平均值 )”得x+ axn =xn + xn +… + xn + axn≥ (n+ 1)n+ 1 xn · xn ……     

高考试题中的推广类问题浅述

从一类对象或一个范畴的研究过渡到更广的一类对象或更广范畴上的研究,称为推广.类比是数学命题推广的一个工具.从逻辑上说,推广就是将数学命题的外延扩大,来研究它的内涵变化特点.在历年高考试题中,推广类试题曾多次出现. 一、在不等式中的推广例1 已知x∈(0, ∞),由不等式x 1/x     

高考试题中的推广类问题浅述

从一类对象或一个范畴的研究过渡到更广的一类对象或更广范畴上的研究 ,称为推广。类比是数学命题推广的一个工具。从逻辑上说 ,推广就是将数学命题的外延扩大 ,来研究它的内涵变化特点。在历年高考试题中 ,推广类试题曾多次出现。1　在不等式中的推广例 1　已知x∈ ( 0 ,+∞ ) ,由不等式　x +1x ≥ 2 ,x +4x2 =x2 +x2 +4x2 ≥ 3 ,… ,由此启发我们可以推广为x +axn≥n +1 (n∈N ) ,则a =。分析　首先a >0 ,由基本不等式“A≥G(A为算术平均值、G为几何平均值 )”得x +axn=xn +xn +…+xn +axn ≥ (n +1 )n + 1xn· xn … xn·axn ,对照题设…     

限定条件下nⅡi=1(1/xi-xi)的下界研究

文[1]提出了一个二元对称不等式: 命题1 已知x,y∈R ,且x y=1,则2＜(1/x-x)(1/y-y)≤9/4 (1) 文[2]用微分法证明了不等式(1)的三元推广:     

一个几何不等式的推广

在△ABC中,以下两不等式成立: ctgA/2+ctgB/2+ctgC/2≥3 3~(1/2), (1) ctg~2A/2+ctg~2B/2+ctg~2C/2≥9, (2) 不等式(2)见文[1]2.43,而(2)可看作(1)的推广,那么对于(1)的更一般形式的指数型的推广是什么呢?下述的命题回答了这个问题。命题在△ABC中,a、b、c是其三边,s是其半周长,即s=1/2(a+b+c),r是其内切圆半径,则     

一个分式猜想不等式的证明

文[1]对文[2]所提出的一个优美不等式给出了简洁证明,并把它推广到三元情形.在文末又提出了一个更一般的猜想不等式,本文给出这个猜想不等式的证明,供参考.命题若x_i∈R~+,i=1,2,3,…,k,m≥1,n∈     

一个代数不等式的推广

拙文《一个代数不等式的几何证法》(见《数学教学通讯》2 0 0 3年第 9期 )证明了不等式x2 +y2 +( x -1) 2 +y2 +x2 +( y -1) 2≥ 22 ( 3 +1) ,1其中 x,y是任意实数 ,罗增儒先生发表了大作《两种解法—两种结果的沟通》(见《数学教学通讯》,2 0 0 4年 1期 ) ,用多种方法非常详尽地对上述不等式进行了证明和研究 ,笔者深受教益 ,今对不等式 1中等号成立的条件补充说明一下 ,可以验证 ,当x =y =3 -36时 ,不等式 1中的等号成立 .以下将不等式 1进行推广 ,叙述为下面的两个命题 .命题 1　设 x,y,z∈ R,则x2 +y2 +z2 +( x -1) 2 +y2 +z2+x2 +( y …     

一道竞赛题新探

文[1]、[2]分别用三角换元、构造二次函数、柯西不等式给出证明，并对命题的结论和条件进行推广．     

不等式a_1~2+a_2~2+…+a_n~2/n≥(a_1+a_2+…+a_n)~2/n的证明

本刊1983年第二期《不等式(a~2+b~2)/2≥((a+b)/2)~2的推广与应用》一文证明了下面命题: 若a_1,a_2,…,a_n都是实数(n属于自然数),则有     

简单逻辑联结词、全称量词与存在量词热点问题直击

热点问题一判断含有逻辑联结词命题的真假例1指出下列命题的真假(1)命题"不等式|x+2|≤0没有实数解";(2)命题"-1是偶数或奇数";(3)命题"槡2属于集合Q,也属于集合R"     

对一道全国联赛题的多角度探究

<正>2013年全国高中数学联赛B卷第10题:假设a,b,c>0,且abc=1,求证:a2+b2+c2≥a+b+c 1笔者经过思考,给出该联赛试题的简证、加强和推广等多角度探究,现行成文和大家一起分享.1关于赛题的简证命题组利用柯西不等式、三元均值不等式和六元均值不等式给出两种证法,下面我们利用二元均值不等式和三元均值不等式给出两种简证.简证1由二元均值不等式和三元均值不等     

简单逻辑联结词、全称量词与存在量词热点问题直击

热点问题一判断含有逻辑联结词命题的真假例1指出下列命题的真假:（1）命题"不等式|x+2|≤0没有实数解";（2）命题"-1是偶数或奇数";（3）命题"2^1/2属于集合Q,也属于集合     

对“改换证法 推广命题”一文的修正

文[1]应用柯西不等式对一道第17届全苏数学竞赛题进行了证明,并由此对该道赛题进行了推广和引申.笔者经过仔细研究后发现:文[1]中的证法是错误的,而且除了姐妹命题外,其它的推广命题和引申命题也都是假命题.现提出个人的观点,与大家共同探讨.文[1]中的赛题及证明过程如下:     

简易逻辑知识浅析

高一新教材增加了“简易逻辑”一节内容,在教学实践中,教师和学生都不同程度地存在一些问题和困惑,请看案例:案例(1):命题p:不等式x2-2x-3>0解集是{x|x>3),命题q:不等式x2-2x-3>0的解集是{x|x<-1},复合成的“p或q”命题:不等式x2-2x-3>0的解集是{x|x>3或x<-1},这里,显然p为假,q为假,但“p或q”命题却为真,与真值表矛盾,这是为什么?针对案例(1),有人提出:案例(2):不等式x2-2x-3>0的解集是{x>3或x<-1},应是简单命题,不是复合命题,但教材第26页分明说“李强是篮球运动员或跳高运动员”是“p或q”型的复合命题,这不矛盾吗?案例(3)命题p:“有些自…     

一个优美几何不等式及其推广的证法研究

《数学通报》2006年6月号1618题为:命题1设△ABC的三边长分别为a、b、c,求证:2   

两个代数不等式的向量证法及其推广

<数学通讯>2004年第1期<单墫两个代数不等式及其应用>一文中提出两个代数不等式,下称命题1和命题2,本文就这两个命题提出自己见解.     

两道IMO题的拓广

,作者华强.本文介绍了两个对证明和推广对称不等式有用的命题,把第28届 IMO 的一道预选题“证明;若 a,b,c 为三角形的边长,a b c=2s.那么 a~n/(b c) b~N/(c a) c~n/(a b)≥(2/3)~(u-1)s~(n-1)(n≥1)”推广到一般形式,并给出一个处理对称形不等式较为通用的方法.     

若干三元不等式的简证和推广

本文旨在给出近年国内中学数学期刊出现的几个三元不等式的简单证明和推广.命题1设a,b,c是正数,且a b c=