判定菱形三法

1．一组邻边相等的平行四边形是菱形． 例1如图1,平行四边形A23CD中,AE⊥BC于点E,将△ABE沿BC方向平移,使点E与点C重合,得△GFC．     

重庆2012年中考一道几何综合题多解研究

题目:已知,如图,在菱形ABCD中,F为边BC的中点,DF与对角线AC交于点M,过点M作ME⊥CD于点E,∠1=∠2.(1)若CE=1,求BC的长;(2)求证:AM=DF+ME.解析:本题以菱形ABCD为基础图形,把直角三角形、等腰三角形有机地组合在该图形上,考查学生对菱形性质、等腰三角形的判定与性质和直角三角形的性质的综合运用.此题的第一问求BC的长,有三条思路:其一,先求出ED,再求出CD=BC;其二,先求出CE=CF,再求得BC;其三,利用CE所在的直角三角形BEC,求得BC.     

“三点共线”不容忽视

四边形是初中几何的重要内容之一,也是中考的必考内容,它既是三角形知识的扩展,又是学好相似形和圆的基础.但在四边形的证题过程中,不少同学都容易犯一个错误——漏证“三点共线”.一、证题过程中漏证“三点共线”例1从菱形两条对角线的交点分别向各边引垂线,求证连接各垂足的四边形是矩形.已知:如图1,在菱形ABCD中,对角线AC和BD交于点O,OE⊥AB于点E,OF⊥BC于点F,OG⊥CD于点G,OH⊥DA于点H,依次连结EF、FG、GH和H E,求证:四边形EFGH为矩形.误证:因为BD为菱形ABCD的对角线,所以∠ABD=∠CBD.又因为OE⊥AB,OF⊥BC,由角…     

一道A＋B=C型问题的解法赏析

例如图1,在等腰梯形ABCD中,AD／／BC,AB—CD,P是BC上的一点,PE⊥AB,PF⊥CD,BG⊥CD,垂足分别是E,F,G,     

等腰三角形一个判定方法的证明及应用

<正>等腰三角形具有"三线合一"的性质:等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合.如图1,在△ABC中,AB=AC,D是BC上一点.(1)如果∠1=∠2,那么AD⊥BC,BD=CD;(2)如果BD=CD,那么∠1=∠2,AD⊥BC;(3)如果AD⊥BC,那么∠1=∠2,BD=CD.上述性质中,共存在4个关系式:AB=AC,∠1=∠2,AD⊥BC,BD=CD.而改写后的每条性质都有两个条件,且都有一个条件是"AB=AC".反过来,在关系式∠1=∠2,AD⊥BC,     

一种四面体在习题与高考试题中的应用

在研究空间图形的线线关系、线面关系、面面关系等一些问题中,经常碰到如图1所示的四面体,其中AB⊥BC,BC⊥CD,CD     

构造一类三棱锥巧解异面直线问题

如图1,在三棱锥A-BCD中,AB⊥平面BCD,BC⊥CD(或AC⊥CD),这样的三棱锥又称为直角锥,设AB=a,BC=b,CD=c,记异面直线AD与BC所成的角为a,AD与BC间的距离为d,则(Ⅰ) (Ⅱ) 证明是容易的,这里略去。     

从学生对一道题目解答的困惑谈起

在一次测试中有这样一道题： 如图1,已知PA⊥面ABC,AD⊥BC于D,BC=CD=4D=1。     

漫谈等腰三角形的“三线合一”

等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合,简称"三线合一".它包括三个方面的内容:如图1,△ABC中,AB=AC,D是BC上的一点.(1)若∠1=∠2,那么AD⊥BC,BD=CD;(2)若AD⊥BC,那么BD=CD,∠1=∠2;(3)若BD=CD,那么∠1=∠2,AD⊥BC.一、"三线合一"反映了等腰三角形的重要性质一轴对称性     

面积法解题更简便

我们先看一道哈尔滨市的中考试题: 如图1,已知在等腰梯形ABCD中,AD//BC,AB=DC.点P为BC边上一点,且PE⊥AB,PF⊥CD,BG⊥CD,垂足分别为E、F、G.求证:PE PF=BG,有关的参考解答如下:过点P作PH⊥BG,垂足为H,如图2所示. BG⊥CD,PF⊥CD,PH⊥BG, 易知四边形PHGF是矩形.     

对一道线面角高考题的思考

题目 如图1,棱锥S—ABCD中,AB／／CD,BC⊥CD,侧面SAB为等边三角形,AB=BC=2,CD=SD=1．     

对2011年高考全国卷立体几何题的探究

题目如图1，四棱锥S—ABCD中，AB／／CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形，AB=BC=2．CD=SD=1．     

一蝶引来万花开——对一道习题进行的开放性探究

在数学教学中,充分利用典型习题引导学生进行开放性探究,对学生思维的深化及创新能力的培养往往能起到事半功倍的作用.例题　已知:如图1,AB⊥BD,CD⊥BD,垂足分别为B、D,AD和BC相交于点E,EF⊥BD,垂足为F.求证:1AB 1CD=1EF.证明　因为AB⊥BD,CD⊥BD,EF⊥BD.所以AB∥EF∥CD.所以EFAB=DFBD,EFCD=EFBD.所以EFAB EFCD=DF BFBD=BDBD=1.所以1AB 1CD=1EF.图1　　　　　　　　图21　发散思维　探究结论探究1　已知:如图2,AB⊥BD,CD⊥BD,垂足分别为B、D,AD和BC相交于点E,若AB=a,CD=b,⊙E与BD相切于F,求⊙E…     

“将军饮马”型问题的一种推广

1问题的提出
　　我校九年级组织的一次数学考试中，有这样一道题：
　　如图1，AD ⊥ DC，BC ⊥CD，且 AD ＝8，BC ＝3，CD ＝10，在线段CD上找一点P，使PA ＋ PB 的值最小，并求出该最小值。     

从一道高考题谈起

20 0 3年高考江苏卷数学第 (16 )题是 :对于四面体 ABCD,给出下列四个命题(1)若 AB=AC,BD=CD,则 BC⊥AD.(2 )若 AB=CD,AC=BD,则 BC⊥ AD.(3)若 AB⊥AC,BD⊥CD,则 BC⊥AD.(4 )若 AB⊥ CD,BD⊥ AC,则 BC⊥ AD.其中真命题的序号是 .(写出所有真命题的序号 )真命题的序号是 (1)、(4 ) .给出的四个命题中的 (1)、(2 )是关于邻棱或对棱相等的四面体问题 ;(3)、(4 )是关于邻棱或对棱垂直的四面体问题 .笔者感兴趣的是 :一组、两组、三组对棱分别相等的四面体有何性质 ?一组、两组、三组对棱分别垂直的四面体又有何性质 ?经过…     

中考四边形开放探索题例析

四边形是初中数学的重要内容之一,近年来有关四边形开放探索题已成了各地中考命题的热点.现举例解析如下:一、条件开放探索型这类问题的特征是结论已确定,但条件未知或条件不足,且探索的条件不惟一,解题时,一般需要从结论出发,逆向追索(即执果索因),通过观察分析、推理判断,探索结论成立的充分条件.例1(2004年北京市东城区中考题)如图在△ABC中,D是AB边上的一点,且BD=BC,BE⊥CD于E,交AC于点F,请再添加一个条件,使四边形DMCF是菱形,并加以说明.解析:因BD=BCBE⊥CD,所以DE=CE,MF⊥CD要使四边形DMCF是菱形,只要四边形DMCF是…     

对一道“1/x＋1/y=1/a”型问题的思考

原题如图1,AB⊥BD,CD⊥BD,垂足分别为B,D,AD和BC相交于点E,作EF⊥BD于F,求证：     

一再出现的1/a+1/b=1/c(初二、初三)

在《相似三角形》一章的学习中遇到这样一道题: 例1 如图1,AB⊥BD,CD⊥BD,垂足为B、D,AD与BC相交于点E,EF⊥BD.可证明1/AB 1/CD=1/EF.     

证明(三)自测题

一、填空题1.在ABCD中,若∠A+∠C=140°,则∠C=°,∠B=°.2.对角线相等且互相平分的四边形是,对角线相等且互相垂直的平行四边形是.3.若菱形的两条对角线长分别为6cm,8cm,则这个菱形的周长为,面积为.4.如图1,矩形ABCD的两条对角线交于O点,∠AOB=60°,AB=2cm,则矩形的对角线长是,矩形的周长是.图1图25.如图2,四边形ABCD是正方形,延长BC至点E,使CE=AC.连结AE,AE交CD于F,那么∠AFC度数是.6.如图3,直线l是四边形ABCD的对称轴,且AB=CD.今给出下面四个结论:①AB∥CD;②CA⊥BD;③AO=OC;④AB⊥BC.其中正确的结论是.图3图4…     

平行四边形中的“双垂型”及其应用

一、双垂型如图1,2,平行四边形ABCD中,AE⊥BG于点E,AF⊥CD于点F容易推得:(1)LEAF=LABC;(2)AE/AF=CD/BC我们将上述过平行四边形的一个顶点作一组邻边的垂线而形成的图形称为平行四边形的"双垂型".需要说明的是,上述结论对于∠BAD为直角的特殊情形也成立,当图1中点E位于BC的延长线上或点F在DC的延长线上时,结论也不受影响.二、应用例1如图3,平行四边形ABCD中,AE⊥BC,AF⊥