用解不等式的方法证明不等式

<正>在证明不等式的题目中，不等式的右边常常是一个常数.此时，我们实际上可以将问题理解为是求左边表达式的取值范围.那么，我们可以把左边表达式的一部分设为x,先将x的取值范围求出来，然后利用函数性质等工具求出左边式子的取值范围.也可以说，在证明不等式时，我们以逆向的方式思考问题，用解不等式的方法证明不等式，给不等式的证明提供一种新思路.例1 已知正实数a,b满足a+b=1,求证：证明 设ab=x,由条件得,即有要证,     

7—8月合刊《数学潜能知识竞赛》参考答案

5．问：已知a、b为实数，a的平方根为a＋b和b-2a，求a、b的值。     

关于对(x+a)(x+b)的探索

例１已知（x＋a）（x＋b）＝x２＋５x＋ab，且a和b都是正整数．求a和b的值．解：依多项式的乘法法则，可得（x＋a）（x＋b）＝x２＋（a＋b）x＋ab，由已知，得x２＋５x＋ab＝x２＋（a＋b）x＋ab，∴a＋b＝５．又由a和b都是正整数，可得到．a＝１，b＝４ 或a＝２，b＝３ 或a＝３，b＝２ 或a＝４，b＝１ 如果把例１改一下，可得到例２．例２已知（x＋a）（x＋b）＝x２＋（a＋b）x＋６，且a和b都是正整数，求（x＋a）（x＋b）的运算结果．类似例１的解法，易得a＋b的值为７或５．把例２再改一下，可得例３．例３已知（x＋a）（x＋b）＝…     

一次不等式自测题

一、填空1．若a＜b，c＞0，则a＋cb＋c，a－cb－c，acbc.2若a＞b，c＜0，则acbc．3．若a、b是已知数，且a≠0，则不等式a　b＜0的解集是．4．不等式组的解集是5.不等式组的解集是6.不等式组的解集是7．不等式组的解集是．8.不等式组，的解集是二、用不等式表示1．x的5倍与3的差小于x的3倍与7的和；2.x的与x的的和大于5；3．x与5的和的不大干10；4．x的2倍与3的差的5倍不小于15三、解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来四、解下列不等式组，并把它们的解集在数轴上表示出来五、求不等式5（2x－3）≥4（3x－5）的正整数解．六、求不…     

“椭圆离心率”的求解及其几何意义

椭圆的离心率e=c/a= 反映了椭圆的扁圆程度,e越大,b/a越小,椭圆越扁;反之e越小,b/a越大,椭圆越圆.而以考察离心率为切入点的试题在高考中常常出现.求椭圆的离心率e时,常视c/a(或b/a)为一个整体. 一椭圆离心率的求解椭圆离心率的求解问题可以分三类:第一类由椭圆方程求离心率;第二类由椭圆定义求离心率:第三类由几何条件求离心率.其共同的过程是把a、c都求出来或转化成关于c/a的方程与     

一元二次方程有公共根问题的解法归类

两个一元二次方程有公共根问题，是近年来中考和数学竞赛的热门题．这类题的解法灵活、技巧性强．本文归纳出几种解法，供参考．一、利用方程报的定义列方程组求周例1b为何值时，方程X2-bx－2＝0和X2－2X－b（b－1）＝0有相同的整数根？并求出公共报．（1992年四川数赛题）解用设相同的整数根为a，则（1）－（2）可得：（2－b）（a－b－1）＝0．当b—2时，两方程相同，解方程知无整数根．当bedZ时，a—1＋b，把。一1＋b代人（）得：（IWb）’－b（1＋b）－2—0．解得b一1，此时a—1＋b一2·．”．b为1时，两方程有相同整数根为2．二、求…     

从一个看不懂到看得懂的解答引出的思考

题目 已知正数a,b,c满足a＋2b ＋3c≤abc,求5a＋22b＋c的最小值.文[1]用很难想到的配凑和多元均值不等式解答,由于太略,使人看不懂,文[2]把文[1]的太略详尽出来,虽然看懂了,但技巧之高,难度之大让人莫及,那么这样的题有没有好想也比较好做的解法呢？若有,何必去强求很难想到的技巧呢？其实,用导数求函数的值域（最值）就可自然的解答.     

从三种观念抓勾股定理的教学

一、公式变形观念初学勾股定理时 ,可结合右图 ,要求学生牢记 a2 b2= c2。同时 ,更重要的是引导学生得出变形公式 ,可以列成如下表格 :勾股定理∠ C=90° a2 b2 =c2已知求变形公式a、b c c=a2 b2a、c b b=c2 - a2 =( c a) ( c- a)b、c a a=c2 - b2 =( c b) ( c- b)　　如果教师没有把公式变形的观念点出来 ,学生往往只是用原公式解题 ,如已知直角三角形中斜边 c=2 5,直角边 a=2 4 ,求直角边 b。没有点出公式变形观念 ,学生会根据勾股定理导出 2 4 2 b2 =2 52 ,然后解出b= 7,点出了变形观念后 ,学生明确了解题目标 ,就能迅速选用变…     

学习等比性质应注意的几个问题

学习等比性质应注意下面三个问题：一、等比性质的证明方法九义课本《几何》第二册P202关于等比性质的证明方法叫做参数法，即通过引进参数k，以它为桥梁建立已知与未知或条件与结论之间的联系，从而达到解题或证题的目的．这种方法具有极为重要的典型性，求解与等比（或连比）有关的问题都可采用这种方法．请看下例．＝24，求a、b、c的值，解设，则将上述三式代人3a＋2b－c＝24，得故a＝6，b＝10，c＝14．例2已知a：b：a＝3：4：6，且2a－b＋3c＝20，求4a＋3b－2c的值．解因a：b：c＝3：4：6，故可设a＝3k，b＝4k，C＝6k．将上述三式代入2…     

一道最佳数学问题

《美国数学月刊》与《科学美国人》是两份在全世界有很大影响的专业杂志,这两家杂志的编辑部曾联合邀请全世界的数学家评选“近50年的最佳数学问题”.出乎人们预料的是,中选的问题中有如下一道相当简单的问题:有哪些分数abbc(分子、分母都是两位数,分子的个位数与分母的十位数都是b,分子的十位数a与分母的个位数c均异于b),不合理地把b约去得到ca,然而,歪打正着,结果却是对的?比如,6146就是这样的分数,因为6164=41.要把所有这样的分数求出来也不难.实际上,这个问题即求数a,b,c(a≠b,c≠b)使得1100ba++bc=ac,亦即使得9a(c-b)=b(a-c).(*)由式(*…     

例谈均值不等式中等号成立的条件

在整个高中数学中，求函数的最值是一项重要内容。这类问题常和生活实际联系比较密切。由于应用问题已进入高考，而且具有强烈的时代气息，所以最值问题也是高考的热点和难点问题。求函数最值的方法有很多种，利用均值不等式求最值是一种比较常用的方法。对均值不等式，高考已限制在二元、三元均值不等式的应用。以三元均值不等式为例：若a、b、c∈R＋，则a＋b＋c≥３３abc姨（当且仅当a＝b＝c时等号成立）利用此不等式求最值时应注意以下几个问题：（１）a、b、c∈R＋；（２）a＋b＋c或abc为常数；（３）不等式中等号成立的条件必须具备。…     

’99高考数学（17）题的几何背景及其解法

’99高考数学理科(17)题：设a、b为正实数，且ab=a b 3，求ab的取值范围。     

构造定积求最小值

我们经常见到如下求最小值的问题： 已知a,b∈（0,＋∞）,a＋b=1,求y=1/a＋2/b的最小值.     

一道中考试题的分析及启示

题目（2011年西宁市高中招生考试数学试卷第22题）： 给出三个整式a2，b2和2ab （1）当a=3，b=4时，求a2＋b2＋2ab的值。     

《因式分解》自测题与自测指导

自测题（时间60分钟，满分120分）一、填空题（每空2分，共36分）：1.把一个多项式化为叫做把这个多项式因式分解．2.将一个多项式因式分解的思考过程是：（1）先考虑是否有可提；（2）考虑是否可用分解因式；（3）考虑是否可用分解因式；（4）考虑是否可用分解因式．3．因式分解与整式乘法的关系是．二、分解因式（每小题5分，共40分）：三、计算（每小题8分，共24分）：14.已知a－b＝2，ab＝3，求a3-b3的值；15．已知圆面积等于47rx’＋12。xy＋9。y’，求表示该圆半径长的代数式；16．已知距形的面积等于a‘＋sab＋6b‘，求表示该矩形两…     

“用三角形法求直线实长”的一种简化方法

在《机械制图》“直线的投影”一章中，我们通常采用三角形法求一般位置直线的实长。但学生在初学中经常出现错误，教学效果不理想。在几年的教学实践中，我总结出一种简化方法，可以概括为“在哪个投影面内求实长，就以该投影面内的投影和该投影面体现不出来的两个点的坐标差为直角三角形的两直角边，求做直角三角形，斜边即为实长。”例：求下图中直线AB的实长。做法：1、过a’点做a’b’的垂线；2、因a’、四只体现X、Z两个坐标值，不体现Y坐标值，就求A、B两点的Y坐标值差（从水平投影中求得YB－YA）；3、在a’b’的垂线上截得a’h…     

“含有字母系数的一元一次方程”的解法

用字母表示数是代数的一个重要特点.它可以把数或数量关系简明地表示出来.如“一个数的a倍(a≠0)等于b,求这个数”,用x表示这个数,可得方程ax=b(a≠0).其中x是未知数,a和b是用字母表示的已知数,a是x的系数,叫做字母系数,b是常数项.这种方程叫做字母系数方程。我们用它来表示一元一次方程的标准形式,但这里的a、b是具体的     

根的存在性定理的一个应用

用二分法求方程近似解的过程中,用到了根的存在性定理：“若函数f（x）在闭区间[a,b]上连续,且f（a）f（b）〈0,则在（a,b）内至少存在一点x0,使得f（x0）=0”．在教学中,我们遇到一类有趣的问题：求解时涉及到函数的极值,可是极值点却求不出来．对此,同学们大多束手无策,本文利用根的存在性定理给出一种“设而不求”的破解方法．     

与整式乘除有关的猜想归纳

利用整式乘除运算以及猜想归纳，会发现许多有价值的规律，同时也有利于提高我们的发现能力及创造能力．例１（１）计算：①（a－１）（a＋１）；②（a－１）（a２＋a＋１）；③（a－１）（a３＋a２＋a＋１）；④（a－１）（a４＋a３＋a２＋１）．（２）根据（１）中的计算，你发现了什么规律，并用公式表示出来．（３）根据你所发现的规律，直接写出下题的结果：①（a－１）（a９＋a８＋a７＋a６＋a５＋a４＋a３＋a２＋a＋１）；②若（a－１）·M＝a１５－１，求M；③（a－b）（a５＋a４b＋a３b２＋a２b３＋ab４＋b５）；④（２x－１）（…     

一道中考题的解法探讨

题目(2007年·德阳)已知a b=2,则a2-b2 4b的值是().A.2B.3C.4D.6分析1:已知条件是一个含有字母的等式,无法求出字母的具体值.注意到待求式中a2-b2可分解为(a b)(a-b),因此可把a b=2整体代入待求式中求值.解法1:a2-b2 4b=(a b)(a-b) 4b.把a b=2代入(a b)(a-b) 4b,得a2-b2 4b=2(a