函数f(x)=x~(k/x)的性质探究

<正>一、问题的引出戚有建老师在《数学通讯》2012年第10期讨论了函数f(x)=x1x的性质及其应用,最后解决了关于x的方程ax=xa(其中a>0,且a≠1,x>0)的根的个数问题.由此我们不禁联想到如何解决类似的问题:讨论关质.     

函数y=ax+b/x(a≠0,b≠0)的性质与应用

性质一:函数y=ax+b/x(a≠0.b≠0)(1)图象是不规则双曲线,它关于原点中心对称,其渐近线是直线y=ax与直线x=0(即y轴).     

高一数学期末测试题

一、选择题（每小题3分,共30分）1.设全集 I=R集合 A│x│x≤-3 或x》21,B则集合│x│-l0且a≠1) (D)y=log~aa~x(a>0且a≠1)3.设函数y=f(x)的定义域为[0,1],则y     

函数模型实际应用解读

函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型,不同的变化规律需要不同的函数模型来刻画.我们已经学习了几种基本的函数:一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数,它们分别对应了一次函数模型y=ax+b(a≠0)、二次函数y=ax2+ bx+c(a≠0)、指数函数模型y=b·ax(a＞0且a≠1)、对数函数模型y=b+ logax(a＞0且a≠1)、幂函数模型y=b·xa.它们与现实世界紧密相连,在实际生活问题中有着广泛应用.     

二次函数

要点概括1.二次函数的定义:如果y=ax2 bx c且a、b、c为常数,a≠0,那么y就叫做x的二次函数.2.二次函数的性质:①抛物线y=ax2 bx c的顶点坐标是(-2ba,4a4ca-b2);对称轴是x=-2ba.②二次函数的图象是一条抛物线.当a>0时,抛物线开口向上,并且当x<-2ba时,y随x的增大而增大;若x>-2ba,y随x的增大而减小.③当a>0,x=-2ba时,y有最小值4a4ca-b2;当a<0,x=-2ba时,y有最大值4a4ca-b2.④特殊抛物线的性质.典例导析【例1】已知二次函数y=ax2 bx c(a≠0)的图象如图1所示,给出以下结论①a b c<0②a-b c<0③b 2a<0④abc>0,其中所有正确结论的序号是.A.③④B.②…     

一类函数定义域、值域为R的“转译”

以函数f(x)=lg(ax2 bx c)为载体求参数范围的问题.本文就此类函数定义域和值域分别为R的实质含义作出等价“转译”.1·解剖问题得出结论f(x)=lg(ax2 bx c)(a≠0)的定义域为R的等价说法是什么呢?容易看出,其实质等价于:当x∈R时,ax2 bx c>0恒成立,那么问题就转化为二次函数:y=ax2 bx c>0恒成立,则等价于a>0Δ<0(其中Δ=b2-4ac,下同)f(x)=lg(ax2 bx c)(a≠0)的值域为R的等价说法又是什么呢?注意到当y=lgx的定义域为(0, ∞)时,其值域为R,即y=lgx的值域为R是由其定义域决定的,若定义域不是(0, ∞),那么值域也就不是R了.如此,若f(x)=lg(ax2 bx…     

函数f(x)=ax (b/x)(a,b∈R)的性质及应用

一、函数f(x) =ax bx(a ,b∈R)的性质1.当a =b =0时 ,f(x) =0 (x≠ 0 )是常数函数 ,既是奇函数又是偶函数 ,其图象是x轴 (不包括原点 ) .2 .当b =0 ,a≠ 0时 ,f(x) =ax(x≠ 0 )是一次函数且是奇函数 ,其图象是一条直线 (不包括原点 ) .3.当a =0 ,b≠ 0时 ,f(x) =bx(x≠ 0 )是反比例函数且是奇函数 ,其图象是双曲线 .4 .当a≠ 0 ,b≠ 0时 :(1)当a >0 ,b <0时 ,f(x) =ax bx(x≠ 0 )是奇函数且在区间 (-∞ ,0 )和 (0 , ∞ )上是增函数 .(2 )当a <0 ,b >0时 ,f(x) =ax bx(x≠ 0 )是奇函数且在区间 (-∞ ,0 )和 (0 , ∞ )上是减函数 .(3)当a …     

利用“广义判别式”解题的一些技巧

在解或判别实系数一元二次方程(或可化为此类方程)时,根的判别式Δ=b2-4ac起着极大的作用.实系数二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)有很多性质,其中当且仅当Δ=b2-4ac≤0时,y=ax2+bx+c保号.如果在实系数二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中,将系数a,b,c都改为对某些变量的实质函数,就可得到“广义判别式”的概念.即:设a=f(x,y),b=g(x,y),c=φ(x,y)都是以x,y为未知数的一个二元方程,则称Δ=b2-4ac为二元方程ax2+bx+c=0的“广义判别式”.1利用“广义判别式”可判断二元实函数系数方程根的情况实系数一元二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的保号性可以推广到关于x,y的二…     

函数及其图象考点分析及复习研究(续)

(接上期)考点7二次函数的概念、图象及其性质[知识要点]1.函数y=(a,b,c是常数,a≠0)叫做二次函数.当a≠0,b=c=0时,则y=;当a≠0,b=0,c≠0时,则y=;当仅有c=0时,则y=.这些函数都叫做.把二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)通过配方写成y=a()2+,由此可知对称轴是,顶点坐标是(,).2.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象是一条;当a>0时,开口向,当x=时,函数有值;当a<0时,开口向,当x=时,函数有值.3.对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),a确定图象的,c确定图象与y轴的交点坐标是,Δ=b2-4ac确定图象与轴是否相交,当Δ>0时,抛物线与x轴有两个不同交点,当Δ=0时,抛物线与x轴只…     

应用函数y=x a~2/x的单调性解题

本文给出一个关于函数y=x (a~2/x)(x>0,a>0)的单调性定理,然后给出它的应用。 定理 函数y=x a~2/x(a是正常数),在(0,a]上单调减少,在[a, ∞)上单调增加。 定理的证明比较简单,但定理的应用非常广泛,用它可以解决一些用不等式a b≥2((1/2)ab)不能解决的问题。 例1 已知a、b∈R~ ,且a b=S(定值),求函数y=(a 1/a)(b 1/b)的最小值。     

函数y=(cx+d)/(ax+b)的性质及应用浅谈

<正>对于函数y=(cx+d)/(ax+b)(其中a≠0,c,d不同时为0),当ad=bc时,y=c/a为常函数;当ad≠bc时,函数y=(cx+d)/(ax+b)为分式函数,这个分式函数有着十分简洁而优美的优质.下面笔者尝试着探讨型如y=(cx+d)/(ax+b)(其中a≠0,c,d不同时为0且ad≠bc)的图象和性质的,并透过例题,给出这些性质的一些应用.     

不动点与数列通项(高一、高二、高三)

对于一个确定的函数f(x),方程x=f(x) 的根x=x0称为f(x)的不动点.下面利用不 动点求数列通项. 1.三个定理 定理1 设f(x)=ax b(a≠0且a≠1), {xn}满足递归关系xn=f(xn-1)(n≥2),p为 f(x)的不动点,则xn-p=a(xn-1-p). 定理2 设f(x)=(ax b)/(cx d)(c≠0,ad-bc≠ 0),{xn)满足递归关系xn=f(xn-1)(n≥2),且     

线性分式函数的图像和性质讨论

在高中代数中,常常遇见形如y=(ax b)/(cx d)(1)(c≠0,a~2 b~2≠0,bc-ad≠0)的函数,我们称为线性分式函数,其中常数c≠0,是因为若c=0,这就不是分式函数,而是一次函数或常数了,若a~2 b~2=0,则a=b=0,y=0是一个常数,或称常值函数,而若bc=ad则a/c=b/d,函数(1)的解析式变成y=(a/c x b/c)/(x d/c)=(b/d x b/c)/(x d/c)=(b/d(x d/c))/(x d/c)=b/d,也     

函数y=1-X/1 X的性质与应用

关于分式线性函数y=(cx d)/(ax b),已有众多文献进行了研究。本文拟对函数F(x)=(1-x)/(1 x)的独特性质进行一些探讨,并举例说明它的应用. 性质1 函数y=F(x)自为反函数,且F(F(x))=x(x≠-1). 性质2 对a≠-1,b≠-1,ab≠-1     

二次函数的研究

内容概述二次函数的解析式由条件确定二次函数的解析式需要三个独立的条件,一般有如下三种特定形式:1.一般式y=ax2+bx+c(a≠0)2.顶点式y=a(x-m)2+h(a≠0)3.分解式y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)二次函数的最值对二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)若自变量x为任意实数,其最值情况为:当a>0,x=-b/2a,fmin=4ac-b2/4a;当a<0,x=-b/2a,fmax=4ac-b2/4a.若自变量x在范围x1≤x≤x2上取值时,其最值情况为:对a>0,有如下结论:     

函数y=ax+b/x(ab≠0)的性质与应用

性质1.它的图象是双曲线,关于原点对称,渐近线为直线y=ax和x=0(y轴)。性质2.函数的极值情况如下表: y=ax+b/x,(ab≠0)     

导数的十大综合应用

一、导数与函数单调性相关问题例1已知a!R,求函数f(x)=x2eax的单调区间.解析函数f(x)的导函数f′(x)=2xeax ax2eax=(2x ax2)eax.(1)当a=0时,若x<0,则f′(x)<0;若x>0,则f′(x)>0.故当a=0时,函数f(x)在区间(-∞,0)内为减函数,在区间(0, ∞)内为增函数.(2)当a>0时,由2x ax2>0,解得     

二次函数与一元二次方程的关系

二次函数 y=ax2 bx c(a≠ 0 )的图象及性质在初中代数教材中占有重要地位 ,这部分知识与前后内容联系紧密 ,灵活性、综合性较强。下面着重介绍二次函数 y=ax2 bx c(a≠ 0 )与一元二次方程 ax2 bx c=0 (a≠ 0 )之间的关系。一、一元二次方程 ax2 bx c=0 (a≠ 0 )的根的情况决定着抛物线 y=ax2 bx c(a≠ 0 )与x轴交点的情况。下面是二次函数 y=ax2 bx c(a>0 )的图象 ,观察图象 ,回答 :x取何值时 ,y=0。　 (甲 )　　 (乙 )　　 (丙 )由 (甲 )图可以看出 ,抛物线y=ax2 bx c与 x轴交于两点(- 1,0 )与 (3,0 ) ,也就是说 ,有…     

无理函数值域求法

研究函数,常要求函数值域。本文介绍一些无理函数值域求法。 1.y=(ax b)~(1/2)(a≠0)型分析 这种类型的无理函数是最基本的。从观察不难看出值域为{y|y≥0且y∈R}. 2.y=px q±(ax b)~(1/2)型 例1 求y=x 4 (2x 4)~(1/2)的值域。 解令t=(2x 4)~(1/2)(t≥0)则x=(t~2-4)/2(t≥0). ∴原函数为y=(t~2-4)/(2) 4 t=((t 1)~(2) 3)/2 (t≥0), ∴y≥2,原函数值域为{y|y≥2且y∈R}.     

方程a~x=x~a的解及a~x与x~a的大小关系

对于象4~(55)与55~4的大小比较问题,学生往往感到困难。本文将对方程a~x=x~a的解以以a~x与x~a的大小关系问题进行一般的讨论。一.函数y=x~(a/x)(x>0,a>0且a≠1)的性质 1.y=x~(a/x)在定义域上连续,可导。y′=ax~(x/a-2)(1-1nx),令y′=0,则x=e是唯一驻点,因为x∈(0,e)时,y′>0,则y是x的单调增函数;x∈(e,+∞)时,y′<0,y是x的单调减函数,所以当x=e时,函数取极大值,为e~(a/e)。