用(|q|＜1)解一类竞赛题

我们知道,无穷递缩等比数列{a1qn-1}的各项和公式为 　　∞∑k=0a1qk=a1/1-q(|q|＜1). 　　对于一类各项是分式形式的竞赛题,若各项都能变换成a1/1-q(|q|＜1)的形式,就可以逆用该公式,再结合幂平均值不等式 　　1/nn∑i=1ai≤m√1/nn∑i=1ami 　　或平均值不等式巧妙地解题.下面举例说明. 　　……     

用∞∑k=0a1qk=a1/1-q(|q|＜1)解一类竞赛题

我们知道,无穷递缩等比数列{a1qn-1}的各项和公式为 ∞∑k=0a1qk=a1/1-q(|q|＜1). 对于一类各项是分式形式的竞赛题,若各项都能变换成a1/1-q(|q|＜1)的形式,就可以逆用该公式,再结合幂平均值不等式 1/nn∑i=1ai≤m√1/nn∑i=1ami 或平均值不等式巧妙地解题.下面举例说明.     

逆用等比数列求和公式解题

本文以实例说明,逆用等比数列求和公式及逆用无穷递缩等比数列各项和公式在解题中的几个应用,供读者参考。 1 用于证明不等式 例1 设任意实数x、y满足|x|<1,|y|<1。求证: 1(1-x~2) 1/(1-y~2)≥2/(1-xy)。     

无穷递缩等比数列求和公式的逆用

<正>我们称公比q满足|q|<1的等比数列{a_n}为无穷递缩等比数列,其各项和公式为■.即有■如果将这个公式的左、右两边交换一下位置,可得命题 若|q|<1,则有等式■笔者在教学和解题实践中发现,该命题结论在求一些条件最值和证明一些不等式时具有重要作用.为了下面行文方便,笔者先介绍几个引理：引理1[1] 若a,b∈R,则有不等式a²+b²≥2|ab|,等号当且仅当|a|=|b|时成立.     

对两个命题的看法

文[1]中给出了两个命题:命题1是(x-x1)2+(y-y1)2≥(x2+y2-x12+y21)2.1这个命题虽然是正确的,但是文[1]中借助于向量方法设a=(x,y),b=(x1,y1),然后利用不等式a-b≥a-b导出1,这是不妥当的.如果修正为利用不等式a-b≥a-b,进而有a-b 2≥(a-b)2,然后最终得出1,那就没有问题了.命题2是(x-∑ni=1xi)2+(y-∑ni=1yi)2≥(x2+y2-∑ni=1xi2+y2i)2.2这个命题是一个错误的命题.例如取n=2,x=y=1,x1=y1=-1,x2=y2=2,则2的左端等于0,右端等于8,所以2式不成立.为什么会产生这个错误呢?原因是,依原文中用向量方法推导,当令a=(x,y),b=∑ni=1ci,ci=(xi,yi)时,虽然…     

柯西不等式的再推广

黄毅老师在文 [1]中给出了柯西不等式的一个变形及其推广 ,本文在此基础上作进一步的推广 .引理 1(赫尔德不等式 )已知 ai,bi ∈ R+ ,i = 1,2 ,… ,n且α +β =1,1)若αβ >0 ,则∑ni=1aαibβi ≤ ( ∑ni=1ai)α( ∑ni=1bi)β2 )若αβ <0 ,则∑ni=1aαibβi ≥ ( ∑ni=1ai) α( ∑ni=1bi) β引理 2　已知 xi,yi ∈ R+ ,i =1,2 ,… ,n1)若 r >1或 r <0 ,则∑ni=1xiyri ≥ ( ∑ni=1yi) r( ∑ni =1x 11 -ri ) 1 -r2 )若 0 相似文献   

向量导数巧求最值

恰当地应用好向量和导数,许多最值问题便迎刃而解,并且利用向量和导数来求最值,容易被学生接受.为了便于比较.一、用|a||b|≥a.b求最值例1已知x,y,z∈R ,且x y z=1,求x1 4y z9的最小值.解:令a=(1x,2y,3z),b=(x,y,z),则|a|2=1x 4y 9z,|b|2=1,(a.b)2=(1 2 3)2=36.由|a|2|b|2≥(a.b)2得,1x 4y 9z≥36,当且仅当1x=2y=3z时等号成立,即x=16,y=31,z=21.∴1x 4y 9z的最小值为36.例2已知ai,bi∈R ,且∑ni=1ai=∑ni=1bi=1,求a1a 12b1 a2a 22b2 … ana 2nbn的最小值.解析:令p=(a1a1 b1,aa2 2b2,…,anan bn,q=(a1 b1,a2 b2,…,an bn),则|p|2=a1a 21b1 a…     

一类分式不等式的简证

文[1]用均值不等式广泛地解决了一类分式不等式的证明 .本文来介绍这类不等式的一般性证法 ,证明中用到柯西不等式及其推论 .柯西不等式设 ai,bi ∈ R( i =1 ,2 ,… ,n) ,则 ( a21 + a22 +… + a2n) ( b21 + b22 +… + b2n)≥( a1 b1 + a2 b2 +… + anbn) 2推论　设 ai,bi ∈ R+( i =1 ,2 ,… ,n) ,则a21b1+ a22b2+… + a2nbn≥( a1 + a2 +… + an) 2b1 + b2 +… + bn下面结合文 [1 ]中的一例阐述推论的应用 .例 1　设 ∑ni=1xi =1 ,xi ∈ R+,i =1 ,2 ,… ,n,证明 :x11 -x1+ x21 -x2+… + xn1 -xn≥ nn -1左边 =x21x1 -x21+ x22x2 -x22+……     

善用八种函数的单调性证明不等式

<正>本文结合实例介绍利用八种函数的单调性来证明不等式,供大家参考.一、善用一次函数的单调性证明不等式例1已知实数x,y,z满足|x|<1,|y|<1,|z|<1,求证:xyz+2>x+y+z.证明待证不等式x(yz-1)+2-yz>0.选定x为主元,设f(x)=(yz-1)x+2-y-z.因为|y|<1,|z|<1,所以yz-1<0,函数f(x)在(-1,1)内是减函数;又f(1)=yz-1+2-y-z=(y-1)(z-1)>0,于     

函数、导数与不等式综合练习

一、选择题1.已知{x|x2-1=0}A{-1,0,1},则集合A的子集个数是().A.3B.4C.6D.82.已知全集I=R,集合M={x|x2-3x-4<0},N={x||x-1|>2},则M∩IN=().A.{x|31是|a+b|>1的充分而不必要条件,命题q:函数y=|x-1|-2的定义域是(-∞,-1]∪[3,+∞)则().A.“p或q”为假B.“p且q”为真C.p真q假D.p假q真4.将奇函数y=f(x)的图像沿x轴的正方向平移2个单位,所得的图像为C,又设图像C′与C关于原点对称,则C′对应的函数为().A.y=f(x+2)B.y=f(x-2)C.y=-f(x+2)D.y=-f(x-2)5.设a>0,…     

利用S=a1/1-q证明一类分式不等式

我们知道,无穷递缩等比数列各项和S=a1/1-q(a1是首项,q是公比),利用这个公式证明型如n∑i=1 ai/1-qi≥P这类难度较大的分式不等式,比常规的证明方法要简便得多,且思路单一,易于操作.现举例说明如下.     

2003年安徽省高中数学竞赛初赛试题及解答

一、单项选择题 (每小题 6分 ,共 3 6分 )1 定义 :A -B ={x|x∈A且x B},若M ={x|1≤x≤ 2 0 0 2 ,x∈N },N ={y|2≤ y≤ 2 0 0 3 ,y∈N },则N -M等于 (　 )(A)M　　 (B)N　　 (C) {1 }　　 (D) {2 0 0 3 }2 函数 f(x) =-(cosx)lg|x|的部分图像是 (　 )3 若不等式a +b≤m· 4a2 +b2 对所有正实数a、b都成立 ,则m的最小值是 (　 )(A) 2　　 (B) 2　　 (C) 2 34 　　 (D) 44 曲线 2x2 -xy -y2 -x -2 y -1 =0和 3x2 -4xy +y2 -3x +y =0的交点有 (　 )(A) 2个　 (B) 3个　 (C) 4个　 (D)无穷多个5 设 0   

绝对值方程、不等式的解法

我们把绝对值符号里面含有未知数的方程或不等式叫做绝对值方程或不等式。例如|x-1|=3,|x-1|+|x-2|+|x-3|=x是绝对值方程,又如|1/3-x|≥3,|x-1/2|-|x-2|+|x+4|>5是绝对值不等式,而是含有未知数x、y的二元一次绝对值方程组。解绝对值方程或不等式的基本思想是根据绝对值的定义,去掉绝对值符号,化为普通方程或不等式再求解。关键是正确使用绝     

一个含参数的不等式及其应用

由不等式a2 + (λb) 2 ≥ 2λab(a,b∈R ,λ为参数 ) ,得a2 ≥ 2λab-λ2 b2 .由此得到如下一个推论 :若b >0 ,则a2b ≥ 2λa-λ2 b. ( )对于参数λ的任一实数值 ,不等式 ( )总是成立的 ,当且仅当λ =ab 时 ,取等号 .值得重视和有趣的是应用这个不等式可以简捷、巧妙地证明一类分式不等式 .现举例说明 .例 1　设xi >0 (i =1 ,2 ,… ,n) ,求证 :∑ni=1x2 ixi+1≥ ∑ni=1xi(xn+1 =x1 ) .证明　由xi >0及 ( ) ,得x2 ixi+1≥ 2λxi-λ2 xi+1 .∴∑ni=1x2 ixi+1≥ ∑ni=1(2λxi-λ2 xi+1 )=(2λ -λ2 ) ∑ni=1xi.取λ=1 ,原不等式得证 .例 2　设…     

高一数学测试

一、选择题(共12小题,每小题5分,共60分,在每一小题给出的4个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.观察集合A={1,2,3},B={1,2,3,4,5},它们之间的关系是()(A)A=B(B)A B(C)A B(D)A B2.不等式|3-x|<2的解集是()(A){x|x>5或x<1}(B){x|11}3.已知p是命题,┐p是命题p的否定,如果┐p q,且q/┐p,那么p是┐q的()(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件4.函数f(x)=3-x-1的值域是()(A)R(B)(0,+∞)(C)(-1,+∞)(D)[0,+∞)5.函数y=x+|xx|的图象是()6.已知y=x2+2(a-2)x+5在(4,+∞)上是…     

一个代数不等式的代数证法

本刊文 [2 ]用几何方法改进并证明了文[1]出现的不等式 :已知 x,y∈ R,求证x2 +y2 +( x -1) 2 +y2 +x2 +( y -1) 2 ≥ 22 ( 3 +1) .这体现了由数到形的沟通 ,但还不是完整意义上的数形结合 ,本文补充由形到数的沟通 .首先将费马点所提供的几何意义 ,用复数乘法把 OP,AP,BP首尾连接 ,再用复数模不等式|z1 |+|z2 |+|z3 |≥ |z1 +z2 +z3 |1拉直 ,得出证明 1;然后把复数运算“翻译”为配方 ,并把 1改写为∑3i= 1a2i +b2i ≥ ( ∑3i=1ai) 2 +( ∑3i =1bi) 2 ,2得出更直接的代数证明 .其中的复数证法能说明配方的来由 ,而不是妙手偶得的技巧 .…     

赛题中“双层最值”求法初探

“双层最值”是指求函数的最值的最大值(或最小值 )问题 ,又称“复合最值”.近几年在国内、外数学竞赛中常有“双层最值”出现 ,本文就几个赛题 ,谈一谈解题的构思 .1　转化法根据条件将问题转化为我们熟知的结论或常见的函数 .例 1　试求 u(p,q) =max{| 1 + p + q| ,| 4 + 2 p + q| ,| 9+ 3 p + q| }的最小值 .解 :设 f (x) =x2 + px + q,则| f (1 ) | =| 1 + p + q| ,| f (2 ) | =| 4 + 2 p+ q| ,| f (3 ) | =| 9+ 3 p + q|由 f (1 ) + f (3 ) -2 f (2 ) =2则 | f (1 ) | + 2 | f (2 ) | + | f (3 ) |≥ 2 1所以 max{| f (1 ) | ,| f (2 )…     

逆用等比数列求和公式,巧解非等比数列问题

设{an}是首项为a1,公比为q的等比数列, (1)若q≠1,则a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1=a1(1-qn)/1-q (*) (2)若|q|<1,则a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1+…=a1/1-q (**) 逆用上述等比数列求和公式,可巧解许多非等比数列问题.     

《数学通报》第2562号问题的探究

《数学通报》2020年9期数学问题2562给出了不等式:已知a,b,c>0满足a+b+c=3,则1-ab 1+ab+1-bc 1+bc+1-ca 1+ca≥0(1).不等式结构对称,值得关注.为此,本文拟对不等式(1)的证明方法、变式、推广等方面作一探究.为了表述方便,由∑n k=1 x k y k·∑n k=1 x ky k=∑n k=1 x k y k 2·∑n k=1 x ky k 2≥∑n k=1 x k 2,可得柯西不等式的一个变式:引理设x 1,x 2,…,x n>0,y 1,y 2,…,y n>0,则有∑n k=1 x k y k≥(∑n k=1 x k)2∑n k=1 x ky k(2),等号当且仅当y 1=y 2=…=y n时成立.     

逆用无穷递缩等比数列各项和求解几道竞赛试题

逆用无穷递缩等比数列各项和∑^＋∞ a=1 a1q^n=a1/1-q（｜q｜〈1）可以证明竞赛试题．下面举三例以说明．