形如a2/b2=c/d的比例式证法探究

在平面几何中,形如a/b=c/d是我们常见的比例式,其证法也颇多,容易被学生所掌握、所应用,但在实际证题中,有时也会遇到其它形式的比例式,尤其在中考中也会出现,如a2/b2=c/d形的比例式,这种比例式左右两边的次数不一致,左边是二次式的比,而右边是一次式的比,学生在证明这种比例式时,往往感到困难,无从下手.本文特从这种比例式的特点出发,给出几种证明这种比例式的有效途径,供读者参考.     

“最简整数比”的另一化法

在教学和日常生活中，经常用到把比化成最简整数比的问题。它是利用比的基本性质，“比的前项和后项同时乘以或除以相同的数(0除外)，比值不变”，把整数、分数、小数的比化成最简整数比的方法。这个过程，通常叫比的化简。如，九年义务教育五年制小学教材九册第63页例1有三个例子，分别说明三种类型比的化简方法。14∶21=(14÷7)∶(21÷7)=2∶3，这种整数比化简方法是前项和后项同时除以它们的最大公约数。1/6∶2/9=(1/6×18)∶(2/9×18)=3∶4，这种分数比的化简，只要将前项和后项同时乘以分母最小公倍数，便得之。1.25∶2=(1.25×100)∶(…     

“比和比例”教学中应注意的问题

1.连比不是连除,连比没有比值。九年义务教育五年制小学教科书《数学》第九册(人教版,下同)第98页,练习二十四的第12题中说“第一组、第二组、第三组的工作效率的比是5:3:4。”像这样由两个以上的数组成的比叫做连比。我们知道,“两个数相除又叫做两个数的比。”但连比不能理解为连除,即5:3:4≠5÷3÷4。连比没有比     

化简分数比的另一种方法

在“比的意义和性质”中,分数比的化简是教学的一个重点。课本中是用进行比的这两个分数的分母的最小公倍数去乘比的前项和后项,化成整数比,然后再化简的。例如,1/6:2/9=(1/6×18):(2/9×18)=3:4=3/4我认为,这种化简方法是比较繁琐的。在教学时,我先采用课本中的方法,让学生掌握比的基本性质的运用。然后,利用已经学过的比与除法的关系,把分数比的化简看成是分数除法计算。例如,1/6:2/9=1/6÷2/9=1/6×9/2=3/4这种方法,学生一点就明,比较容易接受。但是应该注意:(1)必须在学生理解比与除法的关系的基础上才能进行化简;(2)最后结果不把它看成是商,而看成是一个比。掌握了以上两点,再出现带分数比的化简,学生做起来就容易得多了。例如,     

关于不定方程“ax by=c”的求解公式

中师部编教材《代数与初等函数》第二册第八章第三节中的定理3是这样叙述的:“设不定方程αx by=c(α>0,b>0)有一个整数解x_0,y_0,则它的全部整数解可以表示成 x=x_0 bt y=y_0-αt其中t为任何整数。”我认为这一定理中关于解的一般形式值得商榷,按定理给出的解的一般形式,对有些不定方程漏掉了许多解。如:解不定方程4x 6y=10,因为x=1,y=1是这个方程的一个整数解,直接应用定理,得它的全部整数解集为A={(x,y):x=1 6t,y=1-4t,t∈z}。另一方面方程4x 6y=10又等价于2x 3y=5,这样,     

形如1/a+1/b=N/c几何题的证明

形如1/a+1/b=N/c(其中a,b,c是线段,N是正整数)的几何证明问题,学生往往感到棘手。其实,证明此类问题,关键在于变换结论的形式,从变换后的等价命题的各种形式中找到证题途径。兹举例说明。初中《几何》第二册24页9(3)题和22页的例题,是此类问题的典型例子。经过深化得如下例1和例2。     

等比定理的证明给我们的启示

初中《几何》第二册中等比定理的证明是针对已知条件中出现连比的形式,设其比值为 k,通过 k 将分子、分母分别“解脱”出来,从而促成问题的解决的.这种证法,别开生面,耐人寻味.善于思考的人会从中受到启发,悟出解决一类连比(连等)问题的有效方法——设 k 法.     

形如a~2/b~2=c/d的比例式证法探究

在平面几何中,形如a/b=c/d是我们常见的比例式,其证法也颇多,容易被学生所掌握、所应用,但在实际证题中,有时也会遇到其它形式的比例式,尤其在中考中也会出现,如a2/b2=c/d形的比例式,这种比例式左右两边的次数不一致,左边是二次式的比,而右边是一次式的比,学生在证明这种比例式时,往往感到困难,无从下手。本文特从这种比例式的特点出发,给出几种证明这种比例式的有效途径,供读者参考。     

漫谈连比

“连比”是两个以上的部分量的连续相比。它反映了各部分量所占份数与总份数之间的关系，连比不是连除。如，甲：乙：丙=7：2：3，表示总份数是7＋2＋3=12（份），甲占12份中的7份，乙占12份中的2份，丙占12份中的3份，它们分别占总量的7/12、2/12和3/12。7：2：3不表示7÷2÷3。翻阅义务教育课程标准实验教科书,无论是人教版还是苏教版教材，对连比没有作具体的介绍，仅在练习中编排了一道含连比的题目，这说明不要求学生对连比有更多了解，但又没有予以舍弃。     

小学数学备课札记——第九册(义务教育五年制)

一、分数乘法●分数乘以整数的教学要点。1．分数乘以整数的意义:教学时可首先复习整数乘法的意义与同分母分数的加法,然后通过实例,先列出加法算式,再引导学生把加法算式改写成乘法算式,以此说明分数乘以整数的意义和整数乘法的意义相同,就是求几个相同加数的简便运算。2．分数乘以整数的计算方法。教学时可以采用分析对比的方法,引导学生自己归纳出计算方法。例如在例1教学中可以采取如下板书和分析方法。2/9+2/9+2/9+2/9=(2+2+2+2)/9=8/92/9×4＝2×4/9=8/9通过上述板书的比较,让学生理解,求学4个2/9的和用加法计算时,只把分子相加,分母不变;用乘法计算时,也只要把分子的4个2连加改成用4去乘分子2,分母不变,从而引导学生在理解的基础上归纳出分数乘以整数的法则即用分数的分子和整数     

用求比值的方法可以化简比

教材上提供化简比的常用方法是利用比的基本性质,将比化简成最简单的整数比。例:0.18∶9=18∶900=1∶50,26∶39=2∶3,12∶43=48∶68=4∶6=2∶3。可学生在化简过程中发现,利用求比值的方法即比的前项除以后项所得的商也可以化简比。如上述12∶43=12÷43=21×43=32,用分数形式保留化简结果,读作2比3。再例如34∶57,利用比的基本性质化简为34∶75=2281∶2208=21∶20,如果用求比值的方法化简为34∶57=43÷57=43×57=2201。从过程上看,此方法简单、快捷。那么,用求比值的方法化简比时要注意些什么呢?用求比值方法来化简比,事实上也是利用了比的基…     

好一个“不妨去掉”

〔教例〕把下面各比化成最简单的整数比。（１）１４∶２１（２）∶（３）１．２５∶２（１）１４∶２１＝（１４÷７）∶（２１÷７）＝２∶３（２）∶＝（×１８）∶（×１８）＝（）∶（）（３）１．２５∶２＝（１．２５）∶（２）＝（）∶（）教材旨在通过例１的教学使学生掌握和应用比的基本性质 ,从而达到化简比的目的。当教完例１中的第（１）、（２）小题后 ,引导学生思考第（３）小题 :这里需要怎样做 ,才能化成两个整数的比？学生讨论交流之后 ,出现了以下情景。生１ :应用比的基本性质 ,首先把比的前项和后项同时乘以１００ ,这…     

简析椭圆中的b2/a2

（2011江苏高考第18题）如图1,在平面直角坐标系xOy中,M,N分别是椭圆x2/4＋y2/2=1的顶点,过坐标原点的直线交椭圆于P,A两点,     

形如“1/a+1/b=1/c”问题的证法探讨

几何学中,形如“1/a+1/b=1/c的题目,实质上也是比例线段的一种形式。但由于分母都是线段而分子都是常数,学生往往感到头疼。本文就一些典型的证明,概括了以下几种思考方法。     

分数乘除中的两个问题

真分数与整数相乘除的积和商,同整数乘除的结果相反,这是许多学生难以理解的问题。不弄清这个问题难免出现猜题和用乘除法乱套题的现象。一、整数和真分数相乘,积为什么小于整数?先看一道例题:12×(7/8)=10(1/2)可以看出:整数与真分数相乘,积比整数小1(1/2)。如果把乘数的分子缩小一份(即缩小     

让创新成为学生的自觉意识

“连比”是两个以上的部分量的连续相比。它反映了各部分所占份数与总份数之间的关系,但连比不是连除。教材中对连比没有作具体的介绍,仅在练习中编排了一道含连比的题目,这说明不要求学生对连比有更多的了解,但又没有舍弃。然而,在近年各地小学毕业（升学）考试的数学试卷中,屡见应用连比解决实际问题的试题,还有一些化成连比能巧解较复杂的分数、     

当a+b+c=0时

我们知道,一元二次方程ax~2+bx+c=0(a≠0)的实数根,在b~2-4ac≥0时,可由求根公式求得。 现在,我们来探究一个问题,当a+b+c=0时,一元二次方程ax~2+bx+c=0(a≠0)的根有什么特点? 探究 ∵ a+b+c=0,∴b=-(a+c),∴ 原方程可化为ax~2-(a+c)x+c=0,即 (ax~2-ax)-(cx-c)=0. ∴ ax(x-1)-c(x-1)=0. ∴(x-1)(ax-c)=0. ∴ X_1=1,X_2=c/a。     

不等式(a b c)(1/a 1/b 1/c)≥9的引申与推广

若ａ ,ｂ ,ｃ >0 ,则(ａ ｂ ｃ) ( 1ａ 1ｂ 1ｃ)≥ 9( )是初等数学中的一个基本不等式 ,利用平均不等式可容易得证 .本文讨论它的引申与推广形式 .首先 ,容易得到该不等式的一般推广形式 .若ａｉ>0　 (ｉ =1,2 ,… ,ｎ) ,则(ａ1 ａ2 … ａｎ) ( 1ａ1 1ａ2 … 1ａｎ)≥ｎ2 .( 1)( 1)可变形为1ａ1 ａ2 … ａｎ≤ 1ｎ21ａ1 1ａ2 … 1ａｎ.( 1’)利用以上结果 ,我们可以对不等式 ( )进行以下一系列的引申和推广 .设ａ ,ｂ ,ｃ >0 ,则〔(ａ ｂ) (ｂ ｃ) (ｃ ａ)〕( 1ａ ｂ 1ｂ ｃ 1ｃ ａ)≥ 9, ( )于是　　 1ａ ｂ 1ｂ …     

怎样求连比?

求连比很重要。我在教学中采用了如下的求连比的方法,收效较好。 1.求三个数的连比 例1 有三个数,甲比乙是3:5,乙比丙是6:8,求甲乙丙的连比。 1)把已知条件排成如下形式,其中横行从上到下算,坚列从左到右算。 甲 乙 丙 3:5 6:8 (2)填空位上的数:本题第二列两行上的数都是已知数,那么各行空位上就填第二列同一行上的那个数。因此就有     

赏析一道a=b+kc形式的几何证明题

<正>一、试题呈现如图1,平行四边形ABCD中,∠BAC=90°,AB=AC,点E是边AD上一点,且BE=BC,BE交AC于点F,过点C作BE的垂线,垂足为O,交AD于点G.(1)略;(2)求证:BF=CO+3^(1/2)EO.二、试题分析结论中出现了3(1/2)EO.二、试题分析结论中出现了3^(1/2),我们自然想到构造一个含30°的直角三角形,将问题转化为"a+b=c"的形式.