浅谈“抽屉原则”及其应用

一、“抽屉原则”的基本知识抽屉原则是一个重要的组合学原则,又叫“鸽笼原则”,学名狄利克雷(Dirich-let、德国数学家)原则,大意是指一群鸽子飞进比鸽子数少的鸽笼里,可以断言至少有一只笼子里有不少于两只的鸽子。也可以描述为:若干本书放入比书本数少的抽屉中,那么至少有一个抽屉中有两本或更多本书。下面用数学语言来描绘抽屉原则。 1.抽屉原则的简单形式:把多于n个的元素按任一确定的方式分成几个集合,那么至少有一个集合中含有不少于两个的元素。用反证法证明:若分成的n个集体中,每个集合都不含有两个或两个以上元     

反证法教学浅议

反证法是初中数学难度较大的内容,也是学生进一步学习数学所必须具备的重要基础知识。用反证法证题,一般可归纳为四个步骤,即:否定结论,进行推理,导出矛盾,肯定结论。否定结论。注意把结论的反面要一一列举出来,不能有遗漏,如“不大于”的否定是“小于”或“等于”。还要注意结论的否定与结论之间必须是互斥的,如“都是”的否定应为“不都是”或“至少有一个不是”,而不是“都不是”。进行推理。要做到推理的每一步有依据。推理     

一张量词表的应用

高一新生学习了逻辑知识 ,利用反证法证明一个数学命题时 ,要涉及到对一些量词的否定 .如“都是”、“不都是”、“都不是”、“至多”、“至少”、“唯一”等等 ,学生往往感到困难 .有的书上总结为 :“都是”的否定是“不都是” ,而不是“都不是” ;“都不是”的否定既不是“都是” ,也不是“不都是” ,而“至少有一个是” .这样的口诀 ,绕口、不易记忆和理解 .笔者在教学实践中 ,总结出了一张直观简便的量词表 ,现介绍如下 :0 0 0… 0 010 0… 0 0110… 0 0………………111… 10111… 11表 1　　将“是”记为 1,“否”记为 0 ,如表 1,以横…     

抽屉原则——1987

我们知道:如果把4个苹果放进3个抽屉,那么,必有一个抽屉中至少有两个苹果。这就是抽屉原則.一般地,我们有: 抽屉原则:把m×n l(m、n、l均为正整数)个元素按任一确定的方式分成n个集合,那么,必有一个集合中至少含有m 1个元素. 用反证法很容易证明上述原则的正确性. 应用抽屉原则解题,可以提高我们的思维能力,训练解题的灵活性.在应用上述原則解题时,关键是根据问题的具体情况:灵活地设计出n个“抽屉”。在解题中,怎样灵活设计出n个“抽屉”呢?下面以     

关于数学分析中宜用反证法证明的问题

数学分析中宜于用反证法证明总的原则是：对于所要论证的论题（若A则B），没有直接证明的正面根据，此时运用反证法证明，只要证明其反论题（若A则不B）的谬误即可。运用反证法证明的习题类型及规律是：1．证明“函数某个特定常数”；2．在已知极限存在或易证出极限存在的前提下，证明“极限等于零”或“极限等于某个特定常数”；3．证明有关“不存在”的题目；4．证明“至少有一点”的题目，对于题设中函数不具连续条件者，有时宜于用实数理论找点再用反证法证明为所求；5．证明集合个数为“有限个”；6．证明“函数有界性”；7．证明“最多只有”的题目；8．证明“唯一性”。     

反证法在多项式中的应用

反证法是一种很重要的证题方法。要判断一个命题是否适宜反证法,有时是比较困难的,本文仅就多项式理论特点归纳总结出以下七类适宜用反证法的命题。一、要证命题的结论是否定形式的这类命题的结论一般具有“不是……”“不能……”“没有……”等特点,而其否定的对象相对又较具体。例1：证明f（x）＝x2－5x＋1在有理数域上不可约。证明：假设f（x）可约,那么它至少有一个一次因子,也就是有一个有理报,但f（X）的有理报只可能是±1,直接验算可知±1全不是根。因而,f（x）在有理数域上不可约。二、要证命题的结论所涉及对象无限这类…     

数学分析教学中的“反证法”探析

“反证法”是一种简明实用、间接的数学证明方法,也是一种重要的数学思想方法。介绍了“反证法”的逻辑依据和步骤,并列举了数学分析中宜于用“反证法”证明的问题,同时指出了使用“反证法”应注意的几个问题。     

被“逼”出来的反证法

2008年安徽省高考文科数学试卷第21题第（Ⅲ）问“c≤1”的证明,答案中用了反证法,很多考生都懵了,都说根本没想到反证法．其实,反证法不是“想”出来的,而是被“逼”出来的．正难则反．正面证明走投无路,只有去考虑问题的反面,这也是对考生判断能力和推理能力的考查,现说明如下：     

鸽窝与抽屉的数学

“三鸽飞进两窝,必有一窝至少两鸽.”“有n 1件物品装入n个抽屉,一定有某个抽屉中至少有2件物品.”以上是很简单的常识(不难用反证法证明),却有大量出乎意料的应用,德国数学家狄里克雷(Dirichlet,1805-1859)明白、成功地运用上述原理证明重要数学定理,因此“鸽窝原理”或“抽屉     

反证法在立体几何中的应用

反证法是证明立体几何命题常用的一种重要证题方法,它在立体几何的教学过程中,占有相当重要的地位。 一、反证法及证明的几种方法。 反证法以排中律为依据,不直接证明“A是B”,而是从反面证明“A不是B”不对,从而肯定“A是B”是对的。在引用反证法的证明中常有以下几种方法。     

反证法证题最适用的几种情形

我们知道,大凡一个数学命题“若A则B”,一般都能用反证法给予证明。但在以下几种情况下用反证法,显得特别方便和有效。一、当结论的反面B,比B本身的形式较为具体,或情况较为简单的时候。例1．若a、b、c为奇数(可以是负数),则方程ax~2 bx c= 0没有有理根。这个命题中的结论B——方程无有理根(即只有无理根);(?)——方程有有理根。相比之下,因有理数可写成互质整数之比,故(?)形式具体。     

反证法在立体几何中的应用

反证法是一种间接的证明方法,要证明一个命题,可以先假设结论不成立,即证明结论的反面成立,然后经过正确的推理,导致矛盾,推翻假设,从而证明命题的结论成立,这样的证明方法就是反证法.实践证明,在解决立体几何问题时,有些命题用直接法不容易证明,使用反证法就显得特别有效.下面介绍反证法在立体几何中的几个方面的应用,供大家参考.     

至少有一个方程有实根问题的正面解法

先看下面三道题:(1)如果一元二次方程x2+4ax-4a+3=0,x2+(a-1)x+a2=0,x2+2ax-2a=0中至少有一个方程有实根,求实数a的范围.(2)已知p1p2=2(q1+q2),试证方程x2+p1x+q1=0和x2+p2x+q2=0中,至少有一个方程有实根.(3)若一元二次方程x2+ax+b=0,x2+bx+c=0,x2+cx+d=0的系数满足等式:bc+2d=(a-2)(b+c),则三个方程中,至少有一个方程有实根.这几道题属于“至少存在问题”,数学竞赛中常常见到.这类题若从正面考虑,大家认为几个方程中“至少有一个方程有实根”的情况复杂,解答易错.所以有关书刊及资料上介绍的解法都采用的是反证法,其思路是这样的:假定三个…     

立体几何中的哪些命题需要反证法

反证法是立体几何中一种常用的证题方法,在证明空间的两条直线、直线和平面、平面和平面的位置关系问题时,往往应用反证法。究竟哪些命题适宜用反证法来证明呢?回答这个问题是不容易的,也不是绝对的。若单     

反证法在数学中的运用

反证法是对数学命题进行间接证明的一种有效方法,无论在初等数学中还是高等数学中都有广泛应用.数学中的一些重要结论,从最基本的一些性质,定理到某些难度较大的世界名题往往都是用反证法证明的,一般的诸如结论本身以否定形式出现的命题,某些存在性命题以及限定式命题证明,结论以至多"至少"等形式出现的命题,以及结论的反面比原始结论更具体更容易研究的命题都常用反证法来证比较方便简单.本文通过具体实例来体     

反证法及其应用例说

反证法的概念是在初中《平几》第二册中介绍的。由于当时学生的认识能力有限,再加之以后的习题配备不足,致使一些学生直到高中毕业对反证法仍有许多疑惑不解的问题。比如,用反证法证明命题可靠吗?学习反证法有没有必要?在什么情况下使用反证法证明较合适?等等。为此,笔者试谈以下几个问题。一、反证法的逻辑依据及证明步骤法国数学家阿达玛把反证法精辟地概括为“这种证法在于表明:若肯定定理的假设而否定其结论,就会导致矛盾。”具体地讲,反证法是通过肯定命题的条件p,并否定命题的结论q,即     

论反证法

反证法是古典的证明方法之一。但从当今数学教学实践中反映出的问题上看,有关反证法一些实质性问题,仍有必要进一步澄清和探讨。例如,有人说,反证法就是证明命题的递否命题。按照这种说法,欲证命题“A→B”,应由B(B的否定)(?)A但在实际证明中,由B不一定推出A,而是只要推出一个矛盾即可,怎样解释呢?又如,有人认为:(?)×(|f(x)|>M)”表示M不是f(x)的界。显然是命题否定的错误。本文从逻辑角度,就反证法原理、正确否定结论和应用范围等问题,试谈几点看法。     

对新教材中加强反证法教学的几点看法

在数学问题中 ,有相当数量的问题直接证明难以入手 .因而 ,常采用间接法进行证明 .反证法就是一种重要的间接证明方法 .在初中几何第三册第七章中通过证明“过同一直线上的三点不能作圆”正式提出反证法 ,它属选学内容 .在教学中提出“使学生理解反证法的基本思路和一般步骤”为教学目的 .从学生学习的情况看 ,基本上能理解反证法的基本思路及一般步骤 .其存在的问题主要有以下四个方面 :第一 ,反证法的理论依据 ;第二 ,什么样的命题可用反证法证明 ;而其难点又在 :第三 ,反证法中的“反设” ;第四 ,反证法中的“归谬” .因此 ,在高中继续学…     

“对角互补的四边形内接于圆”的“另类”证法

刚开始接触反证法时,教师便引导学生用反证法证明定理“对角互补的四边形内接于圆”,但有一些学生提出：能不能直接对这个定理进行证明呢？为了激发学生思维,笔者即予以肯定和鼓励：“大家问得好!我想这个定理一定也能直接进行证明,不过老师现在还没想出来,有同学想到了吗？”同学们都摇头,于是笔者说：“这个问题我们留到课后思考,下节课...     

一个错误证明的剖析

逆否命题与原命题等价的证明,一些参考书都是如下证明的.证明:先证“AB”“”(用反证法)假设不成立.则它的否定命题A 成立.因为有 AB,所以B 成立,而与 B 矛盾,因此成立.同理可证所以