浅谈孙子剩余定理及其解法改进

本文就物不知其数问题,探讨了孙子剩余定理的由来。应用孙子剩余定理解一次同余方程组的条件比较苛刻。具有很大的局限性。它要求模数两两互素．而且要求解n个同余方程组才能求得n个乘率,解题过程复杂、艰苦．为此,本文介绍了新的解法一同余取倍法。我们将会发现同余取倍法在解题时简洁、优美。     

新法解一元一次同余方程组

改进了著名的孙子定理,得到了解一元一次同余方程组的一个新方法。这个新方法把一元一次同余方程组化为只解一个一元一次同余方程。     

两个组合式的异同

本文阐述了组合式n!/(k_1!K_2!…k_m!)与n!/((k_1!)~(m_1)(k_2!)~(m_2)…(k_1!)~(m_1)m_1!…m_1!)的含义与异同。     

关于一个整除性问题

先观察一例:若n为非负整数,则3~(4??+2)+5~(2n+1)能被14整除. 证明:由二项式定理(a+b)~n=am+b~n,(m∈N)则3~(4n+2)+5~(2n+1)=9·81~n+5·25~n =9·(56+25)~n+5·25~n =56m_1+9·25~n+5·25~n(m_1∈N) =14m_2+14·25~n(m_2∈N) =14(m_2+25~n)=14m_3.(m_3∈N) 故3~(4n+2)+5~(2n+1)能被14整除. 考察3~(4n+2)+5~(2n+1)=9·81~n+5.25~n有     

抽屉原理及其应用

抽屉原理可叙述如下:将n 1个球放入n个盒子中,则至少有一个盒子中装的球数不少于两个。 证明 若每个盒子中最多装一个球,则n个盒子中总共最多只能装n个球,但这n个盒子中共有n 1个球,这是一个矛盾。 抽屉原理还可推广为更一般的形式:设m_1,m_2,…,m_3都是正整数,若将sum from i=1 to n(m_i-(n-1))个球放入n个盒子中,则:第一个盒子中至少放入m_1个球,或第二个盒子中至少放入m_2个球,… ,或第n个盒子中至少放入m_n个球,这n种情形中至少有一种情形必然发生。 证明 若第一个盒子中装的球数少于m_1个,第二个盒子中装的球数少于m_2个,…,第n     

互素模一般线性同余方程式组中推广的孙子定理

讨论了一般线性同余方程组的求解问题,给出了一般同余方程组在有解情形下解的统一的表达式,得到了几个有益的结果,在理论上作了一种新的尝试,从而推广了孙子定理.     

论同余方程组正整数解的构造式

本文借助于欧拉（Eluer)定理,给出了同余方程组整数解的构造式。     

“大衍求一术”探秘

<正> 一 德国数学家高斯(K·F·Gauss,1777—1855)在1801年出版了《算术探究》一书,内载他对一次同余式理论的研究成果。其中有一条重要定理:设a_1, a_2…,a_n两两互素, M=a_1a_2a_3…a_n=a_1m_1=a_2m_2…=a_nm_n则满足同余式组 x≡b_1(moda_1)≡b_2(moda_2)≡…≡b_n(mcda_n)的正整数解是x≡∑b_ju_jm_j(modM)。(1)其中u_j是满足同余式u_jm_j≡1 (moda_j)的正整数解,i=1,2…,n。 (定理的证明可参看一般的初等数论) 当时欧洲数学家对中国古代数学毫不了解。直到十九世纪七十年代,欧洲数学家才发现     

sum from i=1 to n x_i~2的性质及应用

函数的极值是数学中常见而且很重要的内,它在实际问题中也有不少的应用。本文借助于理论力学的点滴知识,论证几个结论,用这些定理来解决平方和的极值及其有关问题是十分有益而简洁的。假定有n个质点,它们的质量分别是m_1、m_2、…m_n,分别位于P_1、P_2、…P_n诸点,G点为这些点的重心(质心)。根据理论力学知识,下述两个引理明显是成立的。引理一:在直角坐标系中,重心(质心)的坐标为: X_G=sum from i=1 to n(m_i x_i)/sum from i=1 to n(m_i) y_G=sum from i=1 to n(m_i y_i)/sum from i=1 to n(m_i) Z_G=sum from i=1 to n(m_i z_i)     

一道竞赛题的简证

题目 求证:在两个连续平方数之间不存在四个自然数am_1 m_2,又由a≥n~2可推知m_1m_2≥n~2,     

带有约束条件的排列和组合

排列和组合的计算为大家熟知,本文讨论具有约束条件的排列、组合问题:限距组合和禁位排列. 一、限距组合在自然数集合{1,2,…,n}中,任意取出k个元素,按大小顺序排列设为 1≤j_1相似文献   

线性同余方程组解的存在性及其算法

讨论一般的一次同余方程组的解的存在性与性与结构，并给出了求解的新算法，这是名的孙子定理的一个推广。     

等差数列中的一个问题

定理:设等差数列{a_n}中,a_1>0(或a_1<0),Sm_1=Sm_1(m_1·m_1∈N,且m_1相似文献   

一般线性同余方程组有解的判定条件

讨论了一般的线性同余方程组解的存在性问题，给出了一般线性同余方程组是否有解的判别条件。从而推广了引理2的结论．使求解线性同余方程组问题更为方便有效．     

加减消元法同解定理在解二元二次方程组中的应用

在解方程组中常使用下列定理与推论: 定理:设H(x,y)是任意一个关于x、y的多项式,a是异于零的常数, F_1(x,y)=0 ①则方程组 { F_2(x,y)=0 ② aF_1(x,y)+H(x,y)·F_2(x,y)=0 ③与方程组 { 同解。 F_2(X,y)=0 ④ F_1(x,y)=0 ①推论:方程组{ F_2(x,y)=0 ② F_1(x,y)+k·F_2(x,y)=0 ③与方程组 { F_1(x,y)=0 ④同解,这里k是一个非零的实数。这个定理与推论是在方程组中进行加减消元法同解变形的理论依据,其目的是要经过适当变形,达到使定理中③或推论中③消元、降次或能因式分解,从而易于解出。对中等数学     

三角形中一个不等式的推广

贵刊1996年第7期上,宋结根老师在《正三角形中的一个不等式》一文中,证明了如下一个定理。 定理 设D、E、F分别是正△ABC的边BC、CA、AB上的内点,△DEF、△AEF、△BDF、△CED的周长分别记为m_0、m_1、m_2、m_3。则     

一个猜想的否定

《中学数学》1996年第7期“正三角形中的一个不等式”一文证明了下面定理。 定理 设D、E、F分别是正△ABC的边BC、CA、AB上的内点,△DEF、△AEF、△BDF、△CED的周长分别为m_0、m_1、m_2、m_3。则     

正三角形中的一个不等式

定理 设D、E、F分别是正要△ABC的边BC、CA、AB上的内点,△DEF、△AEF、△BDF、△CED的周长分别记为m_0,m_1,m_2,m_3。则: 1/m_1 1/m_2 1/m_3≥3/m_0 证明 在△AEF中,∠A=60°.由余弦定理有: EF~2=AE~2 AF~2-2AE·AF·cosA=AE~2 AF~2-AE·     

单位质点组重心的性质

本文证明了:单位质点组的重心是到各质点距离均平方和最小的点。由此确定了到多边形及多面体各顶点距离的平方和最小的点的位置。我们知道:两个质量分别为m_1和m_2的质点A和 B,它们的重心G在线段AB上,重心G的质量为m_1+m_2,并且重心G分线段AB的比为m_2∶m_1。于是,我们可以得到下面的结论。 [定理1] 设A_1、A_2…A_n是质量相同的n个单位质点,则它们的重心的位置可用下面方法求得:先连结线段A_1A_n,并取其中点为B_1;然后连结线段A_2B_1,并在其上取点B_2,使得A_2B_2=2B_2B_1;再连线段A_3B_2,并在其上取点B_2,使A_3B_3=3B_3B_2;再连结线段A_4B_3,并在其上取点B_4,使A_4B_4=4B_4B_3;……如     

密度问题的几种解法

一、假设法例1某铜球的体积为8 cm~3,质量是26.7 g,问此铜球是空心的还是实心的?分析求出同体积的实心铜球的质量m宴,再跟题中已知的铜球质量m_球相比较,若m_实=m_球,则球是实心的;m_实>m_球,则球是空心的.解假设铜球是实心的,则铜球的质量m_实=ρ_铜V_球=8.9 g/cm~3×8 cm~3=71.2 g.因为m_实>m_球,所以铜球是空心的.二、列方程组法例2有一件铜、金两种金属做成的工艺品,体积是0.9 dm~3,质量是10 kg,求这件工艺品中铜、金的质量各是多少?分析工艺品的质量是铜、金的质量之和,工艺品的体积是铜、金的体积之和.