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1.
顾庆生 《数理天地(初中版)》2006,(7)
例1 如图1,P是正三角形ABC内一点,PC=3,PA= 4,PB=5,求∠APC的度数.分析这是一道典型的借助旋转求解的题目.题中的三条线段分散,需将三条线段集中到同一三角形中,已知线段是一个 相似文献
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勾股定理是几何中的一个重要定理,含有勾股数(如a=3,b=4,c=5)的问题或类似问题,多数可构造直角三角形解决. 例1 如图1,P为正三角形ABC内一点,且PA=3,PB=4,PC=5,求∠APB的度数. 分析:无法直接求∠APB的度数.由已知可联想到构造直角三角形. 解:将△BAP绕点A逆时针旋转60°,得△ACD,连PD. 相似文献
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学习了旋转,解决几何问题又多了一些方法,我们可以借助旋转知识巧妙地解决一些几何问题.下面将通过例析旋转解决与正方形有关的问题,供同学们作参考.例1如图1,在等腰直角△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,P是△ABC内一点,满足PA=√6、PB=2、PC=1,求∠BPC的度数. 相似文献
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在初中几何中 ,由一个角就可以确定其它角的度数的题有很多 ,这里总结九例 ,便于以后遇到相关的习题时能迅速化归到已知经验 ,从而简化思维过程 .图 1 图 2例 1 如图 1,已知△ABC中 ,∠BAC= 5 0° ,其内有一点P ,且有PA =PB =PC ,求∠BPC的度数 .解 因为PA =PB =PC ,所以P为△ABC的外心 ,故∠BPC =2∠BAC =10 0° .例 2 如图 2 ,已知∠ABC、∠ACB的平分线交于点P ,∠BAC =5 0° ,求∠BPC的度数 .解 BP、CP分别平分∠ABC、∠ACB ,所以∠BPC =180°-(∠ 1+∠ 2 ) =180° -12 (∠ABC +∠ACB) =180… 相似文献
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例1(2011年四川泸州中考)如图*,点P为等边△ABC外接圆周劣弧BC上的一点.(1)求∠BPC的度数;(2)求证:PA=PB+PC;(3)设PA,BC交于点M,若AB=4,PC=2,求CM的长度.解析:这是一例延用许多年的经典问题.其中(1)较为简单,由"圆周角"定理易知:∠APB=∠ACB=60°,∠APC=∠ABC=60°,则∠BPC=∠APB+∠APC=60°+60°=120°.对于(3),解法较少,不做过多探究:由∠ABM=∠CPM,∠AMB=∠CMP,可得△ABM∽△CPM,则AMCM=BMPM=ABPC=42=2,设CM=x,则AM=2x,结合BC=AB=4,可知BM= 相似文献
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本文拟用以下引理给出三角形“五心”向量方程的一般形式.先约定三角形三内角A、B、C它们所对的边分别为a、b、c.引理:在△ABC内任取点P,则PA·SA PB·SB PC·SC=0(1)(其中SA、SB、SC分别表示△BPC,△CPA,△APB的面积).证明:设PA、PB、PC方向上的单位向量依次为e1,e2,e3并记∠B 相似文献
7.
韩秀鸾 《数理天地(初中版)》2006,(2)
旋转法,是将图形旋转一个角度后使得分散的互不联系的条件有了联系,便于探索出解题的途径.例1 如图1,点P是等边△ABC内一点,且PA=3,PB= 5,PC=4,求∠APC的度数.分析将△APC绕点A按顺时针方向旋转60°至△ADB处,连接DP,得等边△ADP.所以DP=3,∠ADP=60°, 又因为DB=PC=4,PB=5, 而 32 42=52, 即△BDP中,有BD2 DP2=PB2.图1 相似文献
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朱元生 《中学课程辅导(初二版)》2006,(9):16-16
开放探索题是考查发散思维能力与创新意识的极好题型,下面以中考题为例,解析如下.开放探索题是考查发散思维能力与创新意识的极好题型!下面以中考题为例!解析如下.下.例1(2005年福州市中考题)已知:如图,点C、D在线段AB上,PC=PD,请你添加一个条件,使图中存在全等三角形,并给予证明.所添条件为.你得到的一对全等三角形是△≌△.解析:结合图形和已知条件,由PC=PD,可以推得∠PCB=∠PDA.进而可以推得∠PCA=∠PDB.若添加∠A=∠B,则还可推得PA=PB.这样在△PAC和△PBD中,∠A=∠B,∠PCA=∠PDB,PA=PB,由三角形全等的判定定理易得… 相似文献
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1 费尔马问题 A、B、C是平面上不共线三点,求一点P使距离之和l=PA PB PC达到最小值。 对此问题已经证明了:当ΔABC的内角有不小于120°时,P应选在最大内角的角顶;当三角形的内角均小于120°时,P应处于∠APB=∠BPC=∠CPA=120°的位置上。点P称为费尔马点。 本文用数形结合的思想方法,给出费尔马最小值的解析表达式,同时给出l=PA PB PC的图形。 相似文献
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总复习阶段,应有针对性地、适量地研究一些不同类型的几何综合题的解法.几何综合题大多是圆与平行线、三角形、四边形、相似三角形、锐角三角函数等知识的综合运用.近几年来,全国各地中考题中,一题多问、开放性题目是几何综合题常见类型.图1例1如图1,已知正△ABC内接于⊙O,P是劣弧BC上一点,PA交BC于点E.求证:(1)PA=PB+PC;(2)P1B+P1C=P1E.证明:(1)在AP上取一点D,使AD=PC,联结BD.易知△ABD≌△CBP.则BD=PB.又∠3=∠4=60°,所以△PBD是等边三角形.故PD=PB,即PA=PB+PC.(2)证法1:因为∠3=∠5=60°,∠1=∠2,所以,△PAB∽… 相似文献
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平移法和旋转法是平面几何中解题的两种有效方法.通过图形变换,借助图形各元素之间的新旧位置关系探索解题的方法,在解决平面几何问题时有广泛的应用.例1已知,如图1,△ABC中,AC=AB,∠BAC=90°,P为△ABC内一点,PA=1,PB=3,PC=7姨.求∠APC的度数.分析:从PB=3,PC=7姨来看,如果还有一条线段为2姨,则可构成直角三角形,这样只要把PA逆时针方向旋转90°,(也可以顺时针方向旋转90°)构成一个等腰直角三角形,问题可以解决.解:过A点作DA⊥AP,(逆时针方向旋转)且DA=AP=1,连结CD、PD∵△DAP为等腰直角三角形,∴PD=2姨,∠DPA=45°.∵… 相似文献
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本刊1988年第1期“埃丢斯——莫都(Erd(?)s——Mordell)不等式的加强”一文将埃丢斯——莫都不等式加强为: P为△ABC内部或边上一点,PD′、PE′、PF′分别为∠BPC、∠APC、∠BPA的平分线,则PA PB PC≥2(PD′ PE′ PF′)。本文给出它的指数形式的推广: 定理设P为△ABC内部(或边界)上一点,记∠BPC、∠APC、∠BPA的角平分线长依次为t_a、t_b、t_c,PA=x、PB=y、PC=z,则 x~2 y~2 z~2≥2(t_a~2 t_b~2 t_c~2)。其中s≥1。证如图,设∠APB=2α、∠BPC=2β、 相似文献
13.
袁继芳 《初中生世界(初三物理版)》2003,(11)
例1已知p是等边△ABC内部一点,∠APB、∠BPC、∠CPA的大小之比是5∶6∶7,则以PA、PB、PC的长为边的三角形的三个内角的大小之比是(从小到大).下面给出这道题的一个解法:∵∠APB∶∠BPC∶∠CPA=5∶6∶7,又∠APB+∠BPC+∠CPA=360°,∴∠APB=100°,∠B 相似文献
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题目如图1,PA、PB、PC是⊙O的三条弦,PA=a,PB=b,∠APC=30°,∠BPC=60°,求弦PC的长.下面我们以此题为例来分析关于计算弦长的几种方法.解法一:灵活作垂线如图2,连结AB、AC,过点A作AE⊥PC于点E.在Rt△APE中,因为∠APC=30°,PA=a,所以AE=a2,PE=3姨a2.又因为∠ACP=∠PBA,∠AEC=90°,∠APB=∠APC ∠BPC=90°,所以△ACE∽△ABP.P图1COAB图2COPABE所以ECEA=PBPA,所以EC=EA·PBPA=a2·ba=b2,所以PC=PE CE=3姨a b2.解法二:巧用面积法如图3,连结AB、AC、BC,过点A作AE⊥PC于点E,过点B作BF⊥PC于点F.因… 相似文献
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《数学教学》1993,(5)
306.以△ABC的BC、CA、AB为底边分别在形外作三个相似的等腰三角形,使其底角为30°,顶点是O_1、O_2、O_3,求证:△O_1O_2O_3是正三角形。证:如图1,作C关于O_1O_2的对称点P,连PO_1、PO_2、PO_3、PA、PB、PC。由O_1B=O_1C=O_1P知O_1为△BPC的外心,∠PBC=1/2∠PO_1C,∠PCB=1/2∠PO_1B,故∠PBC ∠PCB=1/2(∠PO_1C ∠PO_1B)=1/2∠BO_1C=60°,∠BPC=120°。同理,∠CPA=120°。于是∠APB=120°。延长BO_3到Q,使O_3Q=O_3B,连QA。∵ 相似文献
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文[1]提出有关费马点的一个猜想:设P是△ABC的费马点,记PA=u,PB=v,PC=w,△ABC的三边为a,b,c,则 (u v w)~2≤ab bc ac. (1) 本文证明这个不等式成立. 证 如图∠APB以及∠BPC,∠APC都是120°,记△ABC面积为△,则 相似文献
19.
题目 如图1,P是等边AABC内部一点,∠APB、∠BPC、∠CPA的大小之比是5:6:7,则以PA、PB、PC为边长的三角形的三个内角的大小之比为多少? 相似文献
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引理(费尔马问题) 已知△ABC,使PA+PB+PC为最小的平面上的点P称为△ABC的费尔马点. 解:显见点P不可能在△ABC外. (1)若△ABC的每个内角都小于120°,将△ABP绕B点逆时针旋转60°至△A_1BQ的位置,如图1,则△BPQ为正三角形.于是PA+PB+Pc=A_1Q+QP+CP. ∵A_1、C为定点,欲使PA+PB+PC最小,P点应在A_1C上. 相似文献