不定积分的一点注记

我们知道,不定积分总是与某个区间联系在一起的.对〔a,b〕上的函数f(x),f(x)的不定积分是f(x)在〔a,b〕上的原函数的一般形式,即∫f(x)dx=F(x)+C,Ax∈〔a,b〕.     

学习一元积分学

一元积分学是积分学的基础。主要有:概念(原函数、不定积分与定积分)、计算方法和应用(几何与物理的)三部分内容。 一、不定积分 在(a,b)上定义的函数f(x),存在F(x),满足F′(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx F(x)就是f(x)的一个原函数。对任意常数C,表达式     

对不定积分的新处理

以前用不定积分∫f(x)dx表示全体的原函数F(x) C．从而把C看作任意常数或变元,比较新近的说法用∫f(x)dx表示原函数族．从而∫f(x)dx不再是一数而是函数集,这些说法都有其本身的问题,难以服人。本把∫f(x)dx出写成∫^xf(x)dx(分清现行变元与积分变元),用它表示一个确定的(但尚未具体指定的)原函数,C为待定常数。     

数值积分的Monte—Carlo法程序

在实际中,经常会碰到这样的问题:对于给足的有限区间〔α,b〕上的连续函数f(χ)需要计算定积分∫b/af(x)dx的值。利用牛顿——莱不尼慈公式:∫b/af(x)dx=F(b)-F(a) 仅仅能解决被积函数f(x)的原函数F(x)以初等函数的形式存在且容易求出的问题。但是,在大量的实际问题中,有许多被讨论的被积函数f(x)的原函数不能用初等函数的闭合形式表示,     

微积分基本定理浅谈

微积分基本定理通常叙述为: 若f(x)在[a,b]上连续,则 〈1〉Φ(x)=integral from n=a to x(f(x)dx)是f(x)在[a,b]上的一个原函数,即Φ’(x)=f(x)x∈[a,b]; 〈2〉若F(x)是f(x)在[a,b]上的任一原函数,则 integral from n=a to b(f(x)dx=F(b)-F(a)) (称为牛顿—菜布尼兹公式) 此定理就其对微积分的重要性来讲,称之为基本     

《高等数学(1)》自测模拟试题

一、填空题1.函数f(x)=11n(x+2)+4-x2的定义域是。2.函数f(x)=1nx+11-x的定义域是。3.若函数f(x)=5exx<03x+ax≥0在点x=0处连续,则a=。4.设f(x)=exx≥0xk+1x<0在x=0处可导,则k=。5.已知f(x)在x=0处可导,则limx→0f(2x)-f(0)x=。6.若y=xx,则dydx。7.若连续函数f(x)在区间a,b内恒有f′(x)<0,则此函数在a,b上的最大值是。8.设f(x)=x2-3x+2,则f(f′(x))=。9.极限limx→0∫x0costdtx=。10.limx→0∫x0sintdtx2=。11.∫exf′exdx=。12.已知函数f(x)的一个原函数是arctan2x,则f(x)=。13.根据定积分的几何意义,∫3-39-x2dx=。14.广义积分∫+∞adxxpa…     

不定积分一章中的几个问题

全日制十年制学校高中数学课本第四册第十章为不定积分。现将这一章的有关问题说明如下,并提供点资料,供老师们备课时参考。一、关于本章的教材分析这一章包括不定积分的基本概念和不定积分的基本积分法。 1.原函数与不定积分及它们的关系: 原函数若F′(x)=f(x),那么称F(x)为f(x)的一个原函数; 不定积分将f(x)的所有的原函数F(x)+C称为f(x)的不定积分。原函数与不定积分的关系是所有的原函数就是不定积分。     

定积分中值定理的一个推广

函数f(x)φ（x)和g(x)φ(x)分别在[a,b]上连续，在(a,b)内φ（x)≠0则必存在一点ζ∈（a,b)使得g（ξ）∫a^b(x)φ(x)dx=f(ξ）∫a^bg(x)φ(x)dx成立，这个结论对于多个函数对fi(x)φ（x),i=1,2,…,2n也成立。     

不定积分计算规则

求导数和求不定积分是微积分学中的两种基本运算。求导数的方法有一定之规,有固定章法可循,而求不定积分的方法却灵活多变。下面略述不定积分的一些可循的章法。一、不定积分的计算规则1.基本规则dF(x)=f(x)dx(?)(?)f(x)dx=F(x)+C     

历届《高等数学》(二)考点分析及应试方法(下)

考点四　积分1 .积分的性质( 1 ) ∫[f ( x)± g( x) ]dx =∫f( x) dx±∫g( x) dx(定积分与不定积分有相同性质 )( 2 ) ∫kf ( x) dx =k∫f( x) dx(定积分与不定积分有相同性质 )( 3) ( ∫f ( x) dx)′=f ( x)( 4 ) ∫f′( x) dx =f ( x) + c( 5 ) ∫aaf ( x) dx =0( 6) ∫baf ( x) =- ∫abf ( x) dx( 7)若 a 相似文献   

定积分换元公式的几个推论及应用

1定积分的换元公式若函数f(x)在区间[a,b]上连续,函数x=(?)(t)在区间[α,β]上有连续导数(?)′(t),当t在[α,β]上的变化时,函数x=(?)(t)的值在[a,b]上变化,并且(?)(a)=a,(?)(β)= b,则(?)f(x)dx=(?)[(?)(t)](?)(t)dt,上式称为定积分的换元公式(证明略)．     

“正”者无敌乎?必击破之!———对“正函数”的一点思考

一、学生的困惑 学生在课间向笔者提出这样一个问题: 若函数f(x)为定义域D上的单调函数,且存在区间[a,b](∈)D(其中a＜b),使得当x∈[a,b]时,f(x)的值域恰为[a,b],则称函数f(x)是D上的正函数,区间[a,b]叫做和谐区间.如果函数g(x)=x2+m是(-∞,0)上的正函数,则实数m的取值范围是_____.     

不定积分概念中值得注意的问题

高等数学的不定积分概念中 ,有一个重要结论 :函数f(x)的任意两个原函数之间相差一个任意常数。可是有的学生在求原函数或不定积分的计算中往往忽视该结论 ,因而出现错误 ,甚至出现荒谬的结论 ,请看下面几个问题。例 1.设f(x) =e│x│ ,求f(x)的一个原函数。　　 [错解 ]f(x)可表示成分段函数。f(x) =ex　　　　x≥ 0e-x　　　x<0因为ex 和e-x的一个原函数分别为ex 和 -e-x,所以f(x)的一个原函数可用F(x)表示 :F(x) =ex　　　　x≥ 0-e-x　　x <0　　由原函数定义可知 ,若F(x)是f(x)的一个原函数 ,则F(x)应在 (-∞、+∞ )内处处可导 ,但上…     

导数在证明不等式中的应用

不等式是初等数学的重要内容之一,在初等数学和高等数学中都广为应用,证明不等式的方法很多,但有的比较烦琐,如果用导数便简单明了,本文试说明导数在证明不等式中的应用.一、用微分中值定理证明不等式微分中值定理:若函数f(x)满足条件:(i)在闭区间〔a,b〕上连续;(ii)在开区间(a,b)内可导,则在区间(a,b)内至少存在一点C,使得f(b)-f(a)=f′(c)(b-a)若不等式的一端是某一个函数F(x)在两点之差F(b)-F(a),则在区间〔a,b〕上利用微分中值定理,再将F′(C)适当放大或缩小.     

黎曼引理的推广及应用

黎曼(Riemann)引理是人们较为熟知的一个命题,本文拟将该命题给予推广,推广后的命题,应用于解决一些特型的定积分的极限问题非常便利。 1°Riemann引理及推广命题 Riemann引理 设函数f(x)在[a,b]上可积并绝对可积,则 (?)integral from n=a to b(f(x)sin(nx)dx)=0。 推广命题1 设函数f(x)在[a,b]上可积并绝对可积,则 (?)integral from n=a to b(f(x)sin~2(nx)dx)=1/2integral from n=a go b(f(x)dx),     

从几道重要例题看不定积分与变限定积分的关系

通过一类考研题的讨论,表明不定积分∫f（x）dx只能作为运算符号,无法用来讨论f（x）的某一原函数的性质;而变限定积分函数∫a^xf（t）dt为某一确定的原函数。可以用它来讨论f（x）的原函数的性质;如函数的奇偶性、单调性、极值等．     

联想导数运算法则 合理构造函数解题

著名数学家波利亚在《怎样解题》一书中明确提出,联想是解题计划的重要一环,学会联想是数学解题成功的一大关键.因此,在解题过程中,要善于观察题设条件与所求结论的结构特征,分析题设与结论之间的联系,联想题目与已有知识结构的相似性.本文结合联想导数运算法则,举例说明之.一、联想和、差函数的导数运算法则例1设函数f(x)、g(x)在区间[a,b]上连续,在区间(a,b)上可导,且f′(x)g(x)(B)f(x)g(x)+f(b)(即选项     

按段光滑函数定义的探讨

一按段光滑函数的两种定义的比较多数《数学分析》教程是这样定义按段光滑函数的: 定义1如果函数f(x)在区间(a,b)上除可能有有限个第一类不连续点外,处处都连续,则称函数f(x)在(a,b)上按段连续。定义2 如果函数f(x)满足以下条件:1)函数f(x)在区间(a,b)上按段连续;2)导函数f′(x)在区间(a,b)上也按段连续,则称函数f(x)在区间(a,b)上按段光滑。有的《数学分析》教程,如华东师范大学数学系编《数学分析》下册里,又是这样定义按段光滑函数的: 定义3 若f(x)的导函数f′(x)在区间(a,b)上连续,则称f(x)在(a,6)上光滑.但若定义在(a,b)上的函数的导函数,f′(x)在(a,b)上除了至多有限个点外都存在且连续,在这有     

一类积分恒等式的推广及应用

文章利用两个基本的定积分恒等式∫ba f(x)dx=∫ba f(a+b-x)dx和∫ba f(x)dx=∫(a+b)/2a[f(x)+f(a+b-x)]dx=∫b(a+b)/2[f(x)+f(a+b-x)]dx,变形后得到其对应的两个重要推论。利用上述几个积分恒等式,从中心对称和轴对称的角度将其推广,用以解决一系列二重积分和三重积分的问题,并由此给出利用"中心对称、轴对称"简化积分计算的一般方法。稍作修改后,该方法也可用来解决关于曲线积分、曲面积分的一系列问题,对于具有对称区域的各种积分问题也都具有一定的适用性。     

微积分中值定理的反问题

本文考虑了微分中值定理及积分中值定理的反问题,证明了下述结果:定理1 设函数f(x)及g(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)上可导.且对任意ξ∈(a,b).g′(ξ)>0,F(x)=F(x)-F(ξ)/g(x)-g(ξ)为x的严格增函数(除ξ点外)。那么存在x_1,x_2∈(a,b),x_1<ξ相似文献