两招破解“三根问题”

<正>在初中数学中,我们常遇到关于方程有三个实数根的问题,尤其是绝对值方程的"三根问题"较多.解决这类问题常用两招:一是运用数形结合思想,构造函数,画图求解;二是运用转化思想,把问题转化为一元二次方程的根的判别式求解.一、图象法例1关于x的方程x²-|x|+a=0有三个不同的实数根,求实数a的值.分析方程x2-|x|+a=0有三个不同的实数根,求实数a的值.分析方程x²-|x|+a=0有三个不同     

例析“或”与“且”的正确使用

<正>"或"与"且"属逻辑联结词,是初中数学不加定义却经常使用的概念,学生使用时常因概念混淆导致错误.下面举例说明"或"与"且"的正确使用方法.一、或表示选择关系在数学中含或此、或彼、或两者三种选择,ab=0 a=0,或b=0 a,b至少有一个为0.例1若|x|+2=4,则x=()(A)-2(B)2(C)-2且2(D)-2或2解|x|=2,x=-2或2,应选D.     

构造一元一次方程解题

学习了一元一次方程以后,可以利用所学知识,根据题意构造方程,使问题解决.下面举例说明. 一、利用一元一次方程的定义构造例1 已知关于x的方程(a-1)x|a|+4=0是一元一次方程,则a=____。     

谈谈《复数》教学中的几个问题

一.勿盲目搬用实数集中的公式或结论 (一) 在复数集中|a|=m,a≠±m 例1.已知|ab|+1=|a|+|b|,求复数a,b。学生常错解为:由|ab|+1=|a|+|b|可知(|a|-1))(|b|-1)。故|a|=1或|b|=1,∴a=±1或b=±1。说明:|a|=1,a=±1只在实数范围内成立。当a为复数时,适合|a|=1的数应该是复平面上的单位圆周上的一切点对应的复数。±1只是其中的两个,显然缩小了解集,故至误。一般地,|a|=m(m>0),复数a应是复平面上的以原点为圆心,以m为半径的圆周上的一切点对应的复数,不是在实数范围内成立的a=±m作为它的答案。     

算术平方根的"孪生兄弟"

同学们都知道: 若a≥0,则√a叫做a的算术平方根. 若m是实数,则|m|叫做m的绝对值. 从表面上看,√a与|m|似乎并没有什么联系,√a≥0与| m |≥0却是它们共同的属性.正是由于这一共同属性,才使得它们在历年的中考试题中以"双打"的身份频频出现,犹如形影不离的"孪生兄弟",而且,"双打"的形式还经常花样翻新.同学们若想攻克它们还真得有点随机应变的功夫才行.     

巧解二次根式八法

一、巧用隐含条件例1 已知|x-5|+y+2x+6=0, 则3x+y+1= .     

完善一道例题的解法

本刊1989年第4期《用辅助问题法解题》一文中的例2及其分析是: 例2 已知|ab|+1=|a|+|6|,求log_(a+1)(b+3)的值。分析 :把已知条件|ab|+1=|a|+|b|转化为(|a|-1)(|b|-1)=0。原题转化为:已知|a|=1,|b|=1,求log_(a+1)(b+3)的值。只要心算就知本题结     

解题中的添绝对值变形

解答含有绝对值的问题时 ,我们习惯上考虑化去绝对值的方法。这样常常要分类讨论 ,过程较为繁琐。事实上 ,对于某些问题 ,利用添绝对值的变形 ,可避免分类讨论情况的发生。例 1　已知 ab<0 ,求 a2 |b|- b2 |a|+ab(|a|- |b|)的值。解 :由 ab<0 ,a2 >0 ,b2 >0 ,得 a2 =|a2 |,b2 =|b2 |,ab=- |ab|。原式 =|a2 |· |b|- |b2 |· |a|+(- |ab|) (|a|- |b|) =|a2 b|- |ab2 |- |a2 b|+|ab2 |=0。例 2　若 a>0 ,b<0 ,则方程 |x- a|+|x- b|=a- b的解集是。解 :注意到 a- b=a+(- b) >0 ,∴ |x- a|+|x- b|=|a- b|,∴ |a-x |+|x- b|=|(a- x) +(x- b) |,∴…     

如何求a/|a|+b/|b|+c/|c|及其变式的值

<正>题目求a/|a|+b/|b|+c/|c|的值(a,b,c为非零有理数)思路分析运用《有理数》一章所学的知识,我们可以发现以下特征:若a大于0,即a是正数时,则a/|a|=1;相反,若a小于0,即a是负数时,则a/|a|=-1.于是,我发现a/|a|、b/|b|和c/|c|的值都与a、b、c的正负有关,应分以下四种不同情况进行讨论:情况一:a、b、c同时为正,即a>0,b>0,c>0,所以,     

有理数运算常见错误剖析

有理数运算中,常发生以下几方面错误:一、概念不清例1 a和-a各是什么数?错解a是正数,-a是负数剖析:由于同学们初次学习正负数和错误的思维定势,误认为a是正数,-a是负数.正解:当a大于零时,a是正数,-a是负数;当a小于零时,a是负数,-a是正数;当a=0时,a和-a都是零.例2 已知|a-b|+a-b=0,比较a、b的大小.错解∵|a-b|=-(a-b)∴a-b<0,即a     

非负数的一些应用

实数中不小于零的数为非负数,我们学过的非负数,用代数式表示常见的有|a|、a²、a^1/2,要注意a^1/2,它是一个双非负数,其中a与a^1/2本身都是非负数,非负数有个非常重要的性质,就是"若干个非负数的和为0,则每个加数必为0."例如,若a^1/2+|b|+c²=0,则a=0,6=0,c=0.非负数在求代数式的值、比较实数的大小、判定一元二次方程根的情况、求函数的最值等诸多方面有着广     

考场答题"增加思考量减少演算量"的7个途径

高考答题是能力与时间的角逐 ,能力“到位”还要讲究思路和方法 ,一般在“巧解”上作文章 ,这就要积累平时的解题经验与捕捉他人之“玉” .本文提供 7个途径 ,供取长补短 .1　适时代换 ,减轻负担例 1　设a为实数 ,函数f(x) =x2 |x -a| 1,x∈R .求f(x)的最小值 .解　令 |x -a|=t (t≥ 0 ) ,则f(x) =|(x -a) a|2 |x -a| 1≥|t-|a||2 t 1=t2 -( 2 |a|-1)t a2 1=[t-( |a|-1/ 2 ) ] 2 |a| 3 / 4.①设g(t) =[t -( |a|-1/ 2 ) ] 2 |a| 3 /4.当 |a|-1/ 2≤ 0 ,即 -1/ 2≤a≤ 1/ 2时 ,g(t)在 [0 , ∞ )上递增 ,从而g(t) min=g( 0 )=a2 1.当 …     

注意隐含条件

若能注意发掘题中的隐含条件,可以使求解变得轻松.下面列举五例.例1已知实数a满足|a-2007 |+ （a-2008）^1/2=a,那么,a-2007²=_<sub>.分析由二次根式的定义,应当有     

“折线型”函数最值的一般求法

<正>文[1]给出了"折线型"函数,即形如f(x)=k_1|x-a_1|+k_2|x-a_2|+…+k_n|x-a_n|(其中k_1、k_2、…、k_n为非零实数,且a_10(i=1,2,     

谈谈数学解题中的思维缺陷

在初中数学试题中,有不少的题目具有一定的迷惑性,易使同学们单方面考虑问题,欠缺全面严谨的思维,导致题解错误。为了帮助同学们排除迷惑,避免掉进“陷阱”,全面、准确思维,掌握审题、解题技巧,提高应变能力和解决实际问题的能力。笔者对同学们在解题中易产生的典型错误进行归纳、剖析,以飨读者。一、顾此失彼,缺少全面思维例1如果分式|aa|+-33的值为零,那么a的值为。错解:由|a|-3=0,得a=±3.剖析:解这类题时,不仅要考虑分子的值,而且要考虑分式的分母不能为零,不能顾此失彼。正确解答是:a=3.例2若2x-3y=0,则yx等于()。A、23;B、32;C、-23…     

求动点轨迹问题中的常见错误

一、忽视或错用绝对值符号忽视或错用绝对值符号 ,会使所求动点轨迹与实际轨迹不符 .例 1　一动圆外切于已知圆ｘ2 +ｙ2 =2ａｘ(ａ>0 ) ,并与ｙ轴相切 ,求动圆圆心Ｍ的轨迹 .解 :如图 ,设已知圆圆心为Ｑ ,Ｍ在ｘ轴上的射影为Ｎ ,依题意得 |ＭＮ |2 +|ＮＱ|2 =|ＭＱ|2 .　　　　　①设动圆圆心的坐标为Ｍ (ｘ ,ｙ) ,则 |ＯＮ|=|ｘ|,从而|ＮＱ|=ａ- |ｘ|.又 |ＭＱ|=|ｘ|+ａ ,|ＭＮ|=|ｙ|,代入①式得ｙ2 +(ａ - |ｘ|) 2 =( |ｘ|+ａ) 2 .化简 ,得圆心Ｍ的轨迹方程为 ｙ2 =4ａｘ　 (ｘ≥ 0 ) ,ｙ2 =- 4ａｘ　 (ｘ <0 ) .②剖析 :这个结论是错误的…     

求“最值”的特殊方法

在初中数学中,常常出现求“最值”的问题.这里介绍几种求“最值”的特殊方法.一、构造方程例1已知:a、b、c均为实数,且满足a b c=2,abc=4.(1)求a、b、c中最大者的最小值;(2)求|a| |b| |c|的最小值.解∵a b c=2>0,abc=4>0.∴a、b、c中应为两负一正.设a>0,b<0,c<0.(1)由a b c=2,a     

解题后的反思和检验

解数学题 ,一要认真细致地审题 ,二要正确规范的解答。在审题、解答过程中特别不可忽视附加条件或特殊性质的作用 ,也就是反思和检验环节的重要作用 ,它往往是获得正确结论的重要手段。下面略举几例 ,供探讨。例 1　若关于x的方程 (m + 2 )x|m|+ 3mx + 1 =0是一元二次方程 ,则m =　　。错解 :∵ |m| =2 (即x的最高次数为 2 )　∴m =± 2反思 :这个结果对吗 ?检验 :当m =± 2时 ,x|m |=x2 毫无疑问 ,但一元二次方程 :ax2 +bx +c =(a≠ 0 ) ,即隐含条件 :二次项系数不为零。所以 |m| =2m + 2≠ 0 　∴m =2为正确答案。例 2　当m =　　时 ,方程…     

三角函数最值问题高考题型分析

三角函数的最值问题是高考重要知识点和命题热点之一,下面就常见题型加以归纳总结,供同学们学习时参考. 类型1y=asinx+b(a≠0) 这是一类比较简单的函数.当x∈R,ymax=|a|+b,ymin=-|a|+b;当x有限制条件时,可结合正弦函数的图像求得函数的最值.例 1(1995年全国高考题)函数y=sin(x-π/6)cosx的最小值是_.解:y=sin(x-π/6)cosx =1/2[sin(2x-π/6+sin(-π/6)] =1/2sin(2x-π/6)-1/4,当sin(2x-π/6)=-1时,ymin=-3/4.     

利用隐含条件解题

在许多数学题目中,都有一些条件隐含在题意中没有明确给出,这些条件就是所谓的隐含条件.而利用这些隐含条件,可以简捷地解题.下面通过几个例子加以说明.例1下列四式中与（a-3）（1/（3-a））^1/2相等的是A.（a-3）^1/2 B.-（a-3）^1/2C.（3-a）⁽1/2 D.-（3-a）^1/2分析此题的隐含条件是3-a>0,故（a-3）（1/（3-a））^1/2=（a-3）（（3-a）/（3-a）²）^1/2=（a-3）/（3-a）（3-a）^1/2=-（3-a）^1/2.故选D.例2已知实数a满足|2009-a|+（a-2010）^1/2=a,那么a-2009²的值是_<sub><sub><sub><sub>.分析此题的隐含条件是a-2010≥0,即a≥2010.故|2009-a|+（a-2010）^1/2=a可化