数学问题与解答——1995年第3期问题解答

361.某厂因生产需要,须制作如左图的三角架100只,每只由铝合金型料长2.3米、1.7米、1.3米各一根组装而成,市场可购得该铝合金型的原材料长为6.3米。为降低生产成本,问至少购多少根原材料,才能满足生产需要? 解:研究原材料的各种截法,可得下表:     

数学问题与解答——1996年第3期问题解答

391.设点A_i(i=1,2,…,n)是凸n边形的顶点。在这n边形内任意给定一点G,求证:可以给各顶点适当地配置质量M_i(i=1,2,…,n),使质点系M_i的重心恰是G。     

数学问题与解答——2000年第3期问题解答

511.在△ABC中,点P、Q分别在边AB,BC上,PQ、AC的延长线相交于R,X、Y、Z分别是PQ、PR、PQ的中点,直线BX、AY、CZ相交于点E、F、D.求证:S_(△DEF)=1/2△ABC。     

数学问题与解答——1997年第3期问题解答

421.某房地产开发公司用2000万元购得一块土地,该地可以建造每层1000平方米的楼房.楼房的总建筑面积的每平方米平均建筑费用与建楼的层数有关.楼房每多建一层,整幢楼房每平方米建筑费用提高8％.已知建造一层平房的每平方米的建筑费用为800元,问该楼房应建造多少层才能使每平方米的平均综合费用(即建筑费用与购地费用之和)最省? 解:设楼房建造n层,则该楼每平方米的综合费用(单位元)为     

数学问题与解答——1994年第3期问题解答

331.试证:过等腰梯形两对角线交点作任一腰的垂线,必过以其另一腰为一边,两对角线交点为一顶点的三角形的外心。     

数学问题与解答——1989年第3期问题解答

186.正方形过丑口刀内接于直径是d的00,P为④O上任意一点,求证:尸少十2诏. 逻竺兰罗 2朴 1示月 ,、‘_,1(一IJ,一,芍;尸~ U穿。,月一1二习 盆一1 .、‘_,f 1 .1\t一l).气气,书尸.~-十气气1了rr-l \C落。 iU有菇不:l少5一4P少 卫刀.二 证明:不失一般性,如图连结“刃、刀刀,由通刀口刀为④O的内接正方形可知,.通口、丑D必过O尸」口=刀刀=d,乙过尸C=乙刀尸刀=几乙州双上刀刀.再作尸刃土那于皿,P刀_仁刀刀于夕,则尸刃O尸为矩形,2夕=””~!一。。,,。。dO刃.连结OP,则口尸=誉, 乙1,设P在BO上.=(命 命)一(命 命) (命十命)一 (命 命) 1二…     

数学问题与解答 1992年第3期问题解答

276.设P是正△ABC内一点,分别作P关于直线AB、BC、CA的对称点C_1、A_1、B_1,并设△ABC、△A_1B_1C_1的面积分别为S、S′,试证:S′≤S。证:如图1,设正△ABC的边长为x,P到三边BC、CA、AB的距离分别为a、b、c,△PB_1C_1、△PC_1A_1、△PA_1B_1的面积分别为S_1、S_2、S_3,那么S′=S_1+S_2+S_3,且因∠A_1PB_1=∠B_1PC_1=∠C_1PA_1=120°,所以 S_1=1/2·2b·2c·sin120°=3~(1/2)bc, S_2=3~(1/2)ca,S_3=3~(1/2)ab。因正三角形内任一点到三边的距离之和等于此正三角形的高,即a+b+c=3~(1/2)/2x,于是S′=3~(1/2)(bc+ca+ab)≤3~(1/2)·1/3(a+b+c)~2=3~(1/2)/3·(3~(1/2)/2x)~2=3~(1/2)/4x~2=S。     

数学问题与解答——1994年第1期问题解答

321.△ABC中,从A向∠B、∠C平分线引垂线,垂足分别为P、Q;从B向∠C平分线引垂线,垂足为E;从C向∠B平分线引垂线,垂足为F,求证;P、Q、E、F四点共圆。 证:延长AP、AQ分别交BC于M、N,因BP是∠ABC的平分线,AP(⊥)BP,故AP=PM,同理,AQ=QN。 所以,PQ是△AMN的中位线,PQ∥BC,QPB=PBC。 连EF因∠BEC=90°=∠CFB,故B、C、F、E四点共圆,于是∠CEF=∠FBC,从而∠QPB=∠CEF,所以P、Q、E、F四点共圆。     

数学问题与解答——2000年第2期问题解答

506.已知AD、BE、CF为锐角△ABC的三条高,过D作EF的平行线RQ,RQ分别交AB和AC于R、Q,P为EF与CB的延长线的交点,证明:△PQR的外接圆通过BC的中点M。     

数学问题与解答——2003年第4期问题解答

581.如图1,O为三个同心圆的公共圆心,共线的三点A、B、C(O、A、B、C四点不共线)分别在三个圆上,又设三个圆的半径从小到大依次为,r_1、r_2、r_3。求证:     

数学问题与解答——1996年第4期问题解答

396.一个工厂的n个(n≥3)自动化车间均匀地分布在半径为1公里的圆周上,今要在此圆周上建一值班室,问值班室建在何处,才能使它到各车间的距离之和最小?     

数学问题与解答——1997年第2期问题解答

416.某大学食堂每天消耗粮食1吨,已知粮食储存在仓库的费用为每吨每天10元.每次购粮时除了粮食本身的价钱外,还要额外支付运输劳务等杂费1000元.试问怎样确定购粮周期和购粮数,使支付的费用最少? 解:因为粮食本身的价钱与购粮周期无关,所以只需考虑储存费用和购粮时支付的杂费.     

数学问题与解答——2007年第6期问题解答

706.如图1,设M为正方形ABCD的边AD的中点,以A为圆心,以AB为半径的圆与以CD为直径的圆交于P,N为BP与CD的交点,Q为AN与BM的交点,求证:QA/QN=3/5     

数学问题与解答——1989年第1期问题解答

176.△通刀C中,a十乙 。=。(定值)之A=0(定值),试求△ABO面积的最大值. 解:’:a十乙 。=。, a,二石, c,一2乙。eoss, .‘.Zb。 Zb口eoso二Zb。 b, 沪一a, =(b o)’一a,二(乙 口 “)(b 。一a) =饥(饥一2“),b宁冷一a=口二一= 2竹鑫2厂z 。in旦、’ \2/b。=杭(饥一Za)万孔 。o。夕)’1一2 一一召。,。o一乙。Sin口二勿(饥一2亿)sins 4戈1十eos夕) 177.若三角形三边成等比数列,求证,以这三角形三条高为边的三角形相似于原三角形. 证:设△通丑口的三条高线为凡,h,,h。,且△三刀口的面积为刀,则 2习,2习,2尽入。二二竺立,无。二牛,.瓦二上竺…     

数学问题与解答——2006年第2期问题解答

666．在Rt△ABC中，CD是斜边上的高，记I1、I2、I分别是△ADC、△BCD、△ABC的内心，I在AB上的射影为O1，∠CAB、∠ABC的平分线分别交BC、AC于P、Q，PQ的连线与CD相交于O2，求证：四边形I1O1I2O2为正方形．     

数学问题与解答——2002年第4期问题解答

561.P为△ABC内一点,使∠BPA=∠CPA,G是线段AP上的点,直线BG、CG分别交边AC、AB于E、F,求证:∠BPF=∠CPE.     

数学问题与解答——2000年第6期问题解答

问题解答栏是本刊多年来坚持设置的栏目,在几位编辑的辛勤工作下,赢得不少读者的喜爱。在新世纪中,我们希望问题解答栏有新的面貌。近几年来,我国数学问题的题型有了很大变化,情景题、应用题、开放题等多种题型正在迅速普及,因此,我们决定多刊登一些新型的题目,以服务于广大读者。期望关心本栏目的读者寄来更好、更新、更有启发价值的好题。     

数学问题与解答——2008年第6期问题解答

736．已知直角梯形ABCD中，AB∥CD，且DB=AB，△ABD的外接圆直径BG与△ABD的高DE交于F，H是△BCD的内心，求证：S△BHF=S△EBG．     

数学问题与解答——1995年第4期问题解答

366.《土地法》的现行政策规定:建房者须缴纳一定的土地占用费,其标准为每平方米a元;土地占用面积的计算方法为房屋正面外伸b米。其余三面均外伸c米后的长方形面积(其b>c)。若需建造地面为长方形,且面积为m平方米的房屋,问最少须缴纳土地占用费多少元?此时房屋的正面长几米?     

数学问题与解答——1994年第5期问题解答

数学问题与解答是我们的一个老栏目,拥有不少读者。但是,随着“数学问题解决”,“数学模型化”及“数学思维方法”的深入研究,题目的类型和样式应该有所改变。本栏目自1995年起将问题分为两组,其中第一组将推出模型题,应用题,思辨题等等,以区别目前采用的题目(即第二组题目),欢迎读者赐稿,提出改进意见。