凸四边形面积公式的证明及推广

对△ＡＢＣ ,记ＢＣ =ａ ,ＣＡ =ｂ,ＡＢ =ｃ,ｓ=(ａ ｂ ｃ) /2 ,△为其面积 ,则有海伦定理 :Δ =ｓ(ｓ-ａ) (ｓ-ｂ) (ｓ-ｃ)。对上述定理 ,有熟知的推广 :定理 1　对圆的内接四边形ＡＢＣＤ ,若ＡＢ =ａ ,ＢＣ =ｂ ,ＣＤ =ｃ ,ＤＡ =ｄ ,ｓ=(ａ ｂ ｃ ｄ) /2 ,△是其面积 ,则Δ =ｓ(ｓ-ａ) (ｓ-ｂ) (ｓ-ｃ) (ｓ-ｄ)。当ｄ =0时 ,我们得到海伦定理。文 [1 ]给出了一个凸四边形的面积公式如下 :定理 2　对凸四边形ＡＢＣＤ ,若ＡＢ =ａ ,ＢＣ =ｂ ,ＣＤ =ｃ,ＤＡ =ｄ ,ｓ=(ａ ｂ ｃ ｄ) /2 ,四边形ＡＢＣＤ的一组对角和为 2ｕ ,△是其…     

Optimization of membership function for fuzzy control based on genetic algorithm and its applications

ｙ Ｃｏｎｔｒｏｌ Ｂａｓｅｄ ｏｎ Ｇｅｎｅｔｉｃ Ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ａｎｄ Ｉｔｓ ＡｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓTX１ＩｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎＭｅｍｂｅｒｓｈｉｐｆｕｎｃｔｉｏｎｉｓｔｈｅｂａｓｉｓｆｏｒｆｕｚｚｙｌｏｇｉｃｔｈｅｏｒｙｔｏａｐｐｌｉ...     

高中数学联赛训练题

一　试一、选择题 (满分 36分 ,每小题 6分 )1 △ＡＢＣ的三边长ａ、ｂ、ｃ满足ｂ ｃ≤ 2ａ ,ｃ ａ≤ 2ｂ,则 ｂａ 的取值范围是 (　　 ) .Ａ .( 0 , ∞ )　　　　Ｂ .( 5- 12 ,5 12 )Ｃ .( 12 ,2 )　　　Ｄ .( 0 ,2 )2 .若关于ｘ的方程ｋｃｏｓｘ ａｒｃｃｏｓ π4 =0有实数     

Novell网络维护经验谈

由于Ｎｏｖｅｌｌ网络具有易维护、硬件配置要求低、灵活共享光驱、打印机等优点 ,学校单位在组建局域网时 ,一般均采用Ｎｏｖｅｌｌ网。但无盘工作站一多 ,有时出现一些故障 ,令管理员难以查找到合适原因。现以几年来维护Ｎｅｔｗａｒｅ 4.10网络机房的经验 ,供各位同行参考。机房配制为 :服务器Ｐ166/16Ｍ /2 .1Ｇ ;工作站 112台 486ＤＸ10 0 /4Ｍ ;16口集线器 8个 ,ＴＥ— 2 0 0 0Ａ网卡。ａ .服务器装完后 ,所有无盘站启动 ,均显示“Ｆｉｌｅｓｅｒｖｅｒｃｏｕｌｄｎｏｔｂｅｆｏｕｎｄ”。原因 :装服务器过程中 ,帧类型不对 ,80 2 .2…     

第十四届“希望杯”全国数学邀请赛 高二 第2试

一、选择题 (每小题 5分 ,共 50分 ,以下每题的4个选项中 ,仅有一个是正确的 ,请将表示正确答案的英文字母填在每题后面的圆括号内 )1 .方程ｓｉｎπｘ =0 .2 5ｘ的解的个数是 (　　 )　 (Ａ) 5　　 (Ｂ) 6　　 (Ｃ) 7　　 (Ｄ) 82 .当 0 <ｘ <1时 ,记ａ =ｘｘ,ｂ =(ａｒｃｓｉｎｘ) ｘ,ｃ =ｘａｒｃｓｉｎｘ,下列不等式中成立的是 (　　 )　 (Ａ)ａ<ｂ <ｃ　　 (Ｂ)ａ<ｃ<ｂ　 (Ｃ)ｃ<ａ <ｂ (Ｄ)ｃ<ｂ <ａ3 .Ｉｆ 2｜ａ｜<4+ｂ,｜ｂ｜ <4,ｔｈｅｎｔｈｅｓｅｔｏｆｒｅａｌｒｏｏｔｓｏｆｔｈｅｅｑｕａｔｉｏｎｘ2 +ａｘ+ｂ =0ｉｓ(　　 …     

周界中点三角形的一个命题

命题　设Ｄ、Ｅ、Ｆ分别是△ＡＢＣ的边ＢＣ、ＣＡ、ＡＢ上的周界中点 ,且ＢＣ =ａ ,ＣＡ =ｂ,ＡＢ =ｃ ,ｓ=12 (ａ +ｂ +ｃ) ,△ＡＥＦ、△ＢＤＦ、△ＣＤＥ、△ＡＢＣ的面积分别记为△Ａ、△Ｂ、△ Ｃ、△ ,△ＡＢＣ的外接圆半径为Ｒ .则有 ∑(ｓ-ａ)△ Ａ=△22Ｒ.证明 :由三角形周界中点的定义知ｓ=ＡＢ +ＡＥ =ｃ +ＡＥ ,ｓ=ＡＣ +ＡＦ =ｂ +ＡＦ ,则ＡＥ =ｓ-ｃ,ＡＦ =ｓ-ｂ .又∵ｓｉｎＡ =ａ2Ｒ,ｓｉｎＢ =ｂ2Ｒ,ｓｉｎＣ =ｃ2Ｒ,∴△Ａ =12 ＡＥ·ＡＦ·ｓｉｎＡ=12 (ｓ-ｃ) (ｓ-ｂ)· ａ2Ｒ=ａ4Ｒ(ｓ-ｂ) (ｓ-ｃ) .故 (ｓ-ａ)△Ａ=…     

代换法证明不等式

例 1　已知ｘ ,ｙ ,ｚ>0 ,证明 :ｚ2 -ｘ2ｘ + ｙ + ｘ2 -ｙ2ｙ +ｚ + ｙ2 -ｚ2ｚ +ｘ ≥ 0 .证明　设ｘ+ ｙ =ａ ,ｙ +ｚ=ｂ ,ｚ +ｘ=ｃ ,则ｚ-ｘ =ｂ-ａ ,ｘ -ｙ =ｃ-ｂ ,ｙ-ｚ=ａ -ｃ,ａ ,ｂ ,ｃ>0 .于是原式等价于ｂｃａ + ｃａｂ + ａｂｃ ≥ａ +ｂ+ｃ .由ｂｃａ + ｃａｂ ≥ 2ｃ等得证 .例 2　在 ＡＢＣ中 ,ａ +ｂ +ｃ=2ｓ ,ａ ,ｂ,ｃ为三边 ,则ａｂｃ≥ 8(ｓ-ａ) (ｓ -ｂ) (ｓ-ｃ) .证明　设ｓ -ａ =α ,ｓ-ｂ =β ,ｓ-ｃ =γ ,则α ,β ,γ >0 ,α+ β =ｃ,β +γ=ａ ,α +γ=ｂ.于是原式等价于(α + β) (β+γ) (γ +α)≥ 8αβ…     

四边形海伦-秦九韶面积公式的一个推广

20 0 1年全国高考数学 (文史 )第 1 9题如下 :题　已知圆的内接四边形ＡＢＣＤ的边长分别为ＡＢ =2 ,ＢＣ =6,ＣＤ =ＤＡ =4 ,求四边形ＡＢＣＤ的面积。本题有七种以上解法 ,有利于考查学生灵活运用知识的创新能力。若用本文下述公式① ,则只要代入数据 ,即可算得面积△ =83。事实上 ,对圆的内接四边形 ,设其四边长为ａ、ｂ、ｃ、ｄ ,ｓ=12 (ａ ｂ ｃ ｄ) ,△为其面积 ,则有△ =(ｓ-ａ) (ｓ-ｂ) (ｓ-ｃ) (ｓ-ｄ)①①式的证明参见文 [1 ],当ｄ =0时 ,①式变为△ =ｓ(ｓ-ａ) (ｓ-ｂ) (ｓ-ｃ)②②式是著名的海伦 -秦九韶公式 (参见文 [2 ]) ,…     

三角形内接正三角形的最小面积

命题　设△ＡＢＣ的面积为△ ,三边长分别为ａ、ｂ、ｃ.则△ＡＢＣ的内接正三角形的最小面积为 △236(ａ2 +ｂ2 +ｃ2 ) + 2△.图 1证明 :如图 1所示 ,正△ＰＱＲ内接于△ＡＢＣ ,ＢＣ =ａ ,ＣＡ=ｂ ,ＡＢ =ｃ.设∠ＢＲＰ =θ,则易求得∠ＰＱＣ =∠Ａ+ 60° -θ .再设△ＰＱＲ的边长为ｘ ,则分别在△ＢＲＰ和△ＰＱＣ中 ,由正弦定理可得ＢＰ =ｓｉｎθｓｉｎＢｘ ,ＰＣ =ｓｉｎ(∠Ａ + 60°-θ)ｓｉｎＣ ｘ.又因ＢＰ +ＰＣ =ＢＣ =ａ ,故ｘ = ａｓｉｎθｓｉｎＢ+ｓｉｎ(∠Ａ +6 0° -θ)ｓｉｎＣ=ａｓｉｎ(∠Ａ +6 0°)ｓｉｎＣ ·ｃｏｓθ+…     

三角函数的三“性”

一、易变性 :三角函数和三角形中的有关知识相辅相承 ,将二者结合 ,能实现它们之间的相互转化 .例 1　在△ＡＢＣ中 ,Ｓ△ＡＢＣ =ｐ(ｐ -ａ) ( ｐ -ｂ) ( ｐ -ｃ) ,其中ａ、ｂ、ｃ分别为△ＡＢＣ的三边 ,ｐ =ａ +ｂ+ｃ2 ,试证明这个结论 .简证 :因Ｓ△ＡＢＣ=12 ａｂｓｉｎＣ ,故Ｓ2 △ＡＢＣ=14 ａ2 ｂ2 ｓｉｎ2 Ｃ .由余弦定理 ,ｃｏｓＣ =ａ2 +ｂ2 -ｃ22ａｂ ,∴　Ｓ2 △ＡＢＣ=14 ａ2 ｂ2 ( 1-ｃｏｓ2 Ｃ) =14 ａ2 ｂ2 1- ａ2 +ｂ2 -ｃ22ａｂ2=116 ( 2ａ2 ｂ2 + 2ａ2 ｃ2 + 2ｂ2 ｃ2 -ａ4-ｂ4-ｃ4) .而 ( ｐ( ｐ -ａ) (ｐ -ｂ) ( ｐ -…     

聚类自适应模糊控制器及其应用

１　Ｉｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎ　Ｔｈｅａｄａｐｔｉｖｅｆｕｚｚｙｃｏｎｔｒｏｌｉｓａｓｕｃｃｅｓｆｕｌｉｓｓｕｅｏｆｔｈｅｆｕｚｚｙｃｏｎｔｒｏｌ．Ｔｈｅａｄａｐｔｉｖｅｆｕｚｚｙｃｏｎｔｒｏｌｏｆｏｎｌｉｎｅｌｅａｒｎｉｎｇａｎｄｏｎｌｉｎｅｃｏｎｔｒｏｌｉｓｔｈｅｏｒｉｅｎｔａｔｉｏｎｏｆｔｈｅｄｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔｉｎｔｈｅａｄａｐｔｉｖｅｆｕｚｚｙｃｏｎｔｒｏｌｆｉｅｌｄ．Ｂｕｔｔｈｅｃｏｍｐｌｅｘｏｆｔｈｅｐｌａｎｔｓｕｃｈａｓｓｔｒｏｎｇｃｏｕｐｌｅｄｒｅｌａｔｉｏｎｓ,ｌｏｎｇ…     

四边形外接圆半径公式

定理　设四边形ＡＢＣＤ的边为ａ、ｂ、ｃ、ｄ ,外接圆半径为Ｒ ,则Ｒ =(ａｂ ｃｄ) (ａｃ ｂｄ) (ａｄ ｂｃ)4 ｐａｐｂｐｃｐｄ,其中 ｐ为半周长 ,ｐａ=ｐ -ａ ,等等 .证明 :如图 ,用余弦定理 ,得ｃｏｓＡ =ａ2 ｄ2 -ｘ22ａｄ ,ｃｏｓＣ =ｂ2 ｃ2 -ｘ22ｂｃ .应用ｃｏｓＡ ｃｏｓＣ =0 ,记ｋ1=(ａｂ ｃｄ) (ａｃ ｂｄ) ,ｋ2 =ａｄ ｂｃ,则解得ｘ2 =ｋ1ｋ2.应用三角形外接圆半径公式 ,得Ｒ△ＢＣＤ=ｘｂｃ4 ｐ′ｐｘ′ｐｂ′ｐｃ′　 ( ｐ′=12 (ｘ ｂ ｃ) ,ｐｘ′=ｐ′ -ｘ ,等等 ) ,则有Ｒ2 =Ｒ△ＢＣＤ2 =ｘ2 ｂ2 ｃ21 6ｐ′…     

擂台题(45,46)的评注

1　擂题 4 5的评注　　擂题 (4 5 ) (李建潮提供 )　注 :本刊 2 0 0 0年第 5期将本擂题作者姓名误为李建明 ,特此更正 )证明或否定 :在△ＡＢＣ中 ,有ｃｏｓｎＡ ｃｏｓｎＢ ｃｏｓｎＣ≥ｓｉｎｎ Ａ2 ｓｉｎｎ Ｂ2 ｓｉｎｎ Ｃ2(ｎ∈Ｎ ,ｎ >1 )①本擂题奖金获得者是吴善和 (福建省资源工业学校 ,3 64 0 1 2 )。现刊登吴善和先生的来稿 ,作为本擂题的解答。证明 :　根据待证不等式①关于Ａ、Ｂ、Ｃ的对称性 ,不妨设Ａ≥Ｂ≥Ｃ ,则π/3≤Ａ <π ,0 <Ｃ≤π/3。不等式①等价于ｃｏｓｎＡ ｃｏｓｎＢ -2ｓｉｎｎ Ｃ2 ｃｏｓｎＣ ｓｉｎ…     

THE POLYMERIZATION OF METHYL METHACRYLATE WITH A NEW TIN-BRIDGED YTTROCENE/Al(i-Bu)_3

ＩＮＴＲＯＤＵＣＴＩＯＮＳｉｎｃｅｔｈｅｐｏｌｙｍｅｒｉｚａｔｉｏｎｏｆｍｅｔｈｙｌｍｅｔｈａｃｒｙｌａｔｅ(ＭＭＡ)ｗｉｔｈｒａｒｅｅａｒｔｈｃａｔａｌｙｓｔｓｗａｓｒｅａｌｉｚｅｄｆｏｒｔｈｅｆｉｒｓｔｔｉｍｅｉｎ1991,ａｓｅｒｉｅｓｏｆｎｅｗｒａｒｅｅａｒｔｈｃａｔａｌｙｓｔｓｙｓｔｅｍｓｓｕｃｈａｓＮｄ(Ｐ204)3/Ａｌ(ｉＢｕ)3,Ｎｄ(Ｐ204)3/Ａｌ(ｉＢｕ)3/ＣＣｌ4,Ｎｄ(Ｏｃｔ)3/Ａｌ(ｉＢｕ)3,Ｌｎ(ａｃａｃ)3/ＢｕＭｇＣｌ,Ｙ(ａｃａｃ)3/Ａｌ(ｉＢｕ)3/ＢｕＬｉ,Ｎｄ(ｎａｐｈ)3/ＢｕＬｉ,ａｎｄＮｄ(Ｏ…     

2003年上海市高考数学试题(文、理科)

一、填空题 (本大题共有 12题 ,每题 4分 ,满分48分 ,只要求直接填写结果 ) .1.函数ｙ=ｓｉｎｘｃｏｓ ｘ + π4+ｃｏｓｘｓｉｎｘ + π4的最小正周期Ｔ =.2 .若ｘ =π3 是方程 2ｃｏｓ(ｘ +α) =1的解 ,其中α∈ (0 ,2π) ,则α =.3 .在等差数列 ａｎ 中 ,ａ5=3 ,ａ6 =-2 ,则ａ4+ａ5+… +ａ1 0 =.4.(文 )已知定点Ａ(0 ,1) ,点Ｂ在直线ｘ+ｙ=0上运动 ,当线段ＡＢ最短时 ,点Ｂ的坐标是 .　 (理 )在极坐标系中 ,定点Ａ 1,π2 ,点Ｂ在直线 ρｃｏｓθ+ ρｓｉｎθ =0上运动 ,当线段ＡＢ最短时 ,点Ｂ的极坐标是 .5 .在正四棱锥Ｐ-ＡＢＣＤ中 ,若…     

涉及三角形角平分线的一个不等式

文 [1]介绍了涉及三角形高线的不等式 :　 ｒ(5Ｒ -ｒ)Ｒ2 ≤ ｈ2 ａｂｃ ｈ2 ｂｃａ ｈ2 ｃａｂ ≤ (Ｒ ｒ) 2Ｒ2 .①文 [2 ]在①的基础上 ,建立又一不等式 :　　　 ｂｃｈ2 ａ ｃａｈ2 ｂ ａｂｈ2 ｃ≥ 4 . ②由①、②笔者得到启发 ,得出了②的一个加强不等式 :定理　设ｔａ、ｔｂ、ｔｃ分别是△ＡＢＣ的ａ、ｂ、ｃ边上的高 ,则有　　 ｂｃｔ2 ａ ｃａｔ2 ｂ ａｂｔ2 ｃ≥ 4 .③证明　记△ＡＢＣ的半周长和面积分别为ｓ和△ ,文 [3]证得　　　ａｂｃ≥ 233△ｓ.易得　ｔａ ≤ｓ(ｓ-ａ) ,ｔｂ ≤ｓ(ｓ-ｂ) ,ｔｃ ≤ｓ(ｓ-ｃ) ,于是应用 …     

2003年高考数学模拟试题

一、选择题 :1.设集合Ｍ ={ 1,2 } ,则满足Ｍ∪Ｎ { 1,2 ,3 }的集合Ｎ的个数为 (　　 ) .Ａ .1　　Ｂ .4　　Ｃ .7　　Ｄ .82 .已知方程 2 ｘ+ｘ =0的实根为ａ ,ｌｏｇ2 ｘ =2 -ｘ的实根为ｂ ,ｌｏｇ12 ｘ =ｘ的实根为ｃ ,则ａ ,ｂ ,ｃ的大小关系是 (　　 ) .Ａ .ｂ>ａ >ｃ　　Ｂ .ｂ >ｃ >ａ　　Ｃ .ｃ >ｂ >ａ　　Ｄ .ａ >ｂ >ｃ3 .已知当α∈ -3π4,-π2 时 ,则下列不等式成立的是 (　　 ) .Ａ .ｓｉｎα >ｃｏｓα　　Ｂ .ｓｉｎα >ｔａｎα　　Ｃ .ｔａｎα >ｃｏｔα　　Ｄ .ｃｏｓα >ｃｏｔα4.已知ｙ =ａｒｃｓｉｎ(ｓｉｎｘ) ,…     

数与形的巧妙结合

在解直角三角形中 ,我们学习了两个公式 :(1 )ｓｉｎ2 Ａ ｃｏｓ2 Ａ =1 ;(2 )ｔｇＡ·ｃｔｇＡ =1 (其中Ａ为锐角 ) .将 (1 )变形可得(ｓｉｎＡ ｃｏｓＡ) 2 -2ｓｉｎＡｃｏｓＡ =1 .将它们与韦达定理相结合 ,巧妙地形成了一类数形结合的综合题 .这是中考命题的一个热点 .现举几例说明 .例 1　若关于ｘ的一元二次方程ｘ2 ａｘ ｂ =0的两根是一直角三角形两个锐角的正弦值 ,且ａ 5ｂ =1 ,则ａ、ｂ的值分别为 (　　 ) .(Ａ) -35 ,82 5 　　 (Ｂ) -75 ,1 22 5(Ｃ) -45 ,92 5 (Ｄ) 1 ,0(1 997年江苏省无锡市中考题 )解　设Ｒｔ△ＡＢＣ的…     

张成恒在加拿大ARS Combinatoria杂志上发表的四篇论文简析

最近廊坊师范学院张成恒副教授在加拿大ＡＲＳＣｏｍｂｉｎａｔｏｒｉａ杂志的第 5 7卷、 5 8卷、 5 9卷上 ,陆续发表了四篇组合数学的论文 ,产生一定影响 .1 )ＴｗｏＰｒｏｐｅｒｔｉｅｓｏｆｔｈｅＧｅｎｅｒａｌｉｚｅｄＳｅｑｕｅｎｃｅ {Ｗｎ}ＲｅｌｅｖａｎｔｔｏＲｅｃｕｒｒｉｎｇＤｅｃｉｍａｌ,ＡＲＳＣｏｍｂｉｎａ ｔｏｒｉａＶｏｌｕｍｅ 5 7(2 0 0 0 ,1 1 ) ,Ｐ 1 93 - 1 99,Ｃａｎａｄａ;2 )ＯｎｔｈｅＬｕｃａｓＭａｔｒｉｘｏｆＯｒｄｅｒ 2 ｋ Ｓｅｑｕｅｎｃｅ {Ｌ(2 ｋ)ｎ } ,ＡＲＳＣｏｍｂｉｎａｔｏｒｉａＶｏｌｕｍ…     

高中数学总复习测试题

选择题1 下列各式 :( 1) 2 0 0 1 {ｘ|ｘ≤ 2 0 0 3};( 2 ) 2 0 0 3∈ {ｘ|ｘ <2 0 0 3};( 3) {2 0 0 3} {ｘ|ｘ≤ 20 0 3};( 4)Φ∈ {ｘ|ｘ <2 0 0 3},其中正确式子的个数为 (　　 )Ａ 1　　Ｂ 2　　Ｃ 3　　Ｄ 42 满足ｆ(π +ｘ) =- ｆ(ｘ) ,ｆ( -ｘ) =ｆ(ｘ)的函数 ｆ(ｘ)可能是 (　　 )Ａ ｓｉｎｘ　Ｂ ｓｉｎ ｘ2 　Ｃ ｃｏｓ2ｘ　Ｄ ｃｏｓｘ3 若函数 ｆ(ｘ) =ａｘ(ａ >0 ,ａ≠ 1)为减函数 ,那么 ｇ(ｘ) =ｌｏｇ1ａ1ｘ - 1的图象是 (　　 )Ａ　　　　　　　ＢＣ　　　　　　　Ｄ4 如果ａ·ｂ =ａ·ｃ且ａ≠ 0 ,那么 (　　 )Ａ ｂ =…