万能公式在解题中的应用

在中学三角中.根据二倍角公式,可以推出角a与1/2a的关系式。令tga/2=t,可得通常叫做万能公式。如果原来的三角函数式只是关于a角的三角函数式有理式,运用置换tga/2=t后,原式就变为关于t的一元有理式,利用这一特点,我们可以解决三角中的许多问题。一、在求值中的应用解:由合分比定理得     

一道题的错误解答的改正

本刊89一9期《高中代数系列复习训练题》一文中有这样一道题: 设数列{a,}中,a,=3,a。十,=25。+Zn+1(n任N),S。二a,+aZ+…十a,求该数列的通项公式. 该文给出的简解如下: 解:,.’a,+:=25。+Zn+z, .’.a、=25。一i+2(n一1)+1, .,.a。+:一a。二Za。+2, …a”+:+1二3(a。+1), …a。+i=3钻(3+1)一1…。。一4·3。一‘一1.气 事实上,由a:=s,a,十;=25。+Zn+1(:任N)可得 a,=9, a3“29, 而由a、二4x3’‘一工一1,则得a,=11,a、=35,·…显然,a?‘=4 x3”一1一1不是原题的正确答案. 现笔者作如下解答: 解:,.’a。+,=25二+2,:+1 (刀〔N)。 (下转第27…     

透视“解直角三角形”考点

纵阅近两年各地中考试题,“解直角三角形”的考点主要有: 一、同角和互余角的三角函数间的关系例1 若tga=ctg20°,则a=——度。(贵州省贵阳市中考题)     

用复数三角式变形解三角函数问题

有关三角函数的问题,角式变形公式求解. 设复数三角形式 之=cogo+艺sino, :一丈二eoso一艺sino。 (1)·:一(2)·z整理,得 月可应用复数的三:2“+1 2全”⑥(l) (2)二2’‘一1乞(呀云不万’艺(z艺”+1)⑦5 ino二(1)。之十:2一12艺二(2)·z整理,得 z艺+1 2之COS左0二tgn口二e七gno二,2月1① 上述八个变形公式,把角分别用复数z的代数式来表示⑧0的三角函数,可把三角函C080=②数的问题转化为代数式的恒等变形的问题.由同角三角函数关系,得例1求sin等一s‘n磊的值·tgs22一1叔二「不乃一,③解:设z=cos工十10乞5 Ine七90=玄(z“+1)④由棣莫佛定理…     

幅角、极角、辅助角

在下面三个间题中,我们经常发现学生有这样的错误:的极角是、、,Z月.上,土 一 一一了了.、、 (1)在求复数时,由 a=召a,十z=a bi(a今。)的幅角e=a ret‘兰=ar。tg X==“rc‘g吸上,二万一!b忿eosa乙=亿沪下下,5 1 na1_.b卜一乡tga=一万,J“-这显然都是错误的(图一)。得二g/=a=一,     

带余除法的妙用

例1.已知a“十a一1=O,求“”+Za“+的值. 解:应用长除法,得 as+2a2+3=(。+1)(aZ+a一1)+4=4. 仁,!2。n为自然数,求证3“’‘干“一s;一9是4的倍数. 证:、“l时,命题显然成立,应用长除: 32(凡+1)十2一8仁无+l)一9 =3 Zk+4一8孟一17 =9(32人千2一8无一9)+64(忌+1). 故只要厅“h时命题成立,则。=k十1时命题成立.20x一29 4x一5.解:由带余除法得,1、气“十乏玉二丁少=(不匕简: 32坑玉二16)一(5一价、)(5一互坛生‘).二百妥万而+蓬至万弓·3一一 一为 + 1ZX一3 1O解之得x二一二一 ‘巾.求函数了(·卜釜资备袱的极值.甫夕:f(x)二1- 7xZ+:十1二‘…     

例谈数列求和的十种常见策略

一、拆项分组法例1和式2李 4李 8李 … 乙斗匕1一矛 1一矛‘024击等于一解:通项是a。=2“·岁，故原式=‘2 2’ 2’ … 2’。) (合 l、2‘1一2，0)十…十一下万J=— 2’U‘l一Z (令)…，nan，…的前n项和·分析:这个数列的每一项都含有a，而a等于l或不等于1，对数列求和方法有本质上的不同，所以解题时需要进行讨论.解:若a=1，S。二1 2 3 … n二n(n l) 2若。兴l，s。二。 Za， 3a， … na”·此时，该数列可以看作等差数列1，2，3，…，n与等比数列a，矿，矿，…，an的积构成的数列，且公比q二a.二2046 1023 1024点评:先把每一项拆成两…     

利用复数解三角问题

由于复数具有代数、几何、三角、指数等多种形式,故可用复数为工具解决一些代数、几何、三角问慈木文仅就用复数解三角问题作一探讨。 一、推导某些三角公式 例1.推导下列求和公式二1.一1S:一艺幼n(a 掩刀),52一艺eos(a k刀)毛,。心一护月一i鹉~1协一1解:.5: :S,一名[eos(a k刀) ‘s‘n(a k刀)1一名e以’ ‘,,一。·’·名e,.几声=e‘. 1一已‘.,夕 1奋云谓、...心一0几.0、,‘.、!一cosn刀 ‘气cos‘十公slna)·一不一万。 i一仁05P一isin”刀_isin口=(eosa 云51幻a) 、(一i一曾=又U(多5“十‘sllla)‘一一,—Slnse SlnSin子)扩 _.。刀/…     

日本高考模拟题选译(数列)解答

1.解:1.当公比为1时,设首项为a,r“一工扮O,…r“+2=0)r’1二一2则由S。二IC,得na=1饰这时3凡a=3几了两足厉3,=谷。,:.52。=艺几a=2·功=20。…S:,:_a(1一r“”) l一r1.当公比不为1时,设公比为儿s。=10-有些‘等井三=‘。·3。,有丝上竺竺王=30.则由 ①_a(1一rn)(1+r”)1一r=切,(一1)二一训。2.解:(1)an=4(1+1。+土赴“「二,1一r②+1。“一‘)=二门J”一l)。E产旦丝二望勺(;+,n十,2 n).1一护⑥(2)Sn=沙l;少(1+r“十r““)=3G。粤(,屯‘一‘’俨名n+尹n一2=0,(r’飞一i)(rn+助二、)、生〔卫(1(一])一,,〕日LU1986年第三期49.=丝(10” 81…     

让万能公式发挥“万能”作用

在高中三角公式中,万能公式(设t=tga/2,a≠(2k十l)π,k∈Z)sina=2t/(1 t~2),cosa=(1-t~2)/(1 t~2),tga=2t/(1-t~2)有其重要而独特的地位.之所以称其为万能公式,是由于不论a角的哪一种三角函数,都可以用这套公式使     

由数列递推公式求通项公式的几种方法

例1 3招 若数列2,az=2解’:a。一a:二{a。}满足a.十:=a-,求其通项公式。n一1 名(a,卜,一。,)k=1 n一1=名(3k 2) k=13.2 几一4 2:。a.=音‘3“’十“’ 11一1若乙l(幻可求,则满足递推公式a。,: k=1一“。=j(”),。:二。的数列的通项公式均可如此求出。 例2.数列{a.}满足a。 ;=2     

1989年上海市普通高级中学会考数学试卷 第六题简析

题目:设复数:,,::,…,气。为等比数列,已知,:的1,::=:i。=1,:。=忍:.求”,的模和辐角. 这是一道考查学生复数与等比数列两部分知识的综合题.由复数的表示方法不同可导出下面四种基本解法。 解法一:由题设得1=咤=气‘。=,声、=!么‘l,,…}劣:}=1. 解法四:设::二叹coso 翻ino),公比q=s(。osa 招Ina),这里r、s>0.’.’::==气。=1,于r俨s‘份份十“i.n.<“土“珍一于,‘、犷s’Lc0S吸口 ,“) 铝In吸U ,a)J=1.~{犷s=”.=1,eos(8 a)=eos(0 ga)由①知‘二s==1,即}::1== 1.2希万,0 ga=2正‘万,正、希,〔2. ①二1.②由②知0 a=消去a,得80=设:,=eo…     

解三角函数问题要注意隐含条件

解三角函数题时,极易忽视隐含条年而致误码率,下面结合实例说明=O的两根 (). ,且。,B任‘一要,吞、,则。十口的值等于 、‘乙, 为偶数2n时,a笋。二+手(n任Z);当k为奇数2n十1 任 A.合 C一晋或誓 通泌,.’ .’. tan(a+户= B一誓或晋 ‘D一誓 ta由十’al甲=下3万, tan口ta币片4, tana+ta明 .3成,一~、._,.0._。L,.~…,,二 时,a铸”兀+竿(n任Z),即等式右边的定义域为a护。二 一”‘一’一’.’4、’一~一‘’,一,尸一一一’~-一,‘’一‘”~ 我,,~、.,,3代,一~、一~一,、“二、, 宁气~气n匕乙,J‘口宁二n兀月.气尸、n匕乙),a匕从。JL瓜二七…     

每期一题

题:已知a。+:=3a。一2:n一,,a。=2,a,“3,求数列{“。}的通项公式。n。 解法一由递推公式“。十1=3a。一2a。一, 得a,,:一a。=2(a。一a。一,) 则有a:一a;=2(a,一a。) a3一aZ二2(a:一a,) a‘一as=2(a:一aZ) 解法二及初始条件 口2 口s 口‘由递推公式“:,+,=3a。一2a,-a。=2,“,=3,可得22+123+1=17=24+1............…….…,.......…… 由不完全归纳法,推测出an=2’+1下面用数学归纳法证明a:一a。一:=2(a:一:一a。一2)把上面n一1个等式两边分别相加得①当”=2时上面已验证,推测正内。②假设”《k时,命题皆成立,即(J’a:一al二2(a。一:一a。…     

求数列前n项和的几种方法

一、转化法:将数列转化为等差或等比数列的方法例1.求和:一1: 22一32 42一··一992 100,解:S=(2一1全) (42一32) … (200,一992) =3 7 … 199=50(3 199)/2=5050例2求和:l 11 112 … 11…l- ‘.v~解:‘、11“·11丫=; 1。 … :。一:二冬(,。,一1) 扮 S一音(l。一,) 合(:。:一1) 一 杏(‘。一,) 一音(,。 1 02 … ,。一。)一击(1。一 一gn一10). 例3.求数列1告一,3奋,5音,…前。项和S· 解:该数列可看作等差数列1,3,5,…与等比数列合,宁,音,…对应项相力。而成·从而易求得s.一‘ l一命. 二、拆项法:相反数的方法. 例4求和: 解:’‘人二将…     

三角函数

一、目标指引考试内容能力层次教学要求三角函数的有关概念理解1.任意角的概念.弧度的意义.并能正确地进行弧度与角度的互化2.任意角的正弦,余弦,正切的意义,会用共角函数线表示正弦,余弦,正切同角三角函数的基本关系式理解同角三角函数的基本关系式:·‘n=a c 052一‘·湍一‘·na,会用创门进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式的证明正弦,余弦的诱导公式理解正余弦和正切的诱导公式(2k兀 。“ez,,一。·二士。,晋士。,能用诱导公式进行求值、化简及恒等式的证明正余弦函数和正切函数的图象和性质理解会画正弦函数,余弦函…     

正、余弦定理五大热点

正弦定理和余弦定理是解斜三角和判定三角类型的重要工具,其主要作用是将已知条件中的边、角关系转化为角的关系或边的关系.在近年高考中主要有以下五大命题热点:一、求解斜三角形中的基本元素是指已知两边一角(或二角一边或三边),求其他三个元素问题.【例1】在△ABC中,a、b、c分别是∠A、∠B、∠C所对的边.若∠A=105°,∠B=45,b=22,则c=.解:由正弦定理,得sinbB=sincC,即si2n425°=sinc30°,解得c=2.【例2】在△ABC中,sinA∶sinB∶sinC=2∶3∶4,则∠ABC=(结果用反三角函数值表示).解:由已知及正弦定理,可得a∶b∶c=2∶3∶4,则a=2k,b…     

三角形中的边角问题

原初中数学教材中的“解斜三角形”,现已编入高中代数第三章:“两角和的三角函数,解斜三角形”中,因此,三角恒等变形和正(余)弦定理的综合应用、立体几何计算题中的解三角形问题,应引起足够的重视。在解题中常用的三角形ABC中的边角关系有: (1)三角形的三个内角和为π,即A B C=π. 作用:三角形的三个内角(或它们的三角函数)之间的相互转化. (2)正弦定理:a/(sinA)=b/(sinB)=c/(sinC)=2R(R为三角形ABC外接圆半径); 余弦定理:c~2=a~2 b~2-2abcosC(当c=π/2时,勾股定理). 作用:三角形的边和角的正(余)弦之间的相互转     

关于asinx+bcosx=c的若干应用

高中代数(甲种本)第二册31页给出了!eo,(B一中)!形如cls汪x十乙cosx二‘的三角方程的解法,训eosZ(8+甲)+sin’(夕+ !c!=护乎不矛,’引入辅助角乡, a.。斌夕COSU=一万一育一甲甲丫一5111口= 犷a一卜口“-eos’(8一中)=了不今‘· b、/夕’十b“,将左边化积为了a’+乙’sin(、+口),两边同除以了a’+b’得s三n扛+8)- C丫护落.宁’原方程有解的充要条件是!下r笋币}、1.。、一二。二一”‘~一‘、,,~}、/护+bz}一’ 下面指出该方程的一些应用‘ 一、视sizix,eosx为万,夕,ax+b夕=c(}刘簇1,{引(D作为二元一次方程,用于证明有关三角条许等式. 例…     

浙江省1989年高中证书会考数学试题(B)

第一卷 1.设全集I二考非负整数卜,N={自然数},则N二 (A){o少(B”.(C)0.(D)于负整数}. 2.函数g=姓cos(。x+沪)(其中A,“,沪为常数,且月护。:。>。戏R)的周期T”10.巳知sin(兀+a)二 3~J-卜二.IUll 5‘(人)。osa一音·(。)seoa一号.‘B,,‘n(“一a)二鲁.‘D,,ga一备.(A)去.(B)答.(C)粤·‘D)等.s二已知a(R+,则arga+arg(一a)二(A)。.‘B)晋‘(C,二。‘D),二.‘.经过点““,一2),斜率为合的直线方程是(A)。+2一音二一,.(B)u一2一音二+,.(c)。+2一奋〔二一1).(D),一2一合(二+1).:,,函数。一Zarc。:n奋(城一:)的值域是(A)卜李司·(B)〔…