2002年上海市高中数学竞赛试题

一、填空题(共70分)1.一个正△ABC内接于椭圆x2/9+y2/4=1,顶点A的坐标为(0,2).过顶点A的高在y轴上,则此正三角形的边长为____.2.已知x、y为正数,且x/y的值为____。3.袋里装有35个球,每个球上都记有从1到35的一个号码,设号码为n的球重(n2/3-5n+23)克,这些球以同等的机会(不受其重量的影响)从袋里取出.若同时从袋内任意取出两球,则它们重量相等的概率为(用分数作答).     

2002年上海市高中数学竞赛

说明 :解答本试卷不得使用计算器一、填空题 (每小题 7分 ,共 70分 )1.一个正△ＡＢＣ内接于椭圆ｘ29+ｙ24 =1,顶点Ａ的坐标为 (0 ,2 ) ,过顶点Ａ的高在ｙ轴上 .则此正三角形的边长为 .2 .已知ｘ、ｙ为正数 ,且 ｓｉｎθｘ =ｃｏｓθｙ ,ｃｏｓ2 θｘ2+ｓｉｎ2 θｙ2 =103(ｘ2 +ｙ2 ) .则 ｘｙ 的值为 .3.袋里装有 35个球 ,每个球上都记有从 1到 35的一个号码 ,设号码为ｎ的球重 ｎ23- 5ｎ +2 3克 ,这些球以同等的机会 (不受其重量的影响 )从袋里取出 .若同时从袋内任意取出两球 ,则它们重量相等的概率为 (用分数作答 ) .4 .已知正四棱台的…     

考考你

问:有个袋子里装有n只球,取球的规则是:每次取出n/2只球,然后,又往袋里放回一只球。取了567次以后,袋里只剩下2只     

一道竞赛题的两种解法

题目：半径为r的金属球远离其他物体，通过阻值为R的电阻接地．电子束从远处以速度u落到球上，且每秒钟有n个电子落到球上，试求每秒钟球释放的热量．     

错位数公式的化简

错位排列数把编号为1，2，…，n的n个球装入编号为1，2，…，n的n个盒子中，每个盒子装一个球，但1号盒子里不能装1号球，2号盒子里不能装2号球，…，n号盒子里不能装n号球，这种装球的方法就叫做1，2，…，n的错位排列，这种装球的方法数就叫做1，2，…，n的错位排列数，记作Dn．     

争上月球

上月球?这怎么可能呢?别惊讶,这是一种数学游戏。做游戏?你一定高兴了吧?那你就按我说的办法去做。上月球首先得有火箭,我们就来用厚纸剪9个火箭,再按1至9的号码顺序给火箭编(biān)上号,就可以做游戏了。玩法:你和你的伙伴代表两个宇航员,先用石头     

智能篮球

我家楼(lóu)下有一个大操(cāo)场(chǎng)，每天都有好多大哥哥在那里打篮(lán)球(qiǘ)。他们投(tòu)得很(hěn)准(zhǔn)，我好羡(xiàn)慕(mù)他们呀!我也很喜欢打篮球，但(dàn)因(yīn)为(wèi)我还小，总(zǒng)是投不进篮筐(kuāng)，有时球掉(diào)到我身(shēn)上，还很疼(téng)。我想，如     

球的内接正多面体的体积比较

我们知道，对于圆的内接正n边形而言，当半径一定，n越大其面积越大．那么对于球的内接正，n面体（n=4，6，8，12，20）而言，是不是也有类似的结论，即当半径一定，n越大，正n面体的体积越大．本文给出一种计算正n面体体积的方法，并将运用此结论对球的五种内接正多面体的体积作一比较．     

关于同径球的三种特殊堆垒的思考

把半径相同的球由底面向上逐层一个空(kong)对空堆垒,使同层球相切,且到最后无空.“空”就是间层中相邻三球中间的空隙.若最底层是正三角形、正方形、圆形,则从最顶层到最底层中每层球的个数有何规律呢?从最顶层向下n层后共有多少球呢?本人带着这个想法作了一些实验,取得一些数据,经过近一年的分析思考得到一些结论如下:1 最底层是正三角形 设从上到下前n层球数为:a1,a2,a3,a4,… a_n,则a1=1,a2=3,a3=6,a4=10,a5=15,…,a_n=n(n+1)/2 从而可得第n层球数通项公式为:a_n=n(n+1)/2     

海洋球里的我

我6岁的时候,爸爸带我到哈尔滨动物(wù)园玩(wán)。动物园里好玩的地方太多了,我看得眼(yǎn)花缭(liáo)乱(luàn)。我在蹦(bèng)蹦床上跳得满(mǎn)头大汗(hàn),甭(béng)提多高兴了。正在这时,我突然发现在滑(huá)梯(tī)下面有许多五颜(yán)六色的海洋(yáng)球,我从滑梯上滑下去,结果刚一迈左腿(tuǐ),整个人就冲进了海洋球堆(duī)中。球太多了,我半天也没爬起来,我慌得连忙喊:“爸爸,爸爸,快来救(jiù)我呀……”你看,照片上的我在海洋球中是哭(kū)还是笑呢?海洋球里的我@董奥$铁力市铁力农场小学二(1)班!学生…     

扫帚曲棍球

游戏道具：每队1把扫帚，1块抹布或1只球，两把椅子 游戏玩法： 1．分成两个队。每队球员各自确定1个号码，但不要让对方球员知道。如果球队由6个     

对概率论中一种取球问题的探讨

概率论中有各种各样的取球问题，现就其中的一种取球问题作一探讨。先看一个例子：例1：甲乙两袋中各放有m1和m2个白球及n1和n2个黑球。从两袋中各任取一球，而后再从两球中任取一球，求取得的球是白球的概率。     

2007年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学(必修+选修Ⅰ)(乙卷)

参考公式如果事件A、B互斥，那么代A+B)二只A)+八B)如果事件A、B相互独立，那么八滩.B)韵峨月)·只B)如果辜件A在一次实验中发生的概率是p，那么n次独立重复实验中事件A恰好发生k次的概率只(k)二C之P‘(l，)”一‘(k二0，l，2，…，n)球的表面积公式S二4叮RZ其中R表示球的半径球的体积公式v=生下尺3其中R表示球的半径3曲线方程为尹_ 4 12兰_匕二106 (B)传一子二’(D)管一花二’、.产、.产AC了搜、J声.、(5)甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有(A)36种(B)48种(C)%种(D)19…     

茸茸毛线球

毛线球,毛茸茸的,暖(nuǎn)乎乎的。照(zhào)我说的做,它就是你的啦。1.做两个大小一样的纸(zhǐ)圈(quān),纸圈的大小决定(jué dìnɡ)球的大小。     

一个问题的显式解

下面是一个Josephus问题：将1,2,…,n按顺时针方向安排在一个圆上.先将2划掉，以后按顺时针方向每隔一个数划掉一个，直到仅剩下一个数为止，记这个数为f(n).求f(n).在n为具体数值时，这是一道小学或初中的数学竞赛题．要从一般的n来直接求f(n)的确是比较困难的.下面用递推和归纳法来求出这一问题的显式解．我们先从n-1,2,3,…开始计算f(1),f(2),f(3)，…,列表如下：从上表中我们已经可以看出f(n)的取值规律如下：2，在n取2~k，2~k＋1,2k 2,…,时，f（n)依次取值为了证明上述两个猜想，我们需建立以下两个递归关系：引理证(1)将1,2,3,…,2n…     

具有共变对称张量场的仿射超曲面

本文用活动标架法证明了:(1)若M~p(n≥2)是n 1维仿射空间A~(n 1)中非退化的仿射超曲面,则△~2S共变对称(或R·S=0),当且仅当M是仿射球;(2)若M~n(n≥2)是A~(n 1)中非退化的防射超曲面,则△K共变对称当且仅当M是仿射球,若△K和△K都共变对称,则M是仿射球,且J=0和仿射度量G是Einstein度量。     

红与黑

有两个袋子 黑袋里装着 ,2000粒左右黑豆 红袋里装有 ,3000粒左右红豆 先从黑袋里 ,拿出50粒放进红袋里 再把红 ,袋里的豆子搅匀 然后眼睛不 , 看 就那么从红 , 袋 里 拿 出 50 粒 放进黑袋 接着 。 重复这个步骤 : 但 这 回 是 从 黑 袋里拿 出100粒 豆子放进红袋 ,搅匀后再从红袋里拿出 100粒放进黑袋 请问这时红袋里的 。黑豆比 黑 袋 里 的 红 豆 多 还 是少 ? 面前的问题挺复杂 着手 ,解决它时可以考虑先把问题简化一下 从…     

抽签问题的多种分析方法

问题 假定在n张票中有2张奖票(n≥2)，n个人依次从中各抽1张，且后抽人不知道先抽人抽出的结果，求第i个抽票者(i=1，2，…，n)抽到奖票的概率．     

高考立体几何考点解析与试题集粹（中）

探索联想。例1把n个不同的球随机地放入编号为1，2，…，m的m个盒子内，求1号盒恰有r个球的概率．     

求级数∞∑n=1 1／n^2和的另一种方法

利用四维空间中的球：U^2 V^2 W^2 Z^2≤1／2π^2x^2，可以求出这个球内整点数A（x)的渐近公式：A（x)=1/2π^2x^2 O(x^3/2)。另一方面，利用不定方程U^2 V^2 W^2 Z^2=n的解数r(n)的表达式求出A（x)的另一个渐近公式，两个结果比较后得级数∞∑n=1 1/n^2的和为π^2/6。