四边形外接圆半径公式

定理　设四边形ＡＢＣＤ的边为ａ、ｂ、ｃ、ｄ ,外接圆半径为Ｒ ,则Ｒ =(ａｂ ｃｄ) (ａｃ ｂｄ) (ａｄ ｂｃ)4 ｐａｐｂｐｃｐｄ,其中 ｐ为半周长 ,ｐａ=ｐ -ａ ,等等 .证明 :如图 ,用余弦定理 ,得ｃｏｓＡ =ａ2 ｄ2 -ｘ22ａｄ ,ｃｏｓＣ =ｂ2 ｃ2 -ｘ22ｂｃ .应用ｃｏｓＡ ｃｏｓＣ =0 ,记ｋ1=(ａｂ ｃｄ) (ａｃ ｂｄ) ,ｋ2 =ａｄ ｂｃ,则解得ｘ2 =ｋ1ｋ2.应用三角形外接圆半径公式 ,得Ｒ△ＢＣＤ=ｘｂｃ4 ｐ′ｐｘ′ｐｂ′ｐｃ′　 ( ｐ′=12 (ｘ ｂ ｃ) ,ｐｘ′=ｐ′ -ｘ ,等等 ) ,则有Ｒ2 =Ｒ△ＢＣＤ2 =ｘ2 ｂ2 ｃ21 6ｐ′…     

2001年全国初中数学联赛试题(初赛)

一、选择题 (每小题 6分 ,共 3 6分 )1 若ｘ -2 +ｙ +3 =0 ,则 ｙｘ 的值是 (　　 ) .(Ａ) 32 　　　　　 (Ｂ) 23 　　　　　 (Ｃ) -32 　　　　　　 (Ｄ) -232 若ａ、ｂ为实数 ,则下列命题中正确的是 (　　 ) .(Ａ)ａ >ｂ ａ2 >ｂ2 (Ｂ)ａ≠ｂ ａ2 ≠ｂ2(Ｃ) |ａ|>ｂ ａ2 >ｂ2 (Ｄ)ａ >|ｂ| ａ2 >ｂ23 若关于ｘ的二次方程 (ｂ -ｃ)ｘ2 +(ａ -ｂ)ｘ +ｃ -ａ =0有相等的两实数根 ,则ａ、ｂ、ｃ间的关系是 (　　 ) .(Ａ)ａ =ｂ +ｃ2 (Ｂ)ｂ =ａ +ｃ2 (Ｃ)ｃ =ａ +ｂ2 (Ｄ)ａ +ｂ +ｃ =04 若 4ｘ3-ｘ =1,则 8ｘ4+12ｘ3-2ｘ2 -5ｘ +5的值…     

2002年湖南省高中数学奥林匹克

一、选择题 (每小题 6分 ,满分 36分 )1.定义在实数集Ｒ上的函数ｙ =ｆ(-ｘ)的反函数是ｙ =ｆ-1(-ｘ) ,则 (　　 ) .(Ａ)ｙ =ｆ(ｘ)是奇函数(Ｂ)ｙ=ｆ(ｘ)是偶函数(Ｃ)ｙ=ｆ(ｘ)既是奇函数 ,也是偶函数(Ｄ)ｙ =ｆ(ｘ)既不是奇函数 ,也不是偶函数图 12 .二次函数ｆ(ｘ)=ａｘ2 +ｂｘ +ｃ的图像如图 1所示 .记Ｎ =|ａ +ｂ +ｃ |+|2ａ -ｂ|,Ｍ =|ａ -ｂ +ｃ |+|2ａ +ｂ|.则 (　　 ) .(Ａ)Ｍ >Ｎ　 (Ｂ)Ｍ =Ｎ(Ｃ)Ｍ <Ｎ　 (Ｄ)Ｍ、Ｎ的大小关系不能确定3.在正方体的一个面所在的平面内 ,任意画一条直线 ,则与它异面的正方体的棱的条数是 (　　 )…     

数学奥林匹克初中训练题(59)

第　一　试一、选择题 (每小题 7分 ,共 4 2分 )1.设ａ =(ｘ 1) (ｘ 2 ) (ｘ 3 ) (ｘ 4) ,ｂ =(ｘ - 4) (ｘ- 3 ) (ｘ - 2 ) (ｘ- 1) .则ａ -ｂ等于 (　　 ) .(Ａ) 2 0ｘ3 50ｘ　　　　 (Ｂ) 2ｘ3 5ｘ(Ｃ) 2 0ｘ4 10 0ｘ2 　 (Ｄ) 2 0ｘ3 10 0ｘ图 12 .如图 1,Ａ、Ｃ是函数ｙ =1ｘ图像上关于原点对称的任意两点 ,ＡＢ、ＣＤ都垂直于ｘ轴 ,垂足分别为Ｂ、Ｄ .设四边形ＡＢＣＤ的面积为Ｓ ,则 (　　 ) .(Ａ) 0 <Ｓ <2　 (Ｂ)Ｓ =2(Ｃ)Ｓ >　?(Ｄ)Ｓ= 43 .如果三条线段的长ａ、ｂ、ｃ满足 ｂａ =ｃｂ =5- 12 ,那么 ,(ａ ,ｂ ,…     

由一点及离心率确定的椭圆与双曲线的方程

命题　若椭圆或双曲线的中心在原点 ,焦点在ｘ轴上 ,离心率为ｅ且经过点Ｐ(ｘ1,ｙ1) ,则其方程为　　　ｙ2 - ｙ21=(ｅ2 - 1) (ｘ2 -ｘ21) .证明　以椭圆为例 ,设椭圆中心在原点 ,焦点在ｘ轴上 ,则其标准方程为 ｘ2ａ2 ｙ2ｂ2 =1(ａ >ｂ>0 ) .若椭圆的离心率为ｅ ,经过点Ｐ(ｘ1,ｙ1) ,则有　　　ｅ2 =ｃ2ａ2 =ａ2 -ｂ2ａ2 ,ｘ21ａ2 ｙ21ｂ2 =1,解得　 ａ2 =ｘ21 ｙ211-ｅ2 ,ｂ2 =(1-ｅ2 )ｘ21 ｙ21.所以椭圆方程为ｘ2ｘ21 ｙ211-ｅ2 ｙ2(1-ｅ2 )ｘ21 ｙ21=1,即 ｙ2 - ｙ21=(ｅ2 - 1) (ｘ2 -ｘ21) .对于双曲线亦可用同样的方法证明命题成立…     

学会用二次函数解决实际问题

背景知识　　二次函数ｙ=ａｘ2 +ｂｘ+ｃ(ａ≠ 0 )的顶点坐标是 -ｂ2ａ,4ａｃ-ｂ24ａ .这就是说 ,当ａ<0 ,ｘ =-ｂ2ａ时 ,二次函数有最大值ｙ =4ａｃ-ｂ24ａ ;当ａ>0 ,ｘ =-ｂ2ａ时 ,二次函数有最小值ｙ =4ａｃ-ｂ24ａ .图 1例 1　用长 8ｍ的铝合金条制作如图 1形状的矩形窗框 ,如果要使窗户的透光面积最大 ,那么这个窗户的最大透光面积是 (　　 ) .(Ａ) 6 42 5ｍ2 　　 (Ｂ) 43ｍ2(Ｃ) 83ｍ2 (Ｄ) 4ｍ2(2 0 0 1年浙江省金华市、衢州市中考题 )解　设这个矩形窗框的宽为ｘｍ ,面积为ｙｍ2 ,则窗框的长度为 8-3ｘ2 ｍ .于是 ,有ｙ =ｘ 8-3ｘ2…     

应用二次函数解最值问题

知识链接　　二次函数ｙ=ａｘ2 +ｂｘ +ｃ(ａ≠ 0 )的顶点坐标是- ｂ2ａ,4ａｃ-ｂ24ａ .所以 ,当ａ <0 ,ｘ =- ｂ2ａ时 ,二次函数有最大值ｙ =4ａｃ-ｂ24ａ ;当ａ >0 ,ｘ =- ｂ2ａ时 ,二次函数有最小值ｙ =4ａｃ-ｂ24ａ .例 1　用长 8ｍ的铝合金条制成如图 1形状的矩形窗框 ,使窗户的透光面积最大 ,那么这个最大透光面积是 (　　 ) .(Ａ) 6 42 5 ｍ2 　 (Ｂ) 43ｍ2 　 (Ｃ) 83ｍ2 　 (Ｄ) 4ｍ2(2 0 0 1年浙江省金华市中考题 )　解　设窗户的宽为ｘｍ ,高为ｙｍ ,则 3ｘ+2ｙ=8.∴　ｙ =4- 32 ｘ .设透光面积为Ｓｍ2 ,则Ｓ =ｘｙ=ｘ 4- 32 ｘ …     

代换法证明不等式

例 1　已知ｘ ,ｙ ,ｚ>0 ,证明 :ｚ2 -ｘ2ｘ + ｙ + ｘ2 -ｙ2ｙ +ｚ + ｙ2 -ｚ2ｚ +ｘ ≥ 0 .证明　设ｘ+ ｙ =ａ ,ｙ +ｚ=ｂ ,ｚ +ｘ=ｃ ,则ｚ-ｘ =ｂ-ａ ,ｘ -ｙ =ｃ-ｂ ,ｙ-ｚ=ａ -ｃ,ａ ,ｂ ,ｃ>0 .于是原式等价于ｂｃａ + ｃａｂ + ａｂｃ ≥ａ +ｂ+ｃ .由ｂｃａ + ｃａｂ ≥ 2ｃ等得证 .例 2　在 ＡＢＣ中 ,ａ +ｂ +ｃ=2ｓ ,ａ ,ｂ,ｃ为三边 ,则ａｂｃ≥ 8(ｓ-ａ) (ｓ -ｂ) (ｓ-ｃ) .证明　设ｓ -ａ =α ,ｓ-ｂ =β ,ｓ-ｃ =γ ,则α ,β ,γ >0 ,α+ β =ｃ,β +γ=ａ ,α +γ=ｂ.于是原式等价于(α + β) (β+γ) (γ +α)≥ 8αβ…     

巧用递推法求值

所谓“递推法” ,就是根据题目特点 ,构造递推关系式解题的一种方法 ,运用这种方法解题 ,往往能化繁为简 ,变难为易 ,得到简捷合理的解题途经 .1　利用已知的递推关系式求值例 1　设ａ、ｂ、ｃ为非零常数 ,ｘ2 =ａｘ1 ｂ ,ｘ3=ａｘ2 ｂ ,… ,ｘ1 0 =ａｘ9 ｂ ,若ｘ1 0 =0 ,则ｘ1 =.(第三届“缙云杯”竞赛题 )解　∵　ｘ3 =ａ(ａｘ1 ｂ) ｂ =ａ2 ｘ1 ａｂ ｂ ,ｘ4=ａ(ａ2 ｘ1 ａｂ ｂ) ｂ =ａ3 ｘ1 ａ2 ｂ ａｂ ｂ ,… ,ｘ1 0 =ａ9ｘ1 ａ8ｂ ａ7ｂ … ａｂ ｂ =0 ,∴　ｘ1 =- ｂａ9( 1 ａ ａ2 … ａ8) .2　利用幂指数构造…     

谈圆锥曲线中的量的范围及关系的应用

圆锥曲线方程中的两个变量有其固有的取值范围和关系 ,方程中的特征量也有其确定的取值范围和关系 .如椭圆方程ｘ2ａ2 +ｙ2ｂ2 =1　 (ａ>ｂ >0 )中的变量ｘ、ｙ满足 -ａ≤ｘ≤-ａ ,-ｂ≤ｙ≤ｂ,方程本身正反映了变量ｘ、ｙ间的这种关系 ;椭圆的特征量间的关系有 0 <ｅ =ｃａ <1,ａ >ｂ>0 ,ａ2ｃ >ａ ,ａ2-ｂ2 =ｃ2 ;椭圆的左、右顶点到相应准线的距离 ａ2ｃ -ａ是椭圆上的点到准线的距离的最小值 ;椭圆上的点Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 )到焦点Ｆ1 (-ｃ,0 )、Ｆ2 (ｃ,0 )的距离分别为｜ＰＦ1 ｜ =ａ+ｅｘ0 、｜ＰＦ2 ｜=ａ -ｅｘ0 ,所以有ｂ2≤｜ＰＦ1 ｜…     

石世昌“证明”中的缺陷

本刊 2 0 0 0年第 6期 ,石世昌老师的《杨学枝一个不等式猜想的证明》一文中“不妨令ｂ ｃ =2 ,ａ =ｘ( 1≤ｘ <2 )” ,由于 1≤ｘ <2 ,不能包括所有满足原猜想条件的锐角三角形 ,故造成“证明”缺陷 .例如 ,设ａ =3 0 1 ,ｂ=3,ｃ=2 -3,则ａ >ｂ >ｃ,ｂ ｃ =2 ,ｂ2 ｃ2 -ａ2 =6 99-4 3>0 ,可见△ＡＢＣ为锐角三角形 .但文章只证明了当ａ =ｘ ,1≤ｘ <2时不等式 2 (ｘ -1 )≥ 2ｘ2 1 -4 -ｘ2 成立 ,而对ｘ≥ 2没有证明 .当ｘ =3 0 1时 ,2ｘ2 1 -4 -ｘ2-2 (ｘ -1 )≈ 7 0 2 -0 99-2 3 0 1 2 >0 1 9>0 ,所以 2 (ｘ -1 ) <2ｘ2 1 …     

双曲线的几个重要性质

性质 1　双曲线的一条准线和任意一条渐近线的交点 ,与这条准线相对应的焦点的连线 ,必垂直于该渐近线 .　　　　　图 1证明　设双曲线为ｘ2ａ2 - ｙ2ｂ2 =1　 (ａ>0 ,ｂ>0 ) ,如图 1所示 ,准线与渐近线有四个交点Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ .任取一交点Ａ ,则Ａ ａ2ｃ,ａｂｃ .∵ｋＡＦ2 ·ｋＯＡ =ａｂｃ - 0ａ2ｃ -ｃ· ｂａ =- 1,∴ＡＦ2 ⊥ＯＡ .其它Ｂ、Ｃ、Ｄ三点类似可以证明 .性质 2　双曲线的一条准线与渐近线的两个交点 ,该准线相对应的焦点 ,以及对称中心这四点共圆 .证明　设双曲线为ｘ2ａ2 - ｙ2ｂ2 =1　 (ａ>0 ,ｂ>0 ) ,如图 1所示 ,任…     

巧用焦点三角形面积公式解题

二次曲线中有许多美妙的性质 ,恰当地运用这些性质能优化我们的解题。本文介绍一个简洁优美的焦点三角形公式 ,并举例说明它的应用。定理　Ｐ是椭圆ｘ2ａ2 +ｙ2ｂ2 =1 (ａ >ｂ >0 )或双曲线ｘ2ａ2 -ｙ2ｂ2 =1 (ａ >0 ,ｂ>0 )上一点 ,Ｆ1(-ｃ,0 ) ,Ｆ2 (ｃ,0 )是左右两焦点 ,设 |ＰＦ1|·|ＰＦ2 |=λ2 ,则焦点△Ｆ1ＰＦ2的面积Ｓ =ｂλ2 -ｂ2 。证明　 (以椭圆为例 )设 |ＰＦ1|=ｒ1,|ＰＦ2 |=ｒ2 ,∠Ｆ1ＰＦ2 =α ,则ｒ1+ｒ2 =2ａ ,α∈ (0 ,π) ,在△Ｆ1ＰＦ2中 ,由余弦定理可得 :ｃｏｓα =ｒ21+ｒ22 -4ｃ22ｒ1ｒ2=(ｒ1+ｒ2 ) 2 -4ｃ2 -2ｒ…     

妙题巧解(五)

1 已知ｘ1、ｘ2 是关于ｘ的方程ｘ2 -ｋｘ +2ｋ -6 =0的两个根 ,且 0 <ｘ1<1 ,3<ｘ2 <4 ,求ｋ的取值范围 .2 已知 5 (ａ -ｂ) + 5 (ｂ -ｃ) + (ｃ-ａ) =0 ,且ａ≠ｂ.求证 :4ａ2 +ｂ2 +ｃ2 ≥ 4ａｂ -2ｂｃ +4ｃａ.3 设有五个自然数 ,其中每四个数的和分别是 39,4 1 ,4 2 ,4 4,4 6 ,求这五个自然数 .4 若三角形内的数是 6 ,四边形内的数是1 0 ,五边形内的数是 1 5 ,六边形内的数是 2 1 ,根据上述规律请你猜想 ,二十边形内的数应是.5 已知ａ +ｂ +ｃ=0 ,4ａ -2ｂ +ｃ=0 ,ａ -ｂ +ｃ>0 .求证 :4ａ+ 2ｂ+ｃ<0 .参考解答图 11 若用方程的观点…     

活用函数思想解题

下面,通过一些具体例子说明函数思想在解题中的运用.　　一、比较大小例1　试比较|ａ+ｂ|1+|ａ+ｂ|与|ａ|+|ｂ|1+|ａ|+|ｂ|的大小.解:对于函数ｆ(ｘ)=ｘ1+ｘ=1-11+ｘ,易知当ｘ∈(-1,+∞)时,其为增函数.而0≤|ａ+ｂ|≤|ａ|+|ｂ|,故|ａ+ｂ|1+|ａ+ｂ|≤|ａ|+|ｂ|1+|ａ|+|ｂ|.注:通常可以利用函数的单调性解决比较大小的问题.二、证明不等式例2　已知实数ａ、ｂ、ｃ∈(0,1),证明:不等式ａ(1-ｂ)+ｂ(1-ｃ)+ｃ(1-ａ)<1总成立.证明:欲证不等式等价于(1-ｂ-ｃ)ａ+(1-ｃ)(ｂ-1)<0.记ｆ(ａ)=(1-ｂ-ｃ)ａ+(1-ｃ)(ｂ-1),故欲证原不等式成立,只需证明ａ∈…     

椭圆、双曲线两种定义的等价关系

本文从“数”、“形”两个角度揭示椭圆 (双曲线 )两种定义的等价关系 ,作为教学之后的补充与提高 ,无疑对于学生课外思考钻研 ,及培养学生思维能力都十分有利 .以双曲线为例 ,证明双曲线的第二定义 .设Ｍ (ｘ ,ｙ)是双曲线 ｘ2ａ2 - ｙ2ｂ2 =1上任意一点 ,则有ｘ2ａ2 - ｙ2ｂ2 =1　 (ｃ2 =ａ2 ｂ2 ) (ｃ2 -ａ2 )ｘ2 -ａ2 ｙ2 =ａ2 (ｃ2 -ａ2 ) (ｃ2ａ2 - 1)ｘ2 - ｙ2 =ｃ2 -ａ2 ｘ2 ｙ2 ｃ2 =ａ2 ｃ2ａ2 ｘ2 ( )( )两边同减 2ｃｘ ,得(ｘ-ｃ) 2 ｙ2 =ｃ2ａ2 (ｘ- ａ2ｃ) 2 ,从而有 (ｘ-ｃ) 2 ｙ2ｘ- ａ2ｃ=ｃａ .这表明Ｍ到定点…     

回音壁

编辑部的叔叔阿姨 :你们好 !在学习了一元二次方程以后 ,我遇到一个问题 .请你们帮助解答 .谢谢 !已知ｘ1、ｘ2 是方程ａｘ2 +ｂｘ +ｃ =0 (ａ >0 )的两个根 ,且 0 <ｘ1<1 ,1 <ｘ2 <2 .求证 :ａ+ｂ +ｃ <0 .内蒙古　李贤李贤同学 :图 1这个问题用一元二次方程的知识来解的确很难 .现在 ,学了函数的知识以后 ,再解这个问题就简单多了 .设ｙ=ａｘ2 +ｂｘ +ｃ(ａ >0 ) ,由已知条件可知 ,这个二次函数的图象如图 1所示 .观察图象 ,当ｘ =1时 ,对应的点在ｘ轴下方 ,所以 ,当ｘ =1时 ,ｙ =ａ +ｂ +ｃ<0 .解答过程涉及了二次函数与一元二次方程的关…     

妙题巧解(四)

1 已知ｘ2 ｙ2 +ｘ2 +ｙ2 -4ｘｙ -8ｘ -8ｙ + 2 5=0 ,求ｘ、ｙ的值 .2 已知ａ、ｂ、ｃ都是正实数 ,且ａ >ｂ.求证 :ａ2 +ｃ2 -ｂ2 +ｃ2 <ａ-ｂ.3 已知 2 5ａ -5ｂ +ｃ =0 (ａ≠ 0 ) .求证 :ｂ2 ≥ 4ａｃ.4 已知△ＡＢＣ的三边ａ、ｂ、ｃ满足不等式ａ+ｂ +ｃ + 1 7≤ 4ａ -8+ 6ｂ-3+ 8ｃ-1 ,试判定△ＡＢＣ的形状 .5 若ｘ1、ｘ2 是方程ｘ2 + 5ｘ -7=0的两个根 ,则 (2ｘ21+ 1 3ｘ1-1 9) (2ｘ22 + 1 3ｘ2 -1 9)的值是.参考答案1 已知等式可变形为 (ｘｙ -3) 2 + (ｘ +ｙ) 2-8(ｘ +ｙ) + 1 6 =0 ,即 (ｘｙ -3) 2 + (ｘ +ｙ -4 ) 2=0 .∴　ｘ…     

二次数顶点式的几个功能

知识链接　　二次函数的一般式ｙ=ａｘ2 +ｂｘ+ｃ(ａ≠ 0 )经配方可化为ｙ =ａｘ+ｂ2ａ2 +4ａｃ-ｂ24ａ .若设ｈ =- ｂ2ａ,ｋ=4ａｃ-ｂ24ａ ,则上式可化简为ｙ=ａ(ｘ-ｈ) 2 +ｋ .由于从这个式子直接可知二次函数图象的顶点坐标为 (ｈ,ｋ) ,因而被形象地称为二次函数的顶点式 .功能之一　能清楚地显示出二次函数的主要性质将一般式化为顶点式之后 ,从三个常数ａ、ｈ、ｋ,能直接看出下列性质 (如图 1) .图 11 开口方向 :ａ >0 ,开口向上 ;ａ <0 ,开口向下 .2 对称轴 :直线ｘ =ｈ .3 顶点坐标 :(ｈ ,ｋ) .4 最值 :当ａ >0 ,ｘ =ｈ时 ,ｙ有最小…     

欢庆2003

1 .已知ｘ2 0 0 2 ｘ2 0 0 1 … 1 =0 ,求ｘ2 0 0 3 1ｘ2 0 0 3 的值 .解 :由ｘ2 0 0 3 =ｘ2 0 0 3 0 =ｘ2 0 0 3 ｘ2 0 0 2 ｘ2 0 0 1 … 1 =ｘ(ｘ2 0 0 2 ｘ2 0 0 1 … 1 ) 1 =ｘ·0 1 =1得 1ｘ2 0 0 3 =1 ,故原式 =1 1 =2 .2 .已知ａ、ｂ、ｃ、ｄ满足ａ ｂ=ｃ ｄ ,ａ3 ｂ3 =ｃ3 ｄ3 ,求证 :ａ2 0 0 3 ｂ2 0 0 3 =ｃ2 0 0 3 ｄ2 0 0 3 .证明 :因为ａ3 ｂ3 =ｃ3 ｄ3 所以 (ａ ｂ) (ａ2 -ａｂ ｂ2 ) =(ｃ ｄ) (ｃ2 -ｃｄ ｄ2 )因为ａ ｂ=ｃ ｄ ,故若ａ ｂ=ｃ ｄ =0 ,则ａ=-ｂ,ｃ=-ｄ ,从而ａ2 0 0 3 ｂ2 0 0 3 =(-…