再谈反函数中应澄清的几种关系

反函数与其图象之间的概念关系是中学数学中的一个难点问题,学生在学习中常常存在着许多模糊的认识. 本文就此问题谈谈几种应该澄清的关系.     

反函数疑难问题解析

反函数是高中数学中的重要内容,学习反函数时如果概念不清,性质理解不深刻,就会产生许多后遗症,影响后续知识的掌握.下面提出有关的若干疑难问题进行剖析.     

互为反函数的图像性质

例1关于奇函数f（x）的图像与函数y=f-1（x）的图像的位置关系,有以下三种说法： ①关于直线y=x对称。②关于直线y=-x对称。③关于原点对称。     

三角函数、双曲函数及它们的反函数的教学探讨

三角函数与反三角函数均属于基本初等函数,而双曲函数及它们的反函数在工程当中应用非常广泛,因此它们都是一些非常重要的函数。由于三角函数与双曲函数的起源及性质很相似,因此本文欲用类比的方式来阐述三角函数、双曲函数及它们的反函数的相关概念及性质。     

走出反函数图象的认识误区

高一新教材在反函数这一小节提到两个问题:一是反函数的概念;二是互为反函数图象之间的关系．结论是函数y=f(x)的图象和它的反函数y=f-1(x)的图象关于直线y=x对称．在反函数的学习中实际上还牵涉到两个问题,一是反函数的存在性问题,从映射的定义知道,如果一个函数是从定义域到值域的一一映射, 就存在着反函数．因此得出一个重要的结论,任何一个单调递增(或递减)的函数都存在着单调(或递减)的反函数．另一个问题是单调性相同的互为反函数图象的交点一定在直线y=x上吗?     

论互为反函数图象的对称性

函数y=f(x)，D（有反函数）与其反函数x（y），和在同一坐标系中图象的对称性存在两种对立的认识，一种认为“在同一坐标系xoy中，函数与其反函数，的图象相同，这个图象与函数，的图象关于直线y=x对称”至于“函数y=f*（x），与互为反函数，一般不相同，在同一坐标系里，为何总有相同的图象？”文献[8]则以“相同的函数图象形状一定相同，但位置可以不同，而不同的函数，图象可以相同，这本来就不是矛盾的事情一以蔽之．持这种认识的人很普遍，详见文献[3]～[8]．相反，另一种则认为“在同一坐标系xoy中，函数图象相同（同一曲线，不仅形…     

关于反函数问题的探究

函数概念是高中数学非常重要的概念，函数问题贯穿了高中数学教学的全过程，而“反函数”问题是许多学生遇到的难点问题，如何教学才能使学生全面、完整、正确地理解，并能熟练地运用反函数的有关性质解题，笔者就有关反函数问题作一些探讨．     

能用反函数法求函数的值域吗?

在讨论求函数的值域时 ,有些书上介绍了一种方法 ,即所谓的“反函数法” .例如 [1]介绍“反函数法”如下 :如果函数 ｆ(ｘ)存在反函数ｘ =ｆ-1(ｙ) ,则ｘ =ｆ-1(ｙ)的定义域就是函数 ｙ=ｆ(ｘ)的值域 .例 1　求函数 ｙ=1(1-ｘ) (1- 2ｘ) 的值域 .解　由函数 ｙ =1(1-ｘ) (1- 2ｘ) ,解得ｘ =3ｙ± ｙ2 +8ｙ4 ｙ .其定义域由 ｙ2 +8ｙ≥ 0 ,且 ｙ≠ 0确定 ,所以 ,ｙ=1(1-ｘ) (1- 2ｘ) 的值域是……我们认为 ,“反函数法”作为一种求函数值域的方法是不成立的 .从映射的观点看 ,一个函数包含三个要素 :数集Ａ、Ｂ ,以及从Ａ到Ｂ的对应法则 ｆ :…     

对互为反函数交点的问题探析

正1.问题提出文[1]就"数形结合"的思想方法在解题中误用进行了举例分析,其中例2、例3中均用到互为反函数的指数和对数函数性质来说明,例子具有代表性,是学生容易失误的知识点.由此笔者想到我市一联考题:已知a1,则方程log_ax=a~x的解的个数为()(2012届上饶市联考题).(A)0个(B)1个(C)2个(D)0或1或2个对于此考题,当时试卷发下来分析发现,选A或B答案竟达78%,只有10%的同学做对了.究竟是     

反函数性质在解高考解中的应用

反函数是函数问题的一个重要方面，深刻理解反函数的概念及性质。有助于对函数本质的理解与掌握．本文旨在由反函数的概念给出反函数的几个引申性质，谈谈反函数性质在解高考题中的应用，供同学们学习时参考．     

f^-1（x＋1）是f（x＋1）的反函数吗？

学生在学习反函数时，常常把f^-1（x＋1）认为是f（x＋1）的反函数，现就这一问题加以辨析。     

互为反函数的两函数图象的交点位置及应用--从一道题的解法谈起

文[1]对2002年全国高考数学试卷中选择题和填空题的解法作了多角度的探讨,阅后令人深受启发,收获颇丰;但不足的是文中例1的解法颇有商榷的余地.本文将对此解法的不足之处加以说明,并给出几个关于互为反函数的两函数图象间的交点位置的结论及其简单应用.     

几类特殊函数的反函数

一、分段函数的反函数分段函数的反函数一定也是分段函数,具体求时,一般是把每一段当作单个函数来求,最后写成分段函数的形式.在这个过程中要注意函数的定义域、值域与其反函数的值域、定义域的对应关系.例1设函数f(x)=-log3(x 1),x∈(6, ∞),3x-6,x∈(-∞,6]的反函数为f-1(x),若f-119=a,则f(a 4)=.解当x>6时f(x)<0,x≤6时f(x)>0.又f-119=a,∴f(a)=91,∴3a-6=91,解得a=4,∴f(a 4)=f(8)=-log3(8 1)=-2.例2求函数f(x)=x2-1,x∈[0,1),239-x2,x∈[-3,0)的反函数.解由y=x2-1(0≤x<1),解得x=1 y(-1≤y<0).又由y=239-x2(-3≤x<0)得x=-9-49y2(0≤y<2…     

互为反函数的一个充要条件

关于反函数有以下众所周知的性质：函数y=f（x）,x∈A（y∈C）的图象与它的反函数y=f-1（x）,x∈C（y∈A）的图象关于直线y=x对称.近期发现有多家杂志提及到了它的逆命题：如果两个函数的图象关于直线y=x对称,那么这两个函数是互为反函数.这几家杂志的作者的观点均以为这是一个假命题,但都没有反例显示.笔者考虑到这是一个有意思的问题,     

浅议反函数概念

反函数概念是中学教学的一个难点 ,尽管教学要求不高 ,但是作为教师 ,全面理解也是必要的 ,而且有助于提高尖子生的概念理解能力 下面从几种不同的角度来认识这一概念 1　从对应的观点看从初中到高中 ,函数概念已由变量的描述性依赖关系转变为集合间的对应关系 因此 ,作为教师 ,若不能直接从一一对应的观点讲解它的存在性 ,也可以弱化为必要条件 ,强调“不同 ｙ对应不同ｘ” ,或者弱化为充分条件 ,强调“严格单调函数必有反函数” 再结合韦恩图 ,强调对应法则 ,ｆ :ｘ→ ｙ ,ｆ-1 :ｙ→ｘ 这样有助于理解函数的对应法、定义域、值域的变…     

利用反函数性质求互为反函数的函数图像交点例析

求互为反函数的两个函数图像的交点是高中数学的难点,而且运算繁杂,为了解决这个问题,给出此法,以供参考.     

函数和反函数图像对称性的证法改进

数学是一门严谨的科学,编写教科书更要注意严谨性,而且要考虑到学生具有的知识水平.否则给学习数学带来许多困难,而且还有可能将初学者引向歧途,对于学生逻辑思维的形成和发展都将带来不良影响.