也谈奥赛试题中一类分式不等式的递推证明

受贵刊的影响,笔者对各类奥赛试题中的一些分式不等式的证明给出一种新的递推证法,这种递推证法是把"高级分式不等式"转化为"低级分式不等式",以达到降低问题难度、实现快速证题的目的.     

分布式不等式的又一证法

关于分式不等式的证明,人们已总结了不少方法.本文利用柯西(Cauchy)不等式的一种变式再给出一种证法,这种证法常被人们所忽视,然而它在证明一类分式不等式时却十分奏效,现介绍如下,以供参考.     

分式型不等式新法新证

笔者在文[1～5]中曾介绍了证明分式型不等式的一些方法,经过探究,近期又发现了一些分式不等式的一种新证法——对偶法．兹举例说明之．     

一个分式不等式的应用

本文给出一个分式不等式，利用它可得到一些不等式的简捷证法，并轻松地解决一些较复杂的极值问题．     

一类分式对称不等式的证法

在对称不等式中，将2拆成1＋1，根据其结构特征，将两个1分别赋予待证不等式中的某些数式关系．实施配项结合后，再运用基本不等式，便可得到一类分式对称不等式的自然流畅之证法，这种证法称为拆2化1证法．如下以《数学教学》中的一组不等式证明问题为例说明之．     

分式不等式的证明变形策略

国内外数学竞赛及各大期刊的“数学问题”中，频繁出现的分式不等式证明问题，可谓千姿百态、精彩纷呈．证明这些分式不等式，虽然证法灵活多变、因题而异，但总以一定的变形为基础，通过变形，沟通与已知不等式之间的联系，使问题获解．可以说，恰到好处的变形是证明分式不等式的关键．为此，本文归纳分式不等式证明的变形策略，供读者参考。     

几个分式不等式的另证及其推广

贵刊文[1]给出了几个姐妹分式不等式,它们不仅形式优美,而且其证明方法也很独特,笔者读后深受启发．本文将给出文[1]中几个分式不等式的另一证法,并对它作进一步的推广,仅供大家参考．     

对一道分式不等式的探究及其应用

分式不等式:设b_i>0,i=1,2,…,n,求证:本题借助柯西不等式或方差容易证得,下面给出另一种新颖简洁的证法——向量证法     

巧构恒等式 巧证分式不等式

分式不等式千姿百态,证法甚多.本文揭示一种最简洁的方法:构造恒等式法. 定理设S,T∈R,S=T+Q,     

构造向量证明不等式

有一类分式不等式的证明在数学竞赛中经常出现,它的特点是不等式的一边各项形如 a2/(a±b)、a2/(b±c)、a/(a±b)或a/(b±c)的式子,通过构造向量并利用|a|·|b|≥|a·b|,可得到这类分式不等式的简捷证法,且构造向量的方法思路单一,操作简便,现举例说明．     

分式不等式的又一证法

关于分式不等式的证明 ,人们已总结了不少方法 .本文利用柯西 (Ｃａｕｃｈｙ)不等式的一种变式再给出一种证法 ,这种证法常被人们所忽视 ,然而它在证明一类分式不等式时却十分凑效 ,现介绍如下 ,以供参考 .柯西不等式的变式　设ａｉ∈Ｒ ,ｂｉ∈Ｒ(ｉ=1,2 ,… ,ｎ) ,则　　　 ( ｎｉ=1ａｉｂｉ) 2 ≤ ( ｎｉ=1ａｉ) ( ｎｉ=1ａｉｂ2 ｉ) ,( )等号成立当且仅当ｂ1=ｂ2 =… =ｂｎ.由柯西不等式易知不等式 ( )成立 ,证明从略 .为书写方便 ,用 表示循环和 .例 1　已知ｘ ,ｙ ,ｚ∈Ｒ ,ｋ为常数 ,ｋ∈Ｒ ,求证 ｘｋｙ ｚ ｙｋｚ ｘ ｚｋｘ …     

巧设含参数分式 妙证分式不等式

分式不等式千姿百态，绚丽多彩，其证明方法也因题而异，异彩纷呈，美不胜收．本文介给一种参数证法：引入参数t，注意到1=a^t/a^t＋b^t＋b^t/a^t＋b^t,1=a^t/a^t＋b^t＋c^t＋b^t/a^t＋b^t＋c^t＋a^t/a^t＋b^t＋c^t等，借助拆项法、均值法，巧证一类分式不等式．     

一类分式不等式的巧妙证法

本文对型如sum from i=1 to n ((q_i)/(1-q_i))≥A(0相似文献   

“一石五鸟”话解题

在高二数学教材不等式的证明一节中 ,有这样一道例题 :已知a ,b,m都是正数 ,并且a ab .本题是一道比较典型的例题 ,从不同角度去思考 ,会给人以不同的收获 .除教材中给出的作差法外 ,下面我给出另外四种不同证法 :思路 1　不等式的左右两边都是分式 ,故可联想     

用柯西不等式拆分证明一类不等式

<正>笔者在证明一些不等式时,发现有一类含分式的不等式,如果分式的分子是单项式,且分母有多项,则该类不等式可以借助柯西不等式进行拆分证明,即把一个母分式拆分成若干个子分式之和,进而证明此类不等式.在运用柯西不等式拆分时,常需结合均值不等式处理.下面举例说明这一方法的应用.     

两个新分式不等式的推广

文献[1]给出了两个新分式不等式,将这两个特殊的分式不等式进行了推广,得到两个更一般的分式不等式.     

证明分式不等式的变形技巧

近年来,数学竞赛中涉及的不等式大都是分式不等式,这些不等式的证明常常需要较强的变形技巧,为利用有关方法或基本不等式创造条件,本文介绍分式不等式证明中几种常用变形。1 分离整式 如果不等式中涉及的分式为“假分式”(即分子的次数不低于分母的次数),可将其拆为整式与“真分式”的和,常可简化运算,使     

权方和不等式的完善

不等式是数学研究的重要内容,在高考试题中受到青睐,并且是竞赛数学的热门话题,是中学数学学习的重难点．分式不等式长期以来就较复杂,在解决分式不等式问题中常常难以突破．对此,本文所给出的权方和不等式在解决分式不等式问题中具有广泛应用．     

切线法“三用”证明一类不等式

<正>导数进入高中数学教材,为我们研究函数的性质——单调性,极值与最值增加了强有力的工具,为高中数学解题注入了新的活力.在各层次的数学测试与竞赛中,常有一些整式、分式、无理不等式的证明,这些不等式的结构对称、形式优美,其证法构思精巧,异彩纷呈,让人观而叹止.其实,不等式的证明可以看作是函数载体下的最值或极值问题,因此,导数为我们研究不等式的证明提供了一种新途径和方法——以直代曲,即利用函数图象在某点处的切线来逼近曲线,以证明一类对称和不等式.     

一类对称型分式不等式的导数方法证明探究

在近几年的各类数学竞赛试题中，分式不等式的证明出现较为频繁，其中有很多分式不等式是多变量的离散型问题，对称型分式不等式亦经常出现在很多试题中．本文试图通过几个例子来探究这类对称型分式不等式的导数方法证明的基本模式．