对"对应线段成比例"理解方式的探讨

在人教版三年制<几何·第二册>(以下简称"教科书")"5.2平行线分线段成比例定理"(以下简称"定理")练习中,有这样一道题:已知如图1,l1//l2//l3,证明:     

应用“平行线的性质与判定”的思路及方法

“平行线”是初一几何的重点兼难点。这部分知识的特点是公理、定理多 ,思路广 ,方法多。正是因为本单元的公理多、定理多 ,于是就为“平行线”的应用提供了多种思路与方法。一、“平行线的判定”的应用例 1.如图 ,已知∠ B ∠ BCD ∠ D=360°,求证 :∠ 1=∠ 2。思路 :要证明∠ 1=∠ 2 ,而∠ 1=∠ 5,所以需证明∠ 5=∠ 2 ,于是“AB∥ DE”是此题证明的关键。下面尝试使用平行线的各种判定方法解决此题。证法 1:(根据“平行公理的推论”证明 AB∥DE)过点 C作 CF∥ AB,则∠ B ∠ 3=180°(两直线平行 ,同旁内角互补 ) ,∵∠ B ∠ 3 ∠ …     

数学重在分析推理(二)

(接上期)定理3两条平行线,第三条直线和它们相交,则内错角相等.分析在图5中,直线l2∥l1,l3与l1,l2相交,要想证图5明∠1=∠2,根据基本事实2,只要能证明∠2=∠3就行了.证明因为∠1和∠3是,所以=().又已知∠2=∠3,所以=().定理4两条平行线被第三条直线所截,则同旁内角互补.分析在图6中,直线l2∥l1,直线l3与l2,l1相交.∠1和∠2是同旁内角.要想证明∠1+∠2=180°,根据基本事实2,图6只要能证明∠2=∠3就可以了.证明因为∠1+=180°(),又已知∥,所以∠2=∠3,所以∠1+∠2=().定理5试证明:三角形ABC三内角之和∠A+∠B+∠C=180°.分析在图7中,CE∥B…     

一道课本习题的探究与应用

题目:如图1,直线l1∥l2,△ABC与△DBC的面积相等吗?你还可以画出一些与△ABC面积相等的三角形吗?(人教版八年级下册第十九章《四边形》习题19·1第8题)认真研究本题可以得到以下两个命题:命题:如图1,若直线l1∥l2,则S△ABC=S△DBC,逆命题:如图2,若S△ABC=S△DBC,则有直线l1∥l2.不难证明两个命题的正确性·     

一道几何赛题的多元证法及启示

2007年全国初中数学竞赛(浙江赛区)复赛试题第14题是这样的:题目如图1,AB∥CD,AD∥CE,F,G分别是AC和FD的中点,过G的直线依次交ABAD,CD,CE于点M,N,P,Q.求证:MN PQ=2PN.平行线是截取比例线段的基本依据,在证题时添出必要的平行线可以获得所需的比例线段.作出不同的辅助线,可得到不同的证法.经过分析探究,笔者发现该题的证法较多,不失为一道好题,现给出几种不同的证明思路,供读者参考.1证法探究证法1如图1,作CH∥DF,AK∥DF,分别交QM于H,K,则CH∥AK.又F是AC的中点,所以G是HK的中点.由梯形中位线定理得,CH AK=2FG.由CH∥DG,得PCDP=CDHG;由AK∥DG,得DANN=AKDG.所以CPDP DANN=CHD GAK=2DFGG=2DDGG=2.由CQ∥DN,得PQNP=PCDP;由AM∥PD,得MPNN=ANDN.所以QPNP MPNN=PCDP DANN=2.即MN PQ=2PN.图2证法2如图2,作FH∥CD,交QM于H,易知H是PM的中点,由梯形中位线定理,得AM CP=2FH.显然,△PGD≌△HGF,有PD=FH.由CQ∥DN,得...     

平行线分线段成比例定理的再证明

<正>平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线所得的线段对应成比例.已知:如图1,l1∥l2∥l3,l4、l5分别交l1、l2、l3于A、B、C与D、E、F点.求证:AB BC=DE EF.在讲授这个定理时,老师采用的是从特殊到一般的方法进行证明,即把AB BC的比值分为正整数、分数、无理数三种情况,结合平行线等分线段定理给予证明.特别是当AB BC的比值为无理数时,采用近似值,利用逼近法进行描述性说明该定理成立.但是这种方法并非严格     

不等式lnx≤x-1的类似及加强

用导数容易证得定理1lnx≤x-1(x>0)(当且仅当x=1时取等号).普通高中课程标准实验教科书《数学·选修2-2·A版》(人民教育出版社2007年第2版)第32页的习题第1题的第(3)小题"证明不等式:ex>1+x(x≠0)"的结论与该不等式是等价的.笔者认为,该不等式因其形式简     

对直线和平面平行的判定定理证明的一点想法

人民教育出版社出版的高级中学课本《立体几何》(必修 )第 1 8页 ,是这样给出直线和平面平行的判定定理及其证明过程的 :“直线和平面平行的判定定理　如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行 ,那么这条直线和这个平面平行 .图 1已知 :a α,b α,a∥ b(如图 1 ) .求证 :a∥α.证明 :∵ a α,∴ a∥ α或 a∩α=A.下面证明 a∩ α=A不可能 .假设 a∩α=A.∵a∥ b,∴ A b.在平面 α内过点 A作直线 c∥ b.根据公理 4 ,a∥ c,这和 a∩ c=A矛盾 ,所以 a∩α=A不可能 .∴a∥ α.”这一经典证法是多年来许多教材所选用的证明方法 .这种证…     

直线平面 简单几何体训练测试题

一、选择题11在下列关于直线l1,l2与平面α、β的命题中,真命题的是()(A)若l1<β且α⊥β,则l1⊥α.(B)若l1⊥β且α∥β,则l1⊥α.(C)若l1⊥β且α⊥β,则l1∥α.(D)若α∩β=l2,且l1∥l2,则l1∥α.(第2题)21如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=BC=AA1,∠ABC=90°,点D、E分别是棱     

k=o的曲面不是可展曲面的例

我们将证明存在一个曲面f:RX〔一1,1〕一”R3,它的第一和第二基本形式满足 (9 ik)=(。ik)(h ik)·(p ik(u、。e)一(l士”)/协)’其中P xl_1 (l士u)Pl:=土 协(1+u)“P 22= 林2(l+”)a 这里当协七。时取上面的符号,当协三。时取下面的符号。我们要证明这个曲面具有零高斯曲率但不是一个可展曲面。 l、hik是可微的。2、h,,hZ:一h,::=o,故k=o 3、h 11,:== hl:,1,h22,;=hl:,2 4、从(2)和(3)不难证明第一和第二基本形式满足高斯方程和科达奇—迈纳迪方程。根据曲面论的基本定理(3、8、8),存在一个曲面f具有条件所给的第一和第二基本形式,且而在…     

不定方程p~q=q~p的解及应用

对此间题,回答是否定的。 定理2满足(a)式的正整数P、q、l.m(P>q,‘l,爪互素)只有一组P二3,q==1,l二1,爪=2。 为方便证明,先引入一个引理,此引理的证明不难,请读者自行完成,或参阅文〔1〕。 引理习k,(P为正整数)可表示为:的 抢=1_P十1次多项式,并且最高次项的系数为 1P十1“ 现在证明定理2。力占口曰谧11协、多七 不定方程P“=扩结构对称,形式优美,关于它的解,有 定理1方程班二扩(P>妇有唯一的正整数解(4,2)。 证明:,.’p>q,.’.尹{尹,又由尸二尹,得受q】P叮,从而有g!乡. 设P二初(k是大于1的正整数),则 (k口)女=口竺口,k至二口l,k二理“…     

洗尽铅华 返璞归真

<正>1试题呈现(江西中考第22题)课本再现思考:我们知道,菱形的对角线互相垂直。反过来,对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗?可以发现并证明菱形的一个判定定理:对角线互相垂直的平行四边形是菱形。定理证明(1)为了证明该定理,小明同学画出了图形(如图1),并写出了“已知”和“求证”,请你完成证明过程。     

斜三角形射影定理在三角证明中的应用

[斜三角形射影定理] 三角形任一边等于其余两边在这一边上的射影之和,即: a=bcosC+ccosB;b=acosC+ccosA;c=acosB+bcosA. 斜三角形射影定理(以下简称定理)与正、余弦定理一样,在三角、几何证题中有着广泛的应用,本文各例旨在说明其在三角证明中的应用。     

数学题集锦

题:己知 ABCD为平行四边形,P为BD上任一点。过P作AB、CD的公垂线KL交AB于K,CD于L;过P作AD、BC的公垂线MN交AD于N,BC于M,如图, 求证KMLN为梯形。对于此题,笔者有以下看法: 1.教科书上定义“一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形”。因此除证明KM∥LN外,还得证明KNML,否则,不足以说明KMLN为梯形。 2.题中P为BD上任一点不妥当,因为当P为BD的中点时,KMLN是平行四     

由一道竞赛题引出的定理及其应用

1987年全国初中数学联合竞赛第二试第二题: 已知:D是△ABC的边AC上的一点,AD∶DC=2∶1,∠C=45°,∠ADB=60°。求证:AB是△BDC的外接圆的切线。此题证法较多,下面用三角法给出证明: 证明:设DC=1,∵ AD∶DC=2∶1 ∴ AD=2,AC=3。在△BDC中,由正弦定理得3~(1/2)BD=2~(1/2)BC     

课例大家评──评《一堂没有结束语的课例:三角形的内角和》 定理证明是培养思维能力的极好素材

三角形内角和定理 (以下简称定理 )是学生在初中几何中碰到的第一个证明难度较大的几何定理 .它既是重点 ,也是难点 .学生学习中存在的困难主要有 :( 1)该定理证明是初二几何第一个正规的证明 ,且证明过程较长 ;( 2 )学生对几何证明还比较生疏 ;( 3)第一次正式添加辅助线 .若要     

1998高考数学压轴题引起的思索

1998年全国高考数学文科第(25)题与理科第(25)题是一对数列与不等式巧妙结合的“姊妹题”,解题的关键(亦是难点)在于分别证明关于自然数n的不等式: (1 1)(1 1/3)…(1 1/(2n-1)>(2n 1)~(1/2), (1) (1 1)(1 1/4)…(1 1/(3n-1)>(3n 1)~(1/3), (2) 笔者尝试着寻找以上两式的简便而统一的证法,探究的结果是下述定理的发现, 定理 若n,k∈N ,且k>1,则     

巧作辅助线,妙解几何题

一、题目:人教版习题7.2第9题:如图1,AB∥CD,∠BAE=∠DCE=45°.填空:因为AB∥CD,所以∠1+45°+∠2+45°=180°.所以∠1+∠2=90°.因为∠1+∠2+∠E=180°.所以∠E=90°.图1二、对本题的思考其实这道题是:如图2,已知AB∥CD,∠BAE=∠DCE=45°.求∠E的度数.图2课本的解题方法是通过作辅助线,连接AC,利用平行线的性质定理和三角形内角和定理解题.1.平行线的性质定理:两条直线平行,同位     

关于三角形有关比例的两个定理及应用

定理1 △ABC中,AD是中线,F为AD上任一点、BF交AC于E,若AE(?)EC=m,则AF:FD=2m.证 过D作DG∥BE交AC于G(如图),则AF:FD=AE:EG.∵ D为BC中点,∴AF/FD=AE/((1/2)EC),即AF:FD=2m.定理2 △ABC中,D为BC上一点,E为AC上的一点,AD、BE交于点F,若AE:EC=m,CD:DB=n,则AF:FD=m(1 n).证明 过D作DG∥BE交AC于G(如图),则     

一道竞赛题引出圆锥曲线的若干个性质

笔者在解2011年全国高中数学联合竞赛一试第11题:"作斜率为1/3的直线l与椭圆C:x2/36+y2/4=1交于A,B两点,且P(3√2,√2)在直线l的左上方. (Ⅰ)证明:△PAB的内切圆的圆心在一条定直线上; (Ⅱ)若∠APB=60°,求△PAB的面积."