例说换元法的简化功能

换元法是用“整体变量”观念将复杂变量用新的变量代换 ,达到“化繁为简 ,化难为易”的目的 .常见的换元转化方式有 :分式向整式 ,无理向有理 ,超越向代数 ,以及函数、三角、几何、复数等的互化 .下面就换元法的作用分类说明 .一、换元法求外层函数由复合函数知 ,外层函数由对应法则和定义域构成 ,且定义域为内层函数的值域 .换元后一定要对新变量求范围 .例 1　函数 f ( x)满足 f ( x2 - 3) =lg x2x2 - 6 ,判断f ( x)的奇偶性 .简析 :本题实质是换元法求外层函数 ,设 u =x2 - 3,由题设知 x2 - 6 >0 ,则 u =x2 - 3=( x2 - 6 ) +3>3,解出 x2 …     

求函数解析式的常用方法

函数解析式是研究函数性质的基础 ,求函数的解析式是函数问题中较难掌握的一类问题 ,下面结合实例谈谈求函数解析式的 1 0种常用方法 .1　配凑法已知f[g(x) ]的解析式 ,求f(x)的解析式 ,常用配凑法 .例 1　已知f(x 1x) =x2 1x2 -x -1x 1 ,求f(x) .解　因为f(x 1x) =(x 1x) 2 - (x 1x) - 1 ,所以f(x) =x2 -x - 1 .评注　配凑法的关键就是通过观察 ,把f[g(x) ]的解析式凑成关于g(x)的形式 .2　换元法已知f[g(x) ]=h(x) ,且g(x)存在反函数 ,求f(x)的解析式 ,常用换元法 .例 2　已知f(x 1x ) =x2 1x2 1x,求f(x) .解　设x 1x =t,则x =1t…     

经济数学基础期末复习指导

第 1章　函数1　例题解析例 1:设 f(x) =x +1,则 f(f(x) +1) =(　　 ) .　A x　　　　　　B x+1　C x+2 D x+3解 :由于 f(x) =x+1,得　　　　f(f(x) +1) =(f(x) +1) +1=f(x) +2将 f(x) =x+1代入 ,得　　　　f(f(x) +1) =(x+1) +2 =x+3例 2 :下列函数中 ,(　　 )不是基本初等函数 .　A y=(1e) x　　　　　B y=lnx2　C y=sinxcosx D y=3x5解 :因为y=lnx2 是由y=lnu ,u =x2 复合组成的 ,所以它不是基本初等函数 .例 3:设函数 f(x) =cosx ,x ≤ 00 ,x >0 ,则 (　　 ) .　A f(- π4 ) =f(π4 )　B f(0 ) =f(2π)　C f(0 ) =f(- 2π)　D f(π…     

多元方程（组）

1.换元法 例1 函数f（x）,g（x）的迭代函数定义为f^（1）（x）=f（x）,f^（2）（x）=f（f（x））,…,f^（n）（x）=f（f^（n-1）（x））,     

由一道高考题看数学思想方法的应用

2001年全国高考数学试题的一个特点是,更加注重对数学思想和方法的考查,试题新颖灵活.请看第22题的解题思路. 题目设f(x)是定义在R上的偶函数,其图像关于直线x=1对称,对任意x1,x2∈[0,1/2],都有f(x1+x2)=f(x1)·f(x2),且f(1)=a>0,(I)求f(1/2)及f(1/4);(Ⅱ)证明f(x)是周期函数;(Ⅲ)记a_n=f(2n+1/2n),求lim(lna_n). 分析:(I)令x1=x2=1/2,代入已知等式,得f(1)=[f(1/2)]2.不少考生的答案是     

例析有关解答几类函数数列题的思维方法

一、求简单复合函数单调区间定理:设函数u=g(x)的值域为N.1.若函数y=f(u)在N上为增函数,则u=g(x)的单调增(减)区间就是函数y=f[g(x)]的单调增(减)区间.2.若函数y=f(u)在N上为减函数,则u=g(x)的单调增(减)区间就是y=f[g(x)]的单调减(增)区间.本文根据上述定理归纳出一个比较容易的求复合函数单调区间的一般方法,其步骤是:(1)在y=f[g(z)](复合函数)中,换元即令u=g(x)(中间函数),则y=f(u)(原函数);(2)求出y=f(u)的单调区间N_i(i=1,2,…,n)并判定出增减;(3)求出使u=g(x)∈N_i的x范围M:(4)求     

一道习题的解法及推广

题目:已知x1是方程x lgx=10的根,x2是方程x 10x=10的根,则x1 x2的值为().A.8B.10C.11D.12解法一:图像法.如右图,作出y=lgx,y=10x,y=10-x的图像,由对称性易知x1 x22=5,则x1 x2=10,选B.解法二:估值法.y10y=10xy=xy=lgxxy=10-x01x25x1101设(fx)=x 1gx,g(x)=x 10x,它们在各自的定义域内都是增函数.因为f(9)=9 lg9<10,(f10)=10 lg10=11>10,所以(f9)<(fx1)<(f10),910,则g(0)相似文献   

数学奥林匹克高中训练题（14）

第一试 一、选择题(每小题6分,共36分) 1.设f(x)＝x2 (2n 1)x n2 3n,f(x)在闭区间[α,β](α＜β)上单调.已知{y|y＝f(x),x∈[α,β]}＝[α,β].则n的取值范围是( ).     

2004年数学高考冲刺卷（二）

第Ⅰ卷(选择题　共60分)一、选择题:本大题共1 2小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1 设f(n) =(1 i1 -i) n (1 -i1 i) n(n∈N ) ,则集合{x|x=f(n) }中元素个数是(　　)(A) 1　　　(B) 2　　　(C) 3　　　(D)无穷多个2 已知f(x) =sin(x π2 ) ,g(x) =cos(x -π2 ) ,则下列结论中正确的是(　　)(A)函数y=f(x)·g(x)的最小正周期为2π(B)函数y =f(x)·g(x)的最大值为1(C)将f(x)的图象向左平移π2 后得g(x)的图象(D)将f(x)的图象向右平移π2 后得g(x)的图象3 已知函数f(x) =ax3 bx2 ,曲线y =f(…     

对一个数学问题的再探究

《数学通报》问题1662,求函数f(x)=sinx+cosx+tanx+cotx+secx+cscx的值域,其解答利用切割化弦和换元法求得值域为(+∞,1-2(2～(1/2)))∪(2+3(2～(1/2)),+∞).     

“第一换元法”的教学思考

第一换元法也称"凑微法",它在《经济数学基础》教材中所占篇幅很小,但学员从开始学习到熟练掌握,却要花费很多时间。现行教材和多数教师在教学中一般都经历从换元到直接凑微的转换过程。这几年,笔者采用了难点分散,一步到位,直接凑微的教学尝试,现笔录如下,仅供参考。一、加强概念教学,让学员弄清"凑微法"的实质教材中,定理5.2(第一换元法)设∫f(u)du=F(u) C (1)u=φ(x)可微,则有∫f[φ(x)]·φ(x)dx=F[φ(x)] C (2)上述定理有三个条件,其一是 f(u)可积,即(1)式成立;其二是 u=φ(x)可微,即 dφ(x)=φ′(x)dx     

构造法在数学解题中的应用

针对数学问题的题型特点,构造与之相关的辅助数式、图形,甚至理想模型等以求另辟捷径的解题方法通常称之为构造法.下面举几个例子说明“构造法”在数学解题中的运用:例1求证:(1 2005)2004-(1-2005)20042005是整数.分析若以x代换2005,分子成为一个多项式,可构造辅助函数来研究它的特点.证明设f(x)=(1 x)2004-(1-x)2004.∵f(-x)=(1-x)2004-(1 x)2004=-f(x),∴f(x)是奇函数.因此f(x)只含x的奇次项,于是f(xx)为只含x的偶次项(包括常数项)的整系数多项式.以x=2005代入可题式为整数.例2x、y是取任意实数的2个变量,试求函数f(x,y)=x2 y2-2x-2y 2 x2…     

数学奥林匹克问题

本期问题初149　已知二次函数f(x)=x2-2mx 1.是否存在实数x,使得对于满足0≤x≤1的任意实数a、b、c,f(a)、f(b)、f(c)能构成一个三角形的三条边的边长?(王连笑　天津市实验中学,300074)初150　试求出所有的整数n,使得70n 200n2 1是整数.(吴伟朝　广州大学数学与信息科学学院,51     

数学奥林匹克高中训练题(71)

第一试一、选择题 (每小题 6分 ,共 36分 )1 .已知a、b∈N ,a10 0 是一个 1 2 0位数 ,ab是一个 1 0位数 .则b的值是 (　　 ) .(A) 7　　 (B) 8　　 (C) 9　　 (D) 1 02 .已知对每一对实数x、y ,函数f满足f(x) f(y) =f(x y) -xy - 1 .若f( 1 ) =1 ,则满足f(n) =n(n∈Z)的个数是 (　　 ) .(A) 1个　　 (B) 2个　　 (C) 3个(D)无数多个3.在绘制f(x) =ax2 bx c(a≠ 0 )的图像时先造一个表 ,当表中对x的值以相等间隔的值增加时 ,函数f(x)所对应的值依次为 :384 4,396 9,4 0 96 ,4 2 2 7,4 356 ,4 489,4 6 2 4 ,4 76 1 .其中有一个值不正…     

由f[φ(x)]求f(x)的几种方法

中学生对于已知f(x),求f(a)以及f[φ(x)](这里a是常数,φ(x)是x的函数)都比较容易掌握。笔者现对已知f[φ(x)]或含f[φ(x)]的等式,求f(x)、f(a)举出几例的解法,仅供参考。一、换元法换元法是中学数学解题中常用的方法。利用这种方法求f(a)或f(x)的表达式时,一般只要对函数中的自变量作几次代换,转化为我们所熟悉的代数式的运算,最后换成所需的变量。例1.设f(x)是定义在R上的函数,满足f(2x-1)=x~2 x 1,求f(x)。     

求函数解析式的十种思维方法

1待定系数法例1若f(x)=x2-mx+n,f(n)=m,f(1)=2,求f(x).解依题意:2,12,n mn n mm n-----++==解得m=-2,n=-1,∴()f x=x2+2x-1.注如果已知函数式的构造模式,通常根据题设用此法求出函数式的待定系数.2换元法例2已知f(x+1)=x+1,求f(x).解令x+1=t,则x=(t-1)2(t≥1),∵f(t)=(t-1)2+1(t≥1),即f(x)=t2-2t+2(x≥1).注如果已知复合函数f(g(x))的表达式,求f(x)的解析式;先令g(x)=t,得f(x),但值得注意的是在进行变量替换时,应求出新变量的取值范围,否则容易出现错误.3代入法例3设()1f x=1-x,求f(f(f(x)))的解析式.解∵(())11f f x=1-f(x)=1-1/(1-x)1x x…     

一个二次函数的最小值

问题设实数a1,…,an满足0≤ai≤2(i=1,...,n),证明,二次函数 f(x)=nx2-2(a1 ... an)x a21 ... a2n的最小值不超过n.     

经济数学基础综合练习

第1章　函数1　填空题1)函数y=4 -xln(x - 2 ) 的定义域是.2 )设f(x) =x2 +2ex 　　x ≤00 相似文献   

高三数学自我检测题

一、选择题(每小题5分,共60分.在每小题给出的4个选项中只有1个符合题目要求)1.函数y一asi二一bcosx的一条对称轴的方程是x一7t/4,则直线ax一勿 。一o的倾斜角为(). A 45“;B 600;C 1200;D 13502.定义在R上的函数f(x)的最小正周期为T,若函数y一f(x),x任(0,丁)时,有反函数y-f一‘(x),x任D,则函数y一f(x),x〔(T,ZT)的反函数是(). ·Ay一f一‘(x),x任D;By一f一‘(x一T),x任D; Cy一f一‘(x十T),x任D;Dy一f一‘(x) T,x任D 「2一‘一1 .x毯0.3.设函数f(x)一代_若f(x。)>1,则x。的取值范围是(). {石,x>o,一“-一’一’一’- A(一1,l);B(…     

高考数学压卷题破题要害探索

1抓住试题中的命题要害,步步逼近 例1设a、b均为大于1的自然数,函数f(x)=a(b sin x),g(x)=b cos x,且存在实数m,使得f(m)=g(m).(1)试求a、b的值;(2)设数列{an}的首项a1=3ab,对任意的n∈N ,有(a 1)an 1 b·an=0,记Sn=a1 a2 … an,Tn=a1·a2…an,分别求出{Sn}、{Tn}中的最大项.