三角不等式的证明

在中等学校里是否需要证明三角不等式呢?我们认为是需要的,因为不等式的证明,即使是最简单的不等式的证明,也要求学生们去作讨论,并且应用不是千篇一律的方法,它能推动学生创造性的思维。实际上,就是最简单的例题:比较量cos40°和cos60°,也需要有自觉地应用三角函数的性质的本领。三角不等式的证明能培养学生以批判的态度来对待公式的结果,能使他们习惯于小心地进行推理。现在让我们来举一个实际例子。学生们常能毫无困难地推导出来大家熟知的公式     

三角不等式的证明

三角不等式的证明,由于课本中没有专门章节叙述,因此学生往往不知从何下手。本文将三角不等式的证明方法加以归纳分类,供参考。一、利用三角函数的性质|sinx|≤1、|cosx|≤1 证题例1.求证: 2+sinx+cosx≥2/(2-sinx-cosx)。证明:(2+sinx+cosx)-(2/(2-sinx-cosx)) =((2+sinx+cosx)(2-sin-cosx)-2)/(2-sinx-cosx) =(4-(sinx+conx)~2-2)/(2-sinx-cosx)     

一类三角不等式的证明

关于三角形内角的一类三角不等式的证明,学生往往无从下手,本文介绍一种利用凸函数或凹函数的方法,可使证明大大简捷。为了说明问题,先介绍两点关于凸函数和凹函数的理论。①如果     

一个三角不等式的证明

《数学通讯》先后有多篇文章(见〔1]一〔41)证明了在△ABC中, 且tg‘石一+tg‘ 山B‘一+tg‘乙也即不等式(2)成立. 引理2设△ABC为锐角兰角形,二,、夕,:意实数.mlJ十22S生n一等号 B .C、、_一八.____、、,_s垃1一s’n万一之同有以卜小等式天系 劣25 inZA g2sinZB+万花双厂 与几2.A一2tgZ月二B万+tg‘一石一十tg‘“C、_一二,产要艺 艺一》,之(e tgB+etgC)+zx(etgC+e士gA)+x,(e tgA+etgB) A .B .Cwe石51刀一二~Slnee.二Sln,二, 之艺艺当目仅当△月BC为正三角形时成立.本文中.我们证明tg艺牛+甘李+,92 “等号当且仅当期少二二sin…     

三角不等式的系列证明

本文介绍在△ABC的条件下,一类不等式的一系列证明。这种证法的优点是:题目互相关连,一步一步深化,一环紧扣一环,给人以一气呵成之感。例题在△ABC中,a,b,c表示各边的长,R为外接圆半径,△表示面积,求证:     

三角不等式的证明方法

该文归纳了9种证明三角不等式的主要方法。     

三角不等式的系列证明

本文介绍在三角形中的一系列不等式,这些不等式相互关连、一环扣一环. 在△ABC中,下列不等式成立.~~     

一个三角不等式的证明

定理在△ABC中,有 二A‘二B5 In“一又,十sln“二,十sln“ 乙乙C2/3乏二.—SeC 一4B一CC一AA一B 2 sec 2 secZ(l)当且仅当△ABC为正三角形时等号成立, 证明由三角恒等式 .。A二。B.。C ZR一r sin艺一于+sinz于~+sinz任,~二气不‘, 2’‘”‘’2’一“‘2 ZR和 B一CC一AA一B se“一Zse“乞“eCZ 8R2’ 一夕+ZRr十尸,不等式(l)等价于2尺一r 2R/3乏之、—. 一4即S,簇12R”ZR一r 8R252+ZRr+尸‘ZRr一r2.(2)由Gerretsen不等式S’镇4R,+4Rr+3r,,要证(2)式只需证 4R,+4Rr十3r2一12R,一,乏泛下二石;—一乙1(r一厂. 艺1(一r即…     

一个三角不等式的证明

命题:x是任意实数,三角不等式 cos(sinx)>sin(cosx)恒成立证:函数f(x)=cos(sinx)-sin(cosx)在整个实数集上连续,考虑方程cos(sinx)-sin(cosx)=0,     

利用几何图形证明三角不等式

利用几何图形证明三角不等式就是化三角函数为几何图形。利用图形中的不等量关系来证明三角不等式。这样能避免复杂的三角运算,有较强的直观性,并能使一些三角不等式的证明化难为易。现举例说明如下。一、根据三角函数的定义,把三角函数化为线段比。例1 在锐角三角形ABC中,求证: ① cosA cosB cosC1 利用同圆中所对的圆周角大的弦也大(当圆周角是锐角时)。证明:①图1中,AE、BF、CD分别是三角形ABC三边上的高线 A、B、E、F四点共圆,又∵△ABC是锐角     

利用三角代换证明不等式

三角代换是一种重要的数学方法,特别当代数不等式的证明很棘手时,若能考虑进行三角代换,将代数不等式转化为三角不等式,进而利用三角函数的性质和众多的三角公式推证,往往起到化难为易、事半功倍之效．但怎样进行恰到好处的三角代换呢？必须对题目进行反复观察,广泛联想,确定恰当的代换途径．本文就如何根据代数式的特征选择三角代换方案,作一些探讨和总结．     

构造长方体证明三角不等式

用三角方法可证明几何不等式,反之,用几何方法也可以证明三角不等式.为培养高中学生的证题能力,启迪思维、拓展视野,达到综合运用知识的目的,本文通过构造长方体并利用性质：①长方体对角线与各棱角的余弦值的平方和为1;     

用柯西不等式证明一类三角不等式

<正>在三角形中,有许多有趣的不等式,本文应用三角恒等变形和柯西不等式,探究一类三角不等式问题的证明途径,意在为读者提供解答该类问题的一种比较新颖的视角。例1在△ABC中,求证:cos A+cos B+cos C≤3/2。证明:应用三角公式和柯西不等式,得     

一类三角不等式的控制证明

利用初等对称函数差的Schur凸性建立了一类三角不等式     

一个三角不等式的多种证明

本文给出的是一个三角形中的不等式的多种证明。从不同角度、不同的方向去思考同一问题,这对于问题的深刻理解、知识的融会贯通、思维能力的提高很有帮助。而一题多解正是要求学生既有扎实的基础,又要擅于从不同角度、方向去研究分析问题,找到解决问题的方法。     

一个三角不等式的面积证明

<正>构造图形解决数学问题是一种重要的方法.文[1]多次使用这种方法,解决了若干个数学问题.本文参考文献[2],用构造图形的方法解决一个三角不等式,这个三角不等式最初出现于1946年莫斯科中学生数学竞赛.     

一类三角不等式的控制证明

利用初等对称函数差的Schur凸性建立了一类三角不等式。     

关于一个三角不等式的证明

在△ABC中,不等式:sinA/2·sinB/2·sinC/2≤1/8(等号只在正三角形中成立)即三角形三内角之半的正弦积不大于1/8。兹将几种证法罗列如下。为了方便,记y=sinA/2·sinB/2·sinC/2,A、B、C和a、b、c分别表示△ABC的三内角和三边长,sinA/2、sinB/2、sinC/2均为正数。下不一一赘述。     

证明三角不等式的非常规方法

中学课本里的三角不等式证明多为常规法,用它来证一些结构比较特殊的不等式,或难以奏效,或过于繁琐。本文试图介绍除常规方法以外的一些技巧方法。 1 放缩法 在证明三角不等式的过程中,常常需要     

一个三角不等式的初等证明

在△ABC中,如果A、B、C为三角形的三个内角,已有大家熟知的三角不等式: