每期一题

题:若:a、b、c为正数,试求函数y=(x~2+a~2)~(1/2)+((c-x)~2+b~2)~(1/2)的极小值。解法一复数法运用代数中学过的复数模不等式 |z_1|+|z_2|≥|z_1+z_2|。设 z_1=x+ai x_2=(c-x)+bi ∴|z_1|=(x~2+a~2)~(1/2) |z_2|=((c-x)~2+b~2)~(1/2) ∵|z_1|+|z_2|≥|z_1+z_2| ∴y=|z_1|+|z_2|≥|z_1+z_2| =|x+ai+c-x+bi| =|c+(a+b)i|=(c~2+(a+b)~2)~(1/2) ∴y_min=(c~2+(a+b)~2)~(1/2)。解法二代数法运用不等式(x_1~2+y_1~2)~(1/2)+(x_2~2+y_2~2)~(1/2)≥((x_1+x_2)~2+(y_1+y_2)~2)~(1/2)其中等号仅当x_1/x_2=y_1/y_2时成立。∴y=(x~2+a~2)~(1/2)+((c-x)~2+b~2)~(1/2)     

Fuzzy向量的线性无关性

设P~n={X|X=(x_1,x_2…,x_e),x_j∈[0,1],j=1,2,…,n}。称P~n的元素为Fuzzy向量。两个Fuzzy向量A=(a_1,a_2,…,a_n)与B=(b_1,b_2,…,b_n)的和定义为A+B=(max(a_1,b_1),max(a_2,b_2),…,max(a_n,b_n)λ∈[0,1]与Fuzzy向量的数乘定义为λA=(min(λ,a_1),min(λ,a_2),…,min(λ,a_n)。若Fuzzy向量组A_1,A_2,…,A_n中,任何向量均不能用其余向量线性表出,称向量组为线性无关向量组。容易证明,在P_n     

利用不等式取等号的条件来解题

有些问题利用不等式取等号的条件很容易获得解决。我们先列出几个常见的不等式,然后举例说明之。①a_1 a_2 … a_n/n≥(a_1a_2…a_n)~(1/2),(a_i∈R~ ,i=1,2,…,n)当且仅当a_1=a_2=…=a_n时取等号。② a~2 b~2 c~2≥ab bc ca,(a,b,c∈R)当且仅当a=b=c时取等号。③ a_i,b_i∈R,=1,2,…,n,a_1b_1 a_2b_2 … a_nb_n≤(a_1~2 a_2~2 … a_n~2)(b_1~2 b_2~2 … b_n~2)当且仅当a_1/b_1=a_2/b_2=…=a_n/b_n时取等号。④ |a±b|≤|a| |b|,(a,b∈R)上式中取加号时不等式取等号的充要条件为ab≥0;取减号时,当且仅当ab≤0时取等号例1 如果四边形ABCD的边a,b,c,d满足a~4 b~4 c~4 d~4=4abcd,试判断四边形ABCD的形状。解据不等式①得 a~4 b~4 c~4 d~4≥     

关于欧氏空间Cauchy不等式的应用

众所周知在一个欧氏空间里,对于任意的向量ξ,η有不等式; (ξ,η)≤(ξ,ξ)(η,η)这里〈ζ,η〉叫做向量的内积,式中等号当且仅当向量ζ与η线性相关时成立.这是欧氏空间的Cauchy不等式.据此在欧氏空间R~n中可以证明关于数论中的Cauchy不等式: (a_1b_1+a_2b_2+…+a_nb_n)~2≤(a_1~2+a_2~2+…+a_n~2)(b_1~2+b_2~2+…b_n~2)……(1)式中等号当且仅当a_1/b+a_2/b=…=a_n/b时成立.本文将研究不等式[1]的若干应用,     

完全平方数的一些判定方法

判定某一整数是不是完全平方数的问题,在数学竞赛中常有所见.对这一问题,本文将通过典型例题,介绍几种最常用的方法. 在解题过程中,我们将随时使用下列各性质: 1°(a,b)=(a-bq,b),q∈Z. 2°若(a,b)=d,a=da_1,b=db_1,则(a_1,b_1)=1. 3°若(a_1,b_1)=1,q=1,2,3,…,m,P=1,2,…,n,则(a_1a_2…a_m,b_1b_2…b_n)=1.特别地,若(a,b)=1,则(a~m,b~n)=1. 4°若(a,b)=1,a|bc,则a|c. 5°若(a,b)=1,a|c,b|c,则ab|c. 6°大于1的整数a可唯一地表成:     

构造向量巧解有关不等式问题

新教材中新增了向量的内容,其中两个向量的数量积有一个性质:a·b=|a|·|b|cosθ(其中θ为向量a与b的夹角),则|a·b|=||a|·|b|cosθ|,又-1≤cosθ≤1,则易得到以下推论:(1)a·b≤|a|·|b|;(2)|a·b|≤|a|·|b|;(3)当a与b同向时,a·b=|a|·|b|;当a与b反向时,a·b=-|a|·|b|;⑷当a与b共线时,|a·b|=|a|·|b|.下面例析以上推论在解不等式问题中的应用.一、证明不等式例1已知a、b∈R ,a b=1,求证:2a 1 2b 1≤22.证明:设m=(1,1),n=(2a 1,2b 1),则m·n=2a 1 2b 1,|m|=2,|n|=2a 1 2b 1=2.由性质m·n≤|m|·|n|,得2a 1 2b 1≤22.例2已知x y z=1,求…     

数量积性质|a·b|≤|a||b|的应用

本文主要谈谈平面向量数量积的性质|a·b|≤|a||b|在证明不等式、求函数最值方面的应用。一、证明不等式【例1】已知a_1,b_1,a_2,b_2∈R,求证:     

一个几何命题的推广

常庚哲教授在初等数学论丛第2期上给出了一个几何命题: △ABC的三边为a_i,b_i,c_i,面积为△_i,三边上的高分别记为p_i、q_i、r_i,这里i=1,2,令a~3=(a_1~2 a_2~2)~(1/2),b_3=(b_1~2 b_2~2)~(1/2),c_3=(c_1~2 c_2~2)~(1/2),则有:     

等比定理在解题中的应用

若a_1/b_1=a_2/b_2…=a_n/b_n,且b_1 b_1 … b_n≠0, 则(a_1 a_2 … a_n)/(b_1 b_2 … b_n)=(a_1)/(b_1)=…=(a_n)/(b_n). 这就是我们熟知的等比定理,关于该定理的应用在现行中学教材中涉及较少,然而它的应用还是很广泛的,兹举例予以说明。1 化简 例1 分母有理化:(3 2(2)~(1/2)-3~(1/2)-6~(1/2))/(1 2~(1/2)-3~(1/2))= __________.（1989年全国部分省、市初中数学通讯赛初赛试题）     

2014年高考数学必做创新题

第1点运算定义型()必做1定义平面向量的一种运算:ab=|a|·|b| sin〈a,b〉,则下列命题:1ab=ba;2λ(ab)=(λa)b;3(a+b)c=(ac)+(bc);4若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab=|x1y2-x2y1|.     

Cauchy不等式及其应用

设a_k,b_k(k=1,2,…,n)是任意实数,那么,不等式(a_1b_1+a_2b_2+…+a_nb_n)~2≤(a_1~2+a_2~2+…+a_n~2)(b_1~2+b_2~2+…+b_n~2)(1)或|a_1b_1+a_2b_2+…+a_nb_n|≤(a_1~2+a_2~2+…+a_n~2)~(1/2)(b_1~2+b_2~2+…+b_n~2)~(1/2)(1’)是成立的,等号当且仅当a_k=cb_k(c为常数)时,即a_k与b_k成比例时成立.不等式(1)或(1’)就是著名的柯西(Cauchy)公式或柯西不等式.这个不等式的证明是这样的:     

一个恒等式的应用

我们有等式(a_1~2 a_2~2)(b_1~2 b_1~2)=(a_1b_1 a_2b_2)~2 (a_1b_1-a_2b_1)~2=(a_1b_1-a_2b_2)~2 (a_1b_2 a_2b_1)~2,它在解答有些问题时能起重要作用,下面举例说明.     

柯西不等式与最值

<正>最值问题在高中数学中是经常遇到的一类题型,求最值的方法很多,但最常用的还是利用不等式规律,如均值不等式、柯西不等式等。下面就来谈谈利用柯西不等式求最值这种方法的应用。柯西不等式:设a_1,a_2,…,a_n与b_1,b_2,…,b_n是两组实数,则:(a_1b_1+a_2b_2+…+a_nb_n)²≤(a_12≤(a_1²+a_22+a_2²+…+a_n2+…+a_n²)(b_12)(b_1²+b_22+b_2²+…+b_n2+…+b_n²)。当向量(a_1,a_2,…,a_n)与(b_1,b_2,…,b_n)共线时,等号成立。例1设实数a,b,c,d,e满足:     

利用辅助角公式探讨函数y=(a_1sinx b_1cosx c_1)/(a_2sinx b_2cosx c_2)的值域

本文将利用辅助用公式asinx bcosx=(a~2 b~2)～(1/2)sin(x φ)(tgφ=b/a)对函数a_1sinx b_1cox c_1/a_2sinx _2conx c_2的值域进行探讨,并对所对值域的可靠性进行讨论.用此方法求函数y=a_sinx b_1cos c_1/a_2sinx b_2cosx c_2的值域具有一定的广泛性,实用性     

柯西不等式的向量形式(高二、高三)

柯西不等式 设a1,a2,…,an,b1,b2,…,bn均是实数,则有 (a1b1 a2b2 … anbn)2 ≤(a12 a22 … an2)(b12 b22 … bn2)等号当且仅当ai=λbi(λ为常数,i=1,2,…,n)时成立. 向量形式 设n维向量α(a1,a2,…,an),β(b1,b2,…,bn),则有 α·β≤|α|·|β|,当且仅当α∥β时取等号. 推论1 设a1,a2,…,an,b1,b2,…,bn均是实数,则有(a12 a22 … an2)~(1/2) (b12 b22 … bn2)~(1/2)     

柯西不等式的两种形式及应用

<正>柯西不等式设a_1,a_2,…,a_n与b_1,b_2,…,b_n是两组实数,则有(a_1~2+a_2~2+…+a_n~2)(b_1~2+b_2~2+…+b_n~2)≥(a_1b_1+a_2b_2+…+a_nb_n)~2,当向量(a_1,a_2,…,a_n)与向量(b_1,b_2,…,b_n)共线时,等号成立[1].对于柯西不等式在n=2和n=3时有下面常见的代数形式和几何形式.设A,B与x,y是两组实数,则有     

应用比例性质要注意的一个问题

若a_1、b_1、a_2、b_2成比例,即a_1/b_1=a_2/b_2,则它具有下列性质: (1)a_1/a_2=b_1/b_2,b_2/b_1=a_1/a_2 (更比定理) (2)b_1/a_1=b_2/a_2 (反比定理) (3)a_1/(a_1+b_1)=a_2/(a_2+b_2),(a_1+b_1)/b_1=(a_2+b_2)/b_2 (合比定理) (4)a_1/(a_1-b_1)=a_2/(a_2-b_2),(a_1-b_1)/b_1=(a_2-b_2)/b_2 (分比定理)     

柯西不等式的应用

已知a_1,a_2,…a_n和b_1,b_2,…b_n是实数,则(a_1b_1+a_2b_2+…+a_nb_n)~2≤(a_1~2+a_2~2+…+a_n~2)(b_1~2+b_2~2+…+b_n~2),并且在a_1/b_1=a_2/b_2=…=a_n/b_n等时取等号。上面的不等式叫做柯西不等式,课本中“求     

一个复数性质的妙用

设 z∈C,记 z 的实部为 R(z),z 的虚部为 I(z),则有 |R(z)|≤|z|,|I(z)|≤|z|.巧用这一性质解题,优美简捷,妙不可言.例1 对任意实数 a_1、a_2、b_1、b_2,有(a_1b_1 a_2b_2)~2≤(a_(1)~2 a_2~2)(b_1~2 b_2~2).当且仅当a_1b_2 a_2b_1时,取等号,(二维柯西不等式)     

2001年高中联赛第13题评析

2001年全国高中数学联赛一试第13题为:设{a_n}为等差数列,{b_n}为等比数列,且b_1=a_1~2,b_2=a_2~2,b_3=a_3~2,(a_1相似文献