一个例题的注记

全日制高中数学课本第一册,第106页例8:“化asinα bcosα为一个角的一个函数的形式”,是一个很重要的例题,它不但在数学中,而且在物理中有着相当广泛的应用。课本上的解答结论是,asinα bcosα=(a~2 b~2)~(1/2)sin(α φ)(其中φ由tgφ=b/a确定)。我们认为这个结论是不完善的。如sinα 3~(1/2)cosα=2sin(α φ)和-sinα-3~(1/2)cosα=2sin(α φ)都有tgφ=3~(1/2),但显然两式是不相等的。因此,仅由角的正切来确定asinα bcosα=(a~2 b~2)~(1/2)sin(α φ)中的φ势必出错,这在学生的作业中是常见     

集锦 四边形面积的一个公式

计算三角形的面积有许多公式 ,而有关四边形面积的计算公式却很少 .在文献 [1]中有如下四边形面积的计算公式 :S=12 d1 d2 sinφ= ( p- a) ( p- b) ( p- c) ( p- d) - abcdcos2β.　这里 p=12 (a b c d)是四边形ABCD的周长的一半 ,β是两个对角之和的一半 .φ为 a边所对两对角线所成的角 .特别地 ,当四边形是圆内接四边形时 ,就得到S=(p- a) (p- b) (p- c) (p- d) .在本文中 ,我们将给出另一个四边形的面积计算公式 :S=14(b2 - a2 d2 - c2 ) tgφ,(1)此处φ为 a边所对两对角线所成的角 ,且φ≠π2 .证明　如图 ,我们设 AO=d1 1 ,B…     

对一个例题的补注

阅读了本刊81.5(封三)《一个例题的注记》之后,受益非浅。但文中说“φ由sinφ=b/(a~2+b~2)~(1/2),cosφ=a/(a~2+b~2)~(1/2)确定”,我看还可以把这个条件改得更为简单确切。     

辅助角公式的应用

在六年制重点中学高中数学课本代数第一册上有这样一道例题,化asinα bcosα为一个角的三角函数形式,课本上最后解答是这样的: asinα bcosα=(a~2 b~2)~(1/2)sin(α φ)……(A)(其中φ角所在象限由a,b符号确定,φ角的值由tgφ=b/a确定) 因为角φ通常称为辅助角,故本文中把公式(A)称为辅助角公式,此公式在求值,证恒等式,不等式,求极值等方面均有十分广泛的应用,现举例如下。 [例一] 已知:a、b不同时为零,且 asinx bcosx=0 … (1) Asin2x Bcos2x=c … (2) 求证:2abA (b~2-a~2)B (a~2 b~2)c=0 证明:将(1)式变形为 (a~2 b~2)~(1/2)sin(x φ)=0 … (3) ∵ a,b不同时为零,由(3)得 sin(x φ)=0     

一个高考题的延伸

图1(2003年全国新课程卷)如图1,a和b都是厚度均匀的平玻璃板,它们之间的夹角为φ.一细光束以入射角θ从Ρ点射入,θ>φ,已知此光束由红光和蓝光组成.则当光束透过b板后(A)传播方向相对于入射光方向向左偏转φ角.(B)传播方向相对于入射光方向向右偏转φ角.(C)红光在蓝光的左边.(     

对如何求解Y＝3sin x +4cos x{x∈[0,π/6]}一类函数的值域(最值)的再思考

文[1]对形如Y＝asin x + bcos x(x∈R)的函数当化成形如y=(a2+b2)sin(x+φ),其中φ为非特殊角(π/12,π/6,π/4,π/3,(π)/12)的值域(最值)问题进行了探讨,其中两个例题对甲角所在象限及范围的选取各有不同.笔者的观点是,φ角所在象限及范围的选取略嫌繁琐,这不但不利于学生的掌握反而加重了学生的学习负担,经过思考,笔者认为其实Ч角可以始终选择在第一象限,且为锐角.接下来本文将改进后的解法展示如下,并再提供三种解法,供大家参考.     

化asinα+bcosα为一个角的三角函数式的两种方法

化asinα+bcosα为一个角的三角函数式,是高一代数中的重要内容之一。公式asinα+bcosα=(a~2+b~2)~(1/2)sin(α+φ),对于高一学生最棘手的是φ值的确定。笔者在近几年的教学中采用下面两种方法,化解了难点,学生便于接受,效果较好。方法一:由tgφ=b/a及a、b的符号确定φ的值。     

高中《数学》第一册中一道例题的商榷

新编高中(《数学》第一册第160页有一道例题,即“例8 化 asinα bcosα为一个角一个函数的形式”。结果是:asinα bcosα=(?)sin(α φ)。并注明:其中φ由 tgφ=b/a 确定。但是,对于φ应怎样确定,根据什么条件来确定,例题的分析中并没有确切的说明。那么φ仅由 tgφ=b/a 能确定吗?我们认为是不能的。请看下面的例子:     

辅助角公式在解题中的应用

我们知道,辅助角公式asinx+bcosx=(a2+b2)(1/2)sin(x+φ)(其中a、b是不为零的实数,φ角由cosφ=a/(a2+b2)(1/2),sinφ=b/(a2+b2)(1/2)确定),能将某些函数化成y=Asin(ωx+φ)+     

定积分中值定理的一个推广

函数f(x)φ（x)和g(x)φ(x)分别在[a,b]上连续，在(a,b)内φ（x)≠0则必存在一点ζ∈（a,b)使得g（ξ）∫a^b(x)φ(x)dx=f(ξ）∫a^bg(x)φ(x)dx成立，这个结论对于多个函数对fi(x)φ（x),i=1,2,…,2n也成立。     

一个易被忽视的概念

当动点运动与某种旋转有关时,常取角φ作参数,求得动点的角参数方程解决这类问题的关键之一,就是如何选取参数角。在六年制重点中学平面解析几何教材中,求椭圆参数方程(P.158)时指出:“φ是以OX为始边,OA为终边的正角。”求圆的渐开线参数方程(P.163)时又规定:“φ是以OA为始边,OB为终边的正角”。这里用指明始边、终边的方法给出参数角,是利用旋转成角法,可简称旋转参数角。在十年制高中数学第     

从一则填充题谈例题的增选

安徽省一九八四年中考数学试题中有一填充题: 若a+(1/a)=5~(1/2),则a-(1/a)=____。这道试题虽然很小,但出的很妙。有的考生先从条件等式中解出a的值,再代入式子a-(1/a)求值,运算繁且易错。有的考生仅用两秒钟便填写上正确的答案(±1)。后者显然是运用了等式 |a-(1/a)|=((a+(1/a)~2-4)~(1/2)。前者事倍功半,后者事半功倍。等式|a-(1/a)|=((a+(1/a)~2-4)~(1/2)不是出自课本而是来自课外。由此可见,在平时的教学过程中,适当地增选一些基础知识覆盖面较大且富于技巧性的例题,去开拓学生的视野,培养学生分析问题和解决问题的能力,也是提高数学教学质量的有效措施之一。本文就面向初中学生如何增选例题谈两点看法,以供参考。一、增选的例题要有利于课本内容的消化、巩固和深化增选的例题首先应配合     

一个三角公式的推导及其应用

一、定理:已知二面角的平面角为φ,在二面角的棱上任取一点A分别在两个半平面内作射线,两射线所成的角为θ,两射线与棱为公共边所成的角分别为θ_1和θ_2,则有: cosθ=cosθ_1 cosθ_2+sinθ_1 sinθ_2 coφ 当印φ=90°时,公式为cosθ=cosθ_1 cosθ_2 证明:(设φ,θ_1,θ_2均为锐角) 如图,∠BAC=θ,∠BAQ=θ_1,∠CAQ=θ_2,在PQ上任取一点D,在平面α和β内分别作BD⊥PQ交AB于B,作DC⊥PQ,交AC于C,连BC,则∠BDC=φ,并设AD=a,     

一个三角问题的再思考

<正>几乎每年的高考题中,都有涉及asin x+bcos x形式的三角问题.处理这类问题时,我们常用到辅助角公式asin x+bcos x=(a2+b2)～(1/2)sin(x+φ).此法对简化三角问题的处理有积极的作用,但由于涉及辅助角,有时应用不太方便.实际上,对于三角方程asin x+bcos x=     

小结论 大作用

<正>高中数学必修4第三章《三角恒等变换》的教学中,辅助角公式asinx+bcosx=(a2+b2)^(1/2)sin(x+φ)(其中tanφ=ba)显得非常重要,而且是必考内容.以往我们仅仅关注的是φ的取值以及恒等变形的过程.笔者从另个角度(方程asinx+bcosx=c)思考了这个公式,给出一个结论,并举例说明其应用.1结论方程asinx+bcosx=c有解的充要条件是a2+b2     

余元公式的一个简洁证明

欧拉积分中的余元公式为 B(a,1-a)=(a)·(1-a)=π/(sinaπ) (0相似文献   

再谈一道教材例题的示范作用

贵刊1998年第1期“重视教材中例题的示范作用”一文中,对高中教材《代数》下册第12页的例题:已知a、b、m∈R~ 并且a(a b).做了细致的分析和发掘.本文拟将这道例题的示范作用作进一步拓广,使之更趋完善.这道例题历经千锤百炼,其证法之多,不胜枚举.其中颇具启示的,还有分式化繁法;这里将形式简单的分式,运用逆向思维化为分子为1的繁分式,通过对分母的放缩达到证题目的,使解答简洁而富有启发性.     

复数在反三角函数解题中的应用

众所周知,两个复数的积(或商)的辐角,等于这两个复数的辐角之和(或差)。这一性质虽然简单,但用它来解决反三角函数问题却新颖别致,具有独到之处。请看如下例题。一、计算反三角函数值例1 计算 arcsin1/10~(1/2) arcsin1/26~(1/2) arccos7/50~(1/2) arccos8/65~(1/2)。解:设arcsin1/10~(1/2)=α,arcsin1/26~(1/2)=β,arccos7/50~(1/2)=θ,arccos8/65~(1/2)=φ,易知α,β、θ、φ∈(0,π/4),故α β θ φ∈(0,π)。又α=arg(3 i),β=arg(5 i),θ=arg(7 i),φ=arg(8 i),故得     

用一个公式求二次函数的解析式

用设二次函数y=ax2 bx c的图象与x轴的两个交点为A和B,则两交点的横坐标分别是方程ax2 bx c=0的两个根x1、x2,易求得线段A B=∣x1-x2∣=(x1 x2)姨2-4x1x2=(-ba)2-4ca姨=姨b2-4ac∣a∣.若已知或易求得二次函数的图象与x轴的两个交点之间的距离,则可以用这个公式来求二次函数的解析式.请看下面几道例题.例1以(1,2)为顶点的抛物线与x轴交于A、B两点,与y轴交于点M.已知A B=4,求这条抛物线的解析式.解:因为抛物线的顶点为(1,2),故设这条抛物线的解析式为y=a(x-1)2 2=ax2-2ax a 2.设A、B两点的坐标分别为(x1,0)、(x2,0),则A B=4a2-4a(a 2)姨…     

关于“汽油的使用效率何时最高”的设计及说明

“汽油的使用效率何时最高”是《普通高中课程标准实验教科书·数学》A版选修1—1(选修2—2)“第三章导数及其应用3.4生活中的优化问题举例”(“第一章导数及其应用1.4生活中的优化问题举例”)中的一道例题.经过广东、山东、海南、宁夏四个实验区一轮的实验后,老师对这道例题有很多反映.相当多的老师认为,这道例题虽然新颖,但难度很大,无论是教师,还是学生,理解接受都有困难.下面笔者谈一谈这道例题的设计思路,并作相关说明,希望对老师和学生理解这道例题有一定的帮助.