函数的最大值与最小值

函数的最大值与最小值是指函数在整个定义域范围内函数值的最大值与最小值．我们遇到的求最大值和最小值的问题．绝大部分可以归结为求函数的最大、最小值．这一部分内容是学习函数时需要掌握的重要知识点．本讲将分别讨论一次函数、二次函数、简单的分式函数和无理函数的最值问题．     

关于一次函数的最大值和最小值

一次函数y=kx+b(k≠0)在一般情况下是单调函数,没有最大值和最小值,但在某些特定情况下,比如对于一些特定的定义域,一次函数却存在最大值或最小值,尤其是应用题,常常附加某些特定条件,使一次函数附加了特定的定义域,于是,一次函数在特定的定义域内就有了最大值和最小值了,因此,对于一次函数的最值问题,切切不可等闲视之。     

二次函数中常见关系式符号的判断

在二次函数y=ax~2+bx+c(a≠0)中,往往有已知它的图象,请判断一些关系式的符号的题.现将类型和方法归纳后,供大家参考.一、参数符号的判定(1)二次项系数a的符号的判定因为二次项系数a定二次函数的图象开口方向,是向上或向下.或定二次函数的最值,是最大值或最小值.所以当二次函数的开口方向向上(或有最小值)时,a>0;当二次函数的开口方向向下(或有最大值)时,     

二次函数在闭区间上的最值求法

在某个给定的闭区间上二次函数的最值,除了出现在顶点上,还有可能出现在端点上,尤其是二次函数的对称轴是变量时,最值的确定要分类讨论。一求解方法对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0). 1.定义域为R,当a>0时,此函数的最小值为(4a-b2)/4a;当     

二次函数在给定区间上的最值

二次函数在给定区间上的最值宁夏陶乐县一中张占兵讨论函数的值域,得到函数值的变化范围,是研究函数性质的一个重要方面．而求函数在定义域上的最大值和最小值,又是求得函数值域的主要手段之一．二次函数ｆ（ｘ）＝ａ（ｘ＋ｍ）２＋ｎ的极值问题,在初中《代数》中是难...     

如何求解二次函数最值不在顶点处的问题

<正>有一类二次函数的最值问题,它的自变量x的取值范围为全体实数中的"某一段",欲解x的这段范围内的函数最值问题,应视情况而定:当x的"某一段"范围分布在对称轴的两侧时,函数最值就是二次函数的最值;当x的"某一段"范围分布在对称轴的左侧或右侧时,要根据对称轴两侧二次函数的增减性来确定最值,常常在"端点"处的纵坐标值就是此段范围内的函数的最大值或最小值.例1(2014年舟山中考题)当-2≤x≤     

初中数学升学复习测试题精编──函数及其图象（二）

初中数学升学复习测试题精编──函数及其图象（二）一、填空题１．已知函数，当ｍ时它是二次函数；当ｍ时函数有最大值，最大值为；当ｍ时函数有最小值，最小值是２．一个二次函数的图象与的图象形状相同，且开口方向一致，顶点坐标（１，４），那么，这个二次函数的解析...     

利用数学原理求函数的最值问题

在中学数学的教学中,经常遇到求函数最值的问题,所谓最值是指在某区间内的最大值或最小值,即:一般地,设函数y=f(x)的定义域为Ⅰ,如果存在实数M,①对任意x∈Ⅰ,f(x)≤M;②存在x0 ∈Ⅰ,f(x0) =M,称M为f(x)的最大值,若存在实数N,满足x∈Ⅰ,f(x)≥N,存在x0,f(x0)=N,则称N为f(x)的最小值.下面谈谈利用数学原理求函数的最值问题.     

初中数学中的函数最值问题

最值问题是初中数学的一个重要内容,也是各种考试命题的一个热点。笔者根据自己的教学体会,将初中阶段所涉及的求函数最值问题的题目类型归纳如下。 一、求y=ax~2+bx+c(a≠0)型的最大(小) 值 当a>0时,y最小值=(4ac-b~2)/4a;当a<0时,y最大值=(4ac-b~2)/4a。 例1.求y=-2x+7的最大值. 解 ∵a<0,∴y最大值=(81)/8. 例2.求y=2x~2-3x+4的最小值. 解 ∵a<0,∴y最小值=(23)/8. 二、求隐二次函数的最大(小)值 已知y与x不成二次函数关系,但z与x成二次函数关系,可以先求z的最大(小)值,而后再求y的最大(小)值. 例3.求函数y=1/(2+(x-1)~2)的最大值.     

增减不定最值的另类求法——诱导法

对于y=f(x),x∈N*,f(x)在其定义域上有增有减,如直接用函数单调性或导数法求其最值,或麻烦,或求之不得.然而换个角度,如用“诱导法”,或许会柳暗花明.模型:对已知y=f(x),x∈N*,设当x-k时取得最大值(最小值类似),则必有     

最值不一定在顶点处取得

<正>受思维定势的影响,不少同学看到二次函数或类似于二次函数的最值问题,都会想到利用配方法或公式法确定其最大值或最小值.殊不知,在有些题目中常隐含着一些约束条件,最值不一定在二次函数的顶点处取得.我们在求解这类问题的过程中,只有认真分析、周密思考,正视约束条件的存在,才能正确求出二次函数最值.下面举例说明,希望对同学们有所帮助.例1 (2021年贺州中考题)如图1,抛物线y=x²+bx+c与x轴交于A,B两点,     

分类取舍法:求指定自变量范围内的二次函数的最值

<正>当二次函数中的自变量x的取值范围为全体实数中的"某一段"时,欲求x在这段范围内的函数的最值,需看x的这段范围是分布在对称轴的左侧、右侧还是对称轴的两侧,应视情况而定:当x的这段范围分布在对称轴的两侧时,函数最值就是二次函数的最值,当x的这段范围分布在对称轴的左侧或右侧时,要根据对称轴两侧二次函数的增减性来确定最值,常常在"端点"处的纵坐标值就是此段范围内的函数的最大值或最小值.     

如何利用导数解决生活中的许多优化问题

生活中的许多优化问题,往往可以归结为求函数的最大值或最小值的问题,在利用导数解决这类优化问题时,其一般步骤是:(1)设出恰当的未知量,并确定未知量的取值范围(即函数的定义域);(2)依题意将所求最值的量表     

函数f(x)=(a±bx)~(1/2)±(c±dx)~(1/2)的最值

函数f(x)=a±bx±c±dx(a,b,c,d>0,定义域非空,下同)的最值可分为以下三类.第一类型如f(x)=a-bx+c-dx,f(x)=a-bx-c+dx的函数在定义域内单调递减;型如f(x)=a+bx+c+dx,y=a+bx-c-dx的函数在定义域内单调递增.故只要求出其定义域,根据单调性就可求出这类函数的最值.(1)f(x)=a-bx+c-dx无最大值,只有最小值,最小值是f[min(ba,cd)],即[f(x)]min=f[min(ab,dc)].(2)f(x)=a-bx-c+dx既有最大值又有最小值,分别为[f(x)]max=f(-dc),[f(x)]min=f(ab).(3)f(x)=a+bx+c+dx在定义域内单调递增,只有最小值,无最大值,最小值是f[max(-ab,-dc)],即[f(x)]min=f[max(…     

奇函数一个性质的推广及其应用

若函数f(x)在定义域D(D关于原点对称)内是奇函数,则在定义域D内任意的x都满足f(-x)+f(x)=0,函数f(x)的图像关于原点O(0,0)中心对称,当函数f(x)的最值存在时最大值与最小值的和为0.推广若函数f(x)在定义域D(D关于原点对称)内满足f(z)-c是奇函数(c为常数),则在定义域D内任意的x都满足f(-x)+f(x)=2c,函数f(x)的图像关于点(0,c)中心对称     

初中代数中的极值和最值

一、函数的极大值(或极小值)、最大值(或最小值)。极大值(或极小值):函数y=f(x)在点x_0的附近有定义,并且f(x_0)的值比在x_0附近所有各点的函数值都大(或都小),那么f(x_0)是函数f(x)的一个极大值(或极小值)。最大值(或最小值):f(x_0)是函数y=f(x)在点x_0的函数值,如果f(x_0)≥f(x)(或f(x_0)≤f(x)),对于定义域内的任意x都成立,那么f(x_0)是函数f(x)的最大值(或最小值)。注意: 1.极值是一个局部概念,只研究f(x_0)与点x_0左右邻近的点的函数值进行大小比较。最值是一个整体概念,是在整个定义域内比较函数值的大小。 2.在整个定义域内,如果有极大值(或极小值),其极大值(或极小值)有可能不止一个。如果     

二次函数的最值就是实际问题的最值吗

用二次函数的数学模型解决实际问题是新课标的重要内容,在每年的中考试卷中占有一定的比例。二次函数的最值是解决实际问题中最大值或最小值最为常见的数学摸型,那么实际问题中的最值是不是一定在二次函数的顶点处呢?     

二次函数区间最值的三个类型

<正>二次函数的区间最值问题是近年来中考的热点题型,也是难点题型.二次函数在闭区间上取得最值时,只能是其图象的顶点的横坐标或给定区间的端点.因此,影响二次函数在闭区间上的最值主要有三个因素:抛物线的开口方向、对称轴以及给定区间的位置.二次函数在给定区间上的最值问题,常见的有以下三种类型,分别是:1.定轴定区间例1.在二次函数y=x²-2x-3中,当0≤x≤3时,y的最大值和最小值分别是()     

一堂函数课的教学设计

任何一种教学设计 ,都可以概括为回答三个问题 :( 1 )教什么和学什么 ;( 2 )如何教和如何学 ;( 3)教得怎样和学得怎样 .其实质就是准备过程、教学过程和评价过程 .下面拟就这三个过程谈谈“有约束条件的二次函数的最值”这节课的教学设计 ,并说明几何画板在其中的重要作用 .1　准备过程问题提出的基础是初中学过的二次函数的最值 ,学生已知道 ,给定一个二次函数 ,如果二次项的系数为正 ,其图象开口向上 ,函数有最小值 ,没有最大值 ;反之 ,函数有最大值 ,没有最小值 ;最值是在抛物线的顶点处取得的 ,学生考虑的自变量取值范围是全体实数 .而…     

二次函数最值研究

二次函数闭区间上的最大值和最小值一般在对应图象的顶点或区间端点处取得．因此,关于对称轴与区间的相互位置关系的讨论往往成为解决二次函数在闭区间上的最值问题的关键,通常需要考察“一轴四点”,即对称轴、顶点、区间两端点和区间中点．