凸多边形的三个组合趣题

组合知识有许多广泛而有趣的应用,本文提出的有关凸多边形的三个问题就是例证。如果一个多边形的内部任意两点的连线全部落在这个多边形内,那么这个多边形就叫做凸多边形。     

成果集锦

成果集锦关于正规闭折线的几个等周定理如果一个点位于一条闭折线所有顶角的内部，就称其为正规内点．有正规内点的单折边封闭折线，称为正规闭折线，ｋ环正规闭折线Ａ１Ａ２…Ａｎ论证Ａｋ（ｎ），任一Ａｋ（ｎ）总可看成ｋ个大小不同的多边形连结而成，其中较小的含在较...     

竞赛常用知识手册

1．5凸图形和覆盖 1．5．1凸多边形：如果一个多边形内部任意两点的连线也在这个多边形内部，则称此多边形为凸多边形．     

对“旋转相似变换”的深层次探讨

1．“旋转相似变换”的概念——从一道“新定义”型中考题谈起 南京市2007年初中毕业学业考试第27题：在平面内，先将一个多边形以（二）点为位似中心放大或缩小，使所得多边形与原多边形对应线段的比为k，并且原多边形上的任一点P，它的对应点P^1在线段0P或其延长线上；     

对多边形定义的疑惑

初二几何课本第127页将多边形定义为：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。对下面这道选择题，这个定义显出一些不足，让我们对这个定义产生了疑惑。     

整点等边多边形问题在三维空间中的推广

1 前言定义在n维空间中,如果一个多边形的每个顶点在一组标准正交基下的坐标都是整数,那么这个多边形称为整点多边形。在平面内(即n=2时),关于整点多边形问题有过许多研究,并得出以下一系列结果。     

对多边形定义的疑惑

初二几何课本第 12 7页将多边形定义为 :在平面内 ,由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。对下面这道选择题 ,这个定义显出一些不足 ,让我们对这个定义产生了疑惑。下列关于多边形叙述中正确的是 (　　 )Ａ、在平面内 ,由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。Ｂ、由不在同一直线上的一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。Ｃ、在平面内 ,由三条或三条以上的线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。Ｄ、在平面内 ,由不在同一直线上的三条或三条以上的线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。这是一道关于多边形概念的单…     

有趣的皮克公式

奥地利数学家皮克(Georg Pick,1859—1943)发现了一个计算点阵中多边形面积的公式:S=a+1/2b—1,其中a表示多边形内部点的个数,b表示多边形边界上点的个数,S表示多边形的面积. 例如,图1中,a=3,b=10,这个多边形     

多边形的内切圆的一个有趣性质

如果一个圆与多边形的各边或其延长线相切 ,且在这个多边形的内部 ,则称这个圆是多边形的内切圆 ;其圆心叫做多边形的内心 [1 ] .按照这个定义 ,有内切圆的多边形可以是凸多边形 ,如图 1,也可以是凹多边形 ,如图 2 ,3 .图 1图 2本文将证明有内切圆的多边形的一个统一的有趣性质 .定理　设多边形有内切圆 ,则一直线把多边形的面积和周长分成相同比的充分必要条件是 :这直线经过多边形的内心 .证明 :充分性 :如图 3 ,设直线 MN经过多边形 A1 A2 A3 … An 的内心 I,且与多边形的边A1 A2 、Ak Ak+ 1 交于 M、N ,设多边形 A1 A2 A3 … An…     

关于三角形等积线问题的一点探讨

以多边形的一边为底边作一个三角形,如果这个三角形的第三个顶点在多边形的内部,或者在多边形的其它边上,使得三角形的面积等于原来多边形面积的一半,那么,我们就把这个三角形的第三个顶点所在的线段称为三角形等积线,简称等积线.之所以称其为等积线,是因为以这条线上的点为第三个顶点的三角形,把多边形分成了两部分:三角形的内部和外部,而且这两部分的面积相等.     

动起来，更精彩——一个新概念的运用

2007年南京市中考试卷中的第27题给出了一个新概念——旋转相似变换：在平面内,先将一个多边形以点0为位似中心放大或缩小,使所得多边形与原多边形对应线段的比为k,并且原多边形上的任一点P,它的对应点P’在线段OP或其延长线上;接着将所得多边形以点0为旋转中心,逆时针旋转一个角度0,这种经过缩放和旋转的图形变换叫做旋转相似变换,记为0（k,0）,     

探索数据归纳在求格点图形面积中的应用

<正>我们把网格线的交点称为结点,如果多边形的顶点都在结点上,则称这样的多边形为格点多边形(如图1).同时,我们将位于多边形内部的结点称为内点,位于多边形边上的结点称为外点.本文探究五个格点(凸)多边形(即矩形、平行四边形、三角形、四边形、五边形)的面积,这些格点多边形的内点数、边点数与其面积有什么关系?能否将这些格     

多边形内角和与边数的计算

设多边形的内角和为S，边数为n，过多边形的一顶点引对角线，可把多边形分成（n-2）个三角形．根据三角形内角和定理可推出S=（n-2)·180”．根据这个公式，已知多边形的边数可求多边形的内角和；反过来，已知多边形的内角和也可以求多边形的边数．由于‘多边形的每一个内角与相邻的外角构成一个平角，则可推出多边形的外角和为360”、如果多边形的各外角都相等，已知一外角的度数或者一外角和一内角度数之比．也可以求多边形的边数及内角和．一、求多边形的内角和例二已知一个多边形的每一个内角都等于156”．求这个多边形的内角和．分析…     

一个猜想的证明

文[1]由2005年湖南省高考数学试题(10)定义了多边形面积三角形化定比分点及相关概念并把其推广到三维空间中的棱锥、棱柱中,给出了如下有关体积棱锥化定比分点的定义及相关的一些定理和猜想.定义1设P是n边形A1A2…An(n≥3)内的任意一点,S表示该n边形的面积,λ1=S△PA2A3S,λ2=S     

关于三角形等积线问题的一点探讨

<正>以多边形的一边为底边作一个三角形,如果这个三角形的第三个顶点在多边形的内部,或者在多边形的其它边上,使得三角形的面积等于原来多边形面积的一半,那么,我们就把这个三角形的第三个顶点所在的线段称为三角形等积线,简称等积线.之所以称其为等积线,是因为以这条线上的点为第三个顶点的三角形,把多边形分成了两部分:三角形的内部和外部,而且这两部分的面积相等.本文试图研究,哪些凸多边形一定有等积线;如     

皮克定理的推广

由[1]我们知道格点多边形的面积公式,即:皮克定理如果格点多边形A1A2A3An面积为A,内部格点数和边上格点数分别为N和L,则12A=N L?.本文试将上述公式推广到格点广义回形折线.定义若广义回形折线的顶点全是格点,则称之为格点广义回形折线.(关于格点广义回形折线及其面积等概念,请参看文[2])定理若k环n边的格点广义回形折线A1A2A3An A1(简记为A(n)k)的同侧域至少包含一个格点,则该广义回形折线的面积为1()(1)2njk jjLA n N=?=∑ ?其中N j、L j分别为A(n)k的第j层多边形内部和边上格点数.证明如图,设格点M是封闭折线A(n)k的同侧点.由文…     

点与简单多边形位置关系判别新算法

基于点到角的最小距离提出一种判别点与多边形位置关系的新算法。通过扫描与点距离最小的线段,在多边形中有两个角共有此线段,选择其中任意一个角,定义点到此角的距离取得最小。判断点与角的内外侧关系,确定点与多边形内外侧位置关系。该算法通过点与点的距离运算避免了传统的交点、叉积的求解。比较试验表明,此新算法易于实现、计算速度快。     

过控制多边形内任意两点的三次有理Bézier曲线权因子的算法

给定控制多边形内任意两点,从向量叉乘的模的定义出发,用三角形的面积构造出来有理三次Bézier曲线的权因子,相应得出了过控制多边形内任意两点的三次有理Bézièr曲线.     

三角阵中格点多边形的面积公式

定义 三角阵：由若干个边长都为1的正三角形组成的图形（如图1）． 格点：三角阵中任意一个三角形的顶点． 格点多边形：各顶点均为格点的多边形．     

“皮克公式”的证明

义务教育课程标准实验教科书《数学·七年级下册》(北师大版,2002年11月第2版)第4页“读一读”介绍了一个求正方形点阵中格点多边形的面积公式——皮克公式:S=a+1/2b-1.这个公式是奥地利数学家皮克(Georg Pick,1859-1943)发现的,其中 a 表示多边形内部的格点数,b表示多边形边界上的格点数,S 表示多边形的面积.